\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Le but de cet exercice est de déterminer tous les graphes répondant aux contraintes suivantes. $$ \begin{array}{r|*{7}{|c}} \Som&a&b&c&d&e&f&g\\\hline\hline d^{+1}&2&2&5&2&3&6&4\\\hline d^{-1}&6&6&0&3&6&2&1 \end{array} $$
  1. Sans faire d'hypothèse, déterminer les coefficients dont vous êtes sûre de leur valeurs dans la matrice booléenne. $$ \begin{array}{r|*{7}{|c}} &a&b&c&d&e&f&g\\\hline\hline a&&&&&&&\\\hline b&&&&&&&\\\hline c&&&&&&&\\\hline d&&&&&&&\\\hline e&&&&&&&\\\hline f&&&&&&&\\\hline g&&&&&&& \end{array} $$
  2. Supposons que $ (a, e)\not\in\Arc$ .
    1. Recopier et compléter la matrice précédente en incorporant cette nouvelle hypothèse. $$ \begin{array}{r|*{7}{|c}} &a&b&c&d&e&f&g\\\hline\hline a&&&&&&&\\\hline b&&&&&&&\\\hline c&&&&&&&\\\hline d&&&&&&&\\\hline e&&&&&&&\\\hline f&&&&&&&\\\hline g&&&&&&& \end{array} $$
    2. Donnez les deux matrices répondants aux contraintes de l'exercice et prenant en compte l'hypothèse de cette question. $$ \begin{array}{r|*{7}{|c}} &a&b&c&d&e&f&g\\\hline\hline a&&&&&&&\\\hline b&&&&&&&\\\hline c&&&&&&&\\\hline d&&&&&&&\\\hline e&&&&&&&\\\hline f&&&&&&&\\\hline g&&&&&&& \end{array} $$ $$ \begin{array}{r|*{7}{|c}} &a&b&c&d&e&f&g\\\hline\hline a&&&&&&&\\\hline b&&&&&&&\\\hline c&&&&&&&\\\hline d&&&&&&&\\\hline e&&&&&&&\\\hline f&&&&&&&\\\hline g&&&&&&& \end{array} $$
  3. Dans cette question on suppose cette fois que $ (a, a)\not\in\Arc$ . Donnez les deux matrices satisfaisant cette hypothèse supplémentaire. $$ \begin{array}{r|*{7}{|c}} &a&b&c&d&e&f&g\\\hline\hline a&&&&&&&\\\hline b&&&&&&&\\\hline c&&&&&&&\\\hline d&&&&&&&\\\hline e&&&&&&&\\\hline f&&&&&&&\\\hline g&&&&&&& \end{array} $$ $$ \begin{array}{r|*{7}{|c}} &a&b&c&d&e&f&g\\\hline\hline a&&&&&&&\\\hline b&&&&&&&\\\hline c&&&&&&&\\\hline d&&&&&&&\\\hline e&&&&&&&\\\hline f&&&&&&&\\\hline g&&&&&&& \end{array} $$
    1. Quelle dernière hypothèse faut-il émettre pour achever la discussion ?
    2. Donner les deux matrices satisfaisant cette hypothèse. $$ \begin{array}{r|*{7}{|c}} &a&b&c&d&e&f&g\\\hline\hline a&&&&&&&\\\hline b&&&&&&&\\\hline c&&&&&&&\\\hline d&&&&&&&\\\hline e&&&&&&&\\\hline f&&&&&&&\\\hline g&&&&&&& \end{array} $$ $$ \begin{array}{r|*{7}{|c}} &a&b&c&d&e&f&g\\\hline\hline a&&&&&&&\\\hline b&&&&&&&\\\hline c&&&&&&&\\\hline d&&&&&&&\\\hline e&&&&&&&\\\hline f&&&&&&&\\\hline g&&&&&&& \end{array} $$
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$$ \begin{array}{r|*{7}{|c}} \Som&a&b&c&d&e&f&g\\\hline\hline d^{+1}&2&2&5&2&3&6&4\\\hline d^{-1}&6&6&0&3&6&2&1 \end{array} $$
  1. $$ \begin{array}{r|*{7}{|c}} &a&b&c&d&e&f&g\\\hline\hline a&&&0&0&&0&0\\\hline b&&&0&0&&0&0\\\hline c&1&1&0&1&1&1&0\\\hline d&&&0&0&&0&0\\\hline e&1&1&0&0&1&0&0\\\hline f&1&1&0&1&1&1&1\\\hline g&1&1&0&1&1&0&0 \end{array} $$
  2. $ (a, e)\not\in\Arc$ .
    1. $$ \begin{array}{r|*{7}{|c}} &a&b&c&d&e&f&g\\\hline\hline a&1&1&0&0&0&0&0\\\hline b&&&0&0&1&0&0\\\hline c&1&1&0&1&1&1&0\\\hline d&&&0&0&1&0&0\\\hline e&1&1&0&0&1&0&0\\\hline f&1&1&0&1&1&1&1\\\hline g&1&1&0&1&1&0&0 \end{array} $$
    2. $$ \begin{array}{r|*{7}{|c}} &a&b&c&d&e&f&g\\\hline\hline a&1&1&0&0&0&0&0\\\hline b&1&0&0&0&1&0&0\\\hline c&1&1&0&1&1&1&0\\\hline d&0&1&0&0&1&0&0\\\hline e&1&1&0&0&1&0&0\\\hline f&1&1&0&1&1&1&1\\\hline g&1&1&0&1&1&0&0 \end{array} $$ $$ \begin{array}{r|*{7}{|c}} &a&b&c&d&e&f&g\\\hline\hline a&1&1&0&0&0&0&0\\\hline b&0&1&0&0&1&0&0\\\hline c&1&1&0&1&1&1&0\\\hline d&1&0&0&0&1&0&0\\\hline e&1&1&0&0&1&0&0\\\hline f&1&1&0&1&1&1&1\\\hline g&1&1&0&1&1&0&0 \end{array} $$
  3. $ (a, a)\not\in\Arc$ . $$ \begin{array}{r|*{7}{|c}} &a&b&c&d&e&f&g\\\hline\hline a&0&1&0&0&1&0&0\\\hline b&1&0&0&0&1&0&0\\\hline c&1&1&0&1&1&1&0\\\hline d&1&1&0&0&0&0&0\\\hline e&1&1&0&0&1&0&0\\\hline f&1&1&0&1&1&1&1\\\hline g&1&1&0&1&1&0&0 \end{array} $$ $$ \begin{array}{r|*{7}{|c}} &a&b&c&d&e&f&g\\\hline\hline a&0&1&0&0&1&0&0\\\hline b&1&1&0&0&0&0&0\\\hline c&1&1&0&1&1&1&0\\\hline d&1&0&0&0&1&0&0\\\hline e&1&1&0&0&1&0&0\\\hline f&1&1&0&1&1&1&1\\\hline g&1&1&0&1&1&0&0 \end{array} $$
    1. Le dernier cas à traiter est $ (a, b)\not\in\Arc$ .
    2. $$ \begin{array}{r|*{7}{|c}} &a&b&c&d&e&f&g\\\hline\hline a&1&0&0&0&1&0&0\\\hline b&0&1&0&0&1&0&0\\\hline c&1&1&0&1&1&1&0\\\hline d&1&1&0&0&0&0&0\\\hline e&1&1&0&0&1&0&0\\\hline f&1&1&0&1&1&1&1\\\hline g&1&1&0&1&1&0&0 \end{array} $$ $$ \begin{array}{r|*{7}{|c}} &a&b&c&d&e&f&g\\\hline\hline a&1&0&0&0&1&0&0\\\hline b&1&1&0&0&0&0&0\\\hline c&1&1&0&1&1&1&0\\\hline d&0&1&0&0&1&0&0\\\hline e&1&1&0&0&1&0&0\\\hline f&1&1&0&1&1&1&1\\\hline g&1&1&0&1&1&0&0 \end{array} $$