Ataraxy

\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; #2\right]\!\right]} \newcommand{\intEFO}[2]{\left[\!\left[#1 ; #2\right[\!\right[} \newcommand{\intEOF}[2]{\left]\!\left]#1 ; #2\right]\!\right]} \newcommand{\intEOO}[2]{\left]\!\left]#1 ; #2\right[\!\right[} \newcommand{\ou}{\vee} \newcommand{\et}{\wedge} \newcommand{\non}{\neg} \newcommand{\implique}{\Rightarrow} \newcommand{\equivalent}{\Leftrightarrow} \newcommand{\Ab}{\overline{A}} \newcommand{\Bb}{\overline{B}} \newcommand{\Cb}{\overline{C}} \newcommand{\Cl}{\texttt{Cl}} \newcommand{\ab}{\overline{a}} \newcommand{\bb}{\overline{b}} \newcommand{\cb}{\overline{c}} \newcommand{\Rel}{\mathcal{R}} \newcommand{\superepsilon}{\varepsilon\!\!\varepsilon} \newcommand{\supere}{e\!\!e} \makeatletter \newenvironment{console}{\noindent\color{white}\begin{lrbox}{\@tempboxa}\begin{minipage}{\columnwidth} \ttfamily \bfseries\vspace*{0.5cm}} {\vspace*{0.5cm}\end{minipage}\end{lrbox}\colorbox{black}{\usebox{\@tempboxa}} } \makeatother \def\ie{\textit{i.e. }} \def\cf{\textit{c.f. }} \def\vide{ { $ {\text{ }} $ } } %Commande pour les vecteurs \newcommand{\grad}{\overrightarrow{Grad}} \newcommand{\Vv}{\overrightarrow{v}} \newcommand{\Vu}{\overrightarrow{u}} \newcommand{\Vw}{\overrightarrow{w}} \newcommand{\Vup}{\overrightarrow{u'}} \newcommand{\Zero}{\overrightarrow{0}} \newcommand{\Vx}{\overrightarrow{x}} \newcommand{\Vy}{\overrightarrow{y}} \newcommand{\Vz}{\overrightarrow{z}} \newcommand{\Vt}{\overrightarrow{t}} \newcommand{\Va}{\overrightarrow{a}} \newcommand{\Vb}{\overrightarrow{b}} \newcommand{\Vc}{\overrightarrow{c}} \newcommand{\Vd}{\overrightarrow{d}} \newcommand{\Ve}[1]{\overrightarrow{e_{#1}}} \newcommand{\Vf}[1]{\overrightarrow{f_{#1}}} \newcommand{\Vn}{\overrightarrow{0}} \newcommand{\Mat}{Mat} \newcommand{\Pass}{Pass} \newcommand{\mkF}{\mathfrak{F}} \renewcommand{\sp}{Sp} \newcommand{\Co}{Co} \newcommand{\vect}[1]{\texttt{Vect}\dpl{\left( #1\right)}} \newcommand{\prodscal}[2]{\dpl{\left\langle #1\left|\vphantom{#1 #2}\right. #2\right\rangle}} \newcommand{\trans}[1]{{\vphantom{#1}}^{t}{#1}} \newcommand{\ortho}[1]{{#1}^{\bot}} \newcommand{\oplusbot}{\overset{\bot}{\oplus}} \SelectTips{cm}{12}%Change le bout des flèches dans un xymatrix \newcommand{\pourDES}[8]{ \begin{itemize} \item Pour la ligne : le premier et dernier caractère forment $#1#2$ soit $#4$ en base 10. \item Pour la colonne : les autres caractères du bloc forment $#3$ soit $#5$ en base 10. \item A l'intersection de la ligne $#4+1$ et de la colonne $#5+1$ de $S_{#8}$ se trouve l'entier $#6$ qui, codé sur $4$ bits, est \textbf{\texttt{$#7$}}. \end{itemize} } \)

Exercice

L'exercice suivant est automatiquement et aléatoirement généré par ataraXy.
Si vous regénérez la page (F5) les valeurs seront changées.
La correction se trouve en bas de page.

Exercice

Soit \[ f(x)=\dfrac{-\dfrac{1}{24}x^2+\dfrac{17}{4}x-24+ln(x)}{x-6}\]

Déterminer le domaine de définition de $ f$ .
Étudier les limites de $ f$ au bord de son domaine de définition.
Déduire des questions suivantes l'existence d'asymptotes.
Montrer que la droite d'équation $ y =-\dfrac{1}{24}x+4$ est une asymptote oblique.
Montrer que $ f'(x)=\dfrac{g(x)}{x(x-6)^2}$ où $ g(x)=-\dfrac{1}{24}x^3+\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x-6-xln(x)$ .
Étudions la fonction $ g$ sur $ ]0 ; +\infty[$ .
1. Montrer que $ g'(x)=-\dfrac{1}{8}x^2+1x-\dfrac{3}{2}-ln(x)$ .
2. En déduire que $ g''$ la dérivé seconde de $ g$ (c'est à dire la dérivé de $ g'$ ) est $ g''(x)=\dfrac{-\dfrac{1}{4}x^2+1x-1 }{x}$ .
3. En déduire le signe de $ g''$ puis les variations de $ g'$ .
4. Montrer que l'équation $ g'(x)=0$ admet une unique solution $ u\in\left]0 ; 2\right[$ .
5. En déduire le signe de $ g$ .
6. Montrer que $ g(u)=(u-6)\left(\dfrac{1}{12}u^2+1\right)$ .
Déduire des questions précédentes le signe de$ f'$ puis les variations de $ f$ .
Dessiner aussi proprement que faire ce peut l'allure de la courbe représentative de $ f$ .

Cliquer ici pour afficher la solution

Exercice

Le logarithme impose que $ x{>}0$ et la fraction impose que $ x\neq 6$ . En conclusion $ \mathscr{D}_f=]0 ; 6[\cup]6 ; +\infty[$ .
$ \bullet$
$ \lim{x\rightarrow0^+}f(x)=\dfrac{-\infty}{-6}=+\infty$ .

$ \bullet$
$ \lim{x\rightarrow6^-}f(x)= \dfrac{0+ln(6)}{0^-}=-\infty$ .

$ \bullet$
$ \lim{x\rightarrow6^+}f(x)= \dfrac{0+ln(6)}{0^+}=+\infty$ .

$ \bullet$
$ \lim{x\rightarrow+\infty}f(x)= \lim{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x\left(-\dfrac{1}{24}x+\dfrac{17}{4}+\dfrac{24}{x}+\dfrac{ln(x)}{x}\right)}{x-6} =\lim{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x}{x-6}\left(-\dfrac{1}{24}x+\dfrac{17}{4}+\dfrac{24}{x}+\dfrac{ln(x)}{x} \right)=-\infty $
On en déduit que les droites $ x=0$ et $ x=6$ sont des asymptotes verticales.
On a $ f(x)-\left(-\dfrac{1}{24}x+4\right)=\dfrac{ln(x)}{x-6}$ . On en déduit que $ \lim{x\rightarrow+\infty}f(x)-y=0$ ce qui prouve que la droite est asymptote oblique.
D'après la question précédente on observe que $ f(x)=-\dfrac{1}{24}x+4+\dfrac{ln(x)}{x-6}$ . D'où : \begin{eqnarray*} f'(x)&=&-\dfrac{1}{24}+\left(\dfrac{ln(x)}{x-6}\right)'\\ &=&-\dfrac{1}{24}+\dfrac{\dfrac{1}{x}(x-6)-ln(x)}{(x-6)^2}\\ &=&\dfrac{-\dfrac{1}{24}(x-6)^2+\dfrac{1}{x}(x-6)-ln(x)}{(x-6)^2}\\ &=&\dfrac{-\dfrac{1}{24}(x^2-12x+36)+1-\dfrac{6}{x}-ln(x)}{(x-6)^2}\\ &=&\dfrac{\dfrac{-\dfrac{1}{24}(x^2-12x+36)x+x-6-x ln(x)}{x}}{(x-6)^2}\\ &=&\dfrac{-\dfrac{1}{24}x^3-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x-6-xln(x)}{x(x-6)^2} \end{eqnarray*}
Étudions la fonction $ g$ sur $ ]0 ; +\infty[$ .
1. \begin{eqnarray*} g'(x)&=&\left(-\dfrac{1}{24}x^3-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x-6-xln(x)\right)'\\ &=&-\dfrac{1}{8}x^2-1x-\dfrac{1}{2}-(xln(x))'\\ &=&-\dfrac{1}{8}x^2-1x-\dfrac{1}{2}-\left(ln(x)+x\dfrac{1}{x}\right)\\ &=&-\dfrac{1}{8}x^2+1x-\dfrac{3}{2}-ln(x) \end{eqnarray*}
2. \begin{eqnarray*} g''(x)&=&\left(-\dfrac{1}{8}x^2+1x-\dfrac{3}{2}-ln(x)\right)'\\ &=&-\dfrac{1}{4}x+1-\dfrac{1}{x}\\ &=&\dfrac{-\dfrac{1}{4}x^2+1x-1 }{x} \end{eqnarray*}
3. Le discriminant du polynôme $ -\dfrac{1}{4}x^2+1x-1 $ est nul. Ainsi sur $ ]0 ; +\infty[$ la fonction $ g''$ est du signe du coefficient dominant qui est négatif. De plus $ g''(x)$ ne s'annule qu'une seule et unique fois en $ x_0=2$ . On en déduit que la fonction $ g'$ est décroissante (avec un point d'inflexion en $ x_0$ ).
4. On observe que $ \lim{x\rightarrow0^+}g'(x)=+\infty$ et que $ g'\left(2\right)=-ln\left(2\right){<}0$ . La fonction étant continue, il existe d'après le théorème des valeurs intermédiaire, un réel $ u\in\left]0 ; 2\right[$ tel que $ g'(u)=0$ .
5. On déduit que la question précédent que la fonction $ g'$ est positive sur $ ]0 ; u[$ et négative sur $ ]u ; +\infty[$ . D'après le cours, ceci implique que $ g$ est strictement croissante sur $ ]0 ; u[$ et strictement décroissante sur $ ]u ; +\infty[$ .
6. Par définition de $ u$ on a $ g'(u)=0$ ce qui signifie que $ ln(u)=-\dfrac{1}{8}u^2+1u-\dfrac{3}{2}$ ; ainsi : \begin{eqnarray*} g(u)&=&-\dfrac{1}{24}u^3-\dfrac{1}{2}u^2-\dfrac{1}{2}u-6-uln(u)\\ &=&-\dfrac{1}{24}u^3-\dfrac{1}{2}u^2-\dfrac{1}{2}u-6-u\left(-\dfrac{1}{8}u^2+1u-\dfrac{3}{2}\right)\\ &=& \dfrac{1}{12}u^3-\dfrac{1}{2}u^2+u -6 \end{eqnarray*} En développant la forme donnée dans l'énoncé on observe que c'est la même chose.
Le maximum de la fonction $ g$ est le nombre $ g(u)=(u-6)\left(\dfrac{1}{12}u^2+1\right)$ qui est clairement négatif puisque $ \left(\dfrac{1}{12}u^2+1\right)$ est trivialement positif et $ u-6{<}0 $ car $ u\in\left]0 ; 2\right[$ . Ceci implique de $ g$ est strictement négative sur $ ]0 ; +\infty[$ . Puisque le signe de $ f'$ est donnée par le signe de $ g$ on en déduit que $ f$ est décroissante sur son domaine de définition.