\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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  1. Il est possible de reproduire ce dessin sans passer deux fois par la même arête et sans levé le crayon du papier. $$\xymatrix{ *=0{} \ar@{-}[r]\ar@{-}@/^1pc/[rr]\ar@{-}[rd]\ar@{-}[rrd] & *=0{} \ar@{-}[r]\ar@{-}[ld] & *=0{} \ar@{-}[ld]\ar@{-}[d] \\ *=0{} \ar@{-}[r] & *=0{} \ar@{-}[r] & *=0{} }$$
    1. Faux
    2. Vrai
  2. Soit $ \G$ le graphe orienté suivant : $$ \xymatrix{ A\ar[r]&B\ar@/^0.5pc/[rd]&C\ar[r]&D\ar[r]&E\\ J\ar[r]&I&H\ar@/^0.5pc/[lu]\ar@/^0.5pc/[llu]&G\ar@/^0.5pc/[r]&F\ar@/^0.5pc/[l]\ar@/^1.19pc/[lll] } $$
    1. $ CCF(I, \G)=\{F, G, I, J\}$
    2. $ CCF(F, \G)=\{F, G\}$
    3. $ CCF(C \G)=\{C, D, E\}$
  3. Soit $ \G$ le graphe orienté suivant : $$\begin{array}{c||ccccc} & x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} & x_{5} \\\hline\hline x_{1} & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\ x_{2} & 1 & 1 & 0 & 1 & 1\\ x_{3} & 1 & 1 & 0 & 1 & 1\\ x_{4} & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\ x_{5} & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\end{array}$$
    1. $ d^{-1}(x_5, \G)=1$
    2. $ d^{-1}(x_5, \G)=5$
    3. $ d^{-1}(x_5, \G)=4$
  4. Quelle propriété un graphe connexe $ \G$ doit vérifier pour être un arbre ?
    1. $ \Card(\Ar(\G))=\Card(\Som(\G))$
    2. $ \Card(\Ar(\G))=\Card(\Som(\G))-1$
    3. $ \Card(\Ar(\G))=\Card(\Som(\G))+1$
  5. Soit $ \G$ le graphe orienté suivant : $$ \xymatrix{ A\ar[r]&B\ar@/^0.5pc/[rd]&C\ar[r]&D\ar[r]&E\\ J\ar[r]&I&H\ar@/^0.5pc/[lu]\ar@/^0.5pc/[llu]&G\ar@/^0.5pc/[r]&F\ar@/^0.5pc/[l]\ar@/^1.19pc/[lll] } $$
    1. $ CC(F, \G)=\{F, G, I, J\}$
    2. $ CC(F, \G)=\{A, B, H\}$
    3. $ CC(F, \G)=\{C, D, E\}$
Cliquer ici pour afficher la solution
  1. Il est possible de reproduire ce dessin sans passer deux fois par la même arête et sans levé le crayon du papier. $$\xymatrix{ *=0{} \ar@{-}[r]\ar@{-}@/^1pc/[rr]\ar@{-}[rd]\ar@{-}[rrd] & *=0{} \ar@{-}[r]\ar@{-}[ld] & *=0{} \ar@{-}[ld]\ar@{-}[d] \\ *=0{} \ar@{-}[r] & *=0{} \ar@{-}[r] & *=0{} }$$
    1. Faux
    2. Vrai
  2. Soit $ \G$ le graphe orienté suivant : $$ \xymatrix{ A\ar[r]&B\ar@/^0.5pc/[rd]&C\ar[r]&D\ar[r]&E\\ J\ar[r]&I&H\ar@/^0.5pc/[lu]\ar@/^0.5pc/[llu]&G\ar@/^0.5pc/[r]&F\ar@/^0.5pc/[l]\ar@/^1.19pc/[lll] } $$
    1. $ CCF(I, \G)=\{F, G, I, J\}$
    2. $ CCF(F, \G)=\{F, G\}$
    3. $ CCF(C \G)=\{C, D, E\}$
  3. Soit $ \G$ le graphe orienté suivant : $$\begin{array}{c||ccccc} & x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} & x_{5} \\\hline\hline x_{1} & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\ x_{2} & 1 & 1 & 0 & 1 & 1\\ x_{3} & 1 & 1 & 0 & 1 & 1\\ x_{4} & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\ x_{5} & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\end{array}$$
    1. $ d^{-1}(x_5, \G)=1$
    2. $ d^{-1}(x_5, \G)=5$
    3. $ d^{-1}(x_5, \G)=4$
  4. Quelle propriété un graphe connexe $ \G$ doit vérifier pour être un arbre ?
    1. $ \Card(\Ar(\G))=\Card(\Som(\G))$
    2. $ \Card(\Ar(\G))=\Card(\Som(\G))-1$
    3. $ \Card(\Ar(\G))=\Card(\Som(\G))+1$
  5. Soit $ \G$ le graphe orienté suivant : $$ \xymatrix{ A\ar[r]&B\ar@/^0.5pc/[rd]&C\ar[r]&D\ar[r]&E\\ J\ar[r]&I&H\ar@/^0.5pc/[lu]\ar@/^0.5pc/[llu]&G\ar@/^0.5pc/[r]&F\ar@/^0.5pc/[l]\ar@/^1.19pc/[lll] } $$
    1. $ CC(F, \G)=\{F, G, I, J\}$
    2. $ CC(F, \G)=\{A, B, H\}$
    3. $ CC(F, \G)=\{C, D, E\}$