Ataraxy

\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; #2\right]\!\right]} \newcommand{\intEFO}[2]{\left[\!\left[#1 ; #2\right[\!\right[} \newcommand{\intEOF}[2]{\left]\!\left]#1 ; #2\right]\!\right]} \newcommand{\intEOO}[2]{\left]\!\left]#1 ; #2\right[\!\right[} \newcommand{\ou}{\vee} \newcommand{\et}{\wedge} \newcommand{\non}{\neg} \newcommand{\implique}{\Rightarrow} \newcommand{\equivalent}{\Leftrightarrow} \newcommand{\Ab}{\overline{A}} \newcommand{\Bb}{\overline{B}} \newcommand{\Cb}{\overline{C}} \newcommand{\Cl}{\texttt{Cl}} \newcommand{\ab}{\overline{a}} \newcommand{\bb}{\overline{b}} \newcommand{\cb}{\overline{c}} \newcommand{\Rel}{\mathcal{R}} \newcommand{\superepsilon}{\varepsilon\!\!\varepsilon} \newcommand{\supere}{e\!\!e} \makeatletter \newenvironment{console}{\noindent\color{white}\begin{lrbox}{\@tempboxa}\begin{minipage}{\columnwidth} \ttfamily \bfseries\vspace*{0.5cm}} {\vspace*{0.5cm}\end{minipage}\end{lrbox}\colorbox{black}{\usebox{\@tempboxa}} } \makeatother \def\ie{\textit{i.e. }} \def\cf{\textit{c.f. }} \def\vide{ { $ {\text{ }} $ } } %Commande pour les vecteurs \newcommand{\grad}{\overrightarrow{Grad}} \newcommand{\Vv}{\overrightarrow{v}} \newcommand{\Vu}{\overrightarrow{u}} \newcommand{\Vw}{\overrightarrow{w}} \newcommand{\Vup}{\overrightarrow{u'}} \newcommand{\Zero}{\overrightarrow{0}} \newcommand{\Vx}{\overrightarrow{x}} \newcommand{\Vy}{\overrightarrow{y}} \newcommand{\Vz}{\overrightarrow{z}} \newcommand{\Vt}{\overrightarrow{t}} \newcommand{\Va}{\overrightarrow{a}} \newcommand{\Vb}{\overrightarrow{b}} \newcommand{\Vc}{\overrightarrow{c}} \newcommand{\Vd}{\overrightarrow{d}} \newcommand{\Ve}[1]{\overrightarrow{e_{#1}}} \newcommand{\Vf}[1]{\overrightarrow{f_{#1}}} \newcommand{\Vn}{\overrightarrow{0}} \newcommand{\Mat}{Mat} \newcommand{\Pass}{Pass} \newcommand{\mkF}{\mathfrak{F}} \renewcommand{\sp}{Sp} \newcommand{\Co}{Co} \newcommand{\vect}[1]{\texttt{Vect}\dpl{\left( #1\right)}} \newcommand{\prodscal}[2]{\dpl{\left\langle #1\left|\vphantom{#1 #2}\right. #2\right\rangle}} \newcommand{\trans}[1]{{\vphantom{#1}}^{t}{#1}} \newcommand{\ortho}[1]{{#1}^{\bot}} \newcommand{\oplusbot}{\overset{\bot}{\oplus}} \SelectTips{cm}{12}%Change le bout des flèches dans un xymatrix \newcommand{\pourDES}[8]{ \begin{itemize} \item Pour la ligne : le premier et dernier caractère forment $#1#2$ soit $#4$ en base 10. \item Pour la colonne : les autres caractères du bloc forment $#3$ soit $#5$ en base 10. \item A l'intersection de la ligne $#4+1$ et de la colonne $#5+1$ de $S_{#8}$ se trouve l'entier $#6$ qui, codé sur $4$ bits, est \textbf{\texttt{$#7$}}. \end{itemize} } \)

Exercice

L'exercice suivant est automatiquement et aléatoirement généré par ataraXy.
Si vous regénérez la page (F5) les valeurs seront changées.
La correction se trouve en bas de page.

Exercice

Il est possible de reproduire ce dessin sans passer deux fois par la même arête et sans levé le crayon du papier. \[\xymatrix{ *=0{} \ar@{-}@/^1pc/[rr]\ar@{-}[d]\ar@{-}[rrd] & *=0{} \ar@{-}[ld]\ar@{-}[d] & *=0{} \ar@{-}[lld] \\ *=0{} \ar@{-}[r]\ar@{-}@/_1pc/[rr] & *=0{} & *=0{} }\]
1. Faux
2. Vrai
Soit $ \G$ le graphe orienté suivant : \[ \xymatrix{ A\ar[r]&B\ar@/^0.5pc/[rd]&C\ar[r]&D\ar[r]&E\\ J\ar[r]&I&H\ar@/^0.5pc/[lu]\ar@/^0.5pc/[llu]&G\ar@/^0.5pc/[r]&F\ar@/^0.5pc/[l]\ar@/^1.19pc/[lll] } \]
1. $ CCF(I, \G)=\{F, G, I, J\}$
2. $ CCF(F, \G)=\{F, G\}$
3. $ CCF(C \G)=\{C, D, E\}$
Quelle propriété un graphe connexe $ \G$ doit vérifier pour être un arbre ?
1. $ \Card(\Ar(\G))=\Card(\Som(\G))$
2. $ \Card(\Ar(\G))=\Card(\Som(\G))+1$
3. $ \Card(\Ar(\G))=\Card(\Som(\G))-1$
Soit $ \G$ le graphe orienté suivant : \[ \xymatrix{ A\ar[r]&B\ar@/^0.5pc/[rd]&C\ar[r]&D\ar[r]&E\\ J\ar[r]&I&H\ar@/^0.5pc/[lu]\ar@/^0.5pc/[llu]&G\ar@/^0.5pc/[r]&F\ar@/^0.5pc/[l]\ar@/^1.19pc/[lll] } \]
1. $ CC(G, \G)=\{A, B, H\}$
2. $ CC(G, \G)=\{F, G, I, J\}$
3. $ CC(G, \G)=\{C, D, E\}$
Soit $ \G$ le graphe orienté suivant : \[\begin{array}{c||ccccc} & x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} & x_{5} \\\hline\hline x_{1} & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ x_{2} & 1 & 0 & 0 & 1 & 1\\ x_{3} & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ x_{4} & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ x_{5} & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\]
1. $ d^{-1}(x_1, \G)=4$
2. $ d^{-1}(x_1, \G)=2$
3. $ d^{-1}(x_1, \G)=3$

Cliquer ici pour afficher la solution

Exercice

Il est possible de reproduire ce dessin sans passer deux fois par la même arête et sans levé le crayon du papier. \[\xymatrix{ *=0{} \ar@{-}@/^1pc/[rr]\ar@{-}[d]\ar@{-}[rrd] & *=0{} \ar@{-}[ld]\ar@{-}[d] & *=0{} \ar@{-}[lld] \\ *=0{} \ar@{-}[r]\ar@{-}@/_1pc/[rr] & *=0{} & *=0{} }\]
1. Faux
2. Vrai
Soit $ \G$ le graphe orienté suivant : \[ \xymatrix{ A\ar[r]&B\ar@/^0.5pc/[rd]&C\ar[r]&D\ar[r]&E\\ J\ar[r]&I&H\ar@/^0.5pc/[lu]\ar@/^0.5pc/[llu]&G\ar@/^0.5pc/[r]&F\ar@/^0.5pc/[l]\ar@/^1.19pc/[lll] } \]
1. $ CCF(I, \G)=\{F, G, I, J\}$
2. $ CCF(F, \G)=\{F, G\}$
3. $ CCF(C \G)=\{C, D, E\}$
Quelle propriété un graphe connexe $ \G$ doit vérifier pour être un arbre ?
1. $ \Card(\Ar(\G))=\Card(\Som(\G))$
2. $ \Card(\Ar(\G))=\Card(\Som(\G))+1$
3. $ \Card(\Ar(\G))=\Card(\Som(\G))-1$
Soit $ \G$ le graphe orienté suivant : \[ \xymatrix{ A\ar[r]&B\ar@/^0.5pc/[rd]&C\ar[r]&D\ar[r]&E\\ J\ar[r]&I&H\ar@/^0.5pc/[lu]\ar@/^0.5pc/[llu]&G\ar@/^0.5pc/[r]&F\ar@/^0.5pc/[l]\ar@/^1.19pc/[lll] } \]
1. $ CC(G, \G)=\{A, B, H\}$
2. $ CC(G, \G)=\{F, G, I, J\}$
3. $ CC(G, \G)=\{C, D, E\}$
Soit $ \G$ le graphe orienté suivant : \[\begin{array}{c||ccccc} & x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} & x_{5} \\\hline\hline x_{1} & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ x_{2} & 1 & 0 & 0 & 1 & 1\\ x_{3} & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ x_{4} & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ x_{5} & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\]
1. $ d^{-1}(x_1, \G)=4$
2. $ d^{-1}(x_1, \G)=2$
3. $ d^{-1}(x_1, \G)=3$