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Exercice

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Exercice

Soit \[ f(x)=\dfrac{-\dfrac{3}{32}x^2+\dfrac{27}{8}x-12+ln(x)}{x-4}\]

Déterminer le domaine de définition de $ f$ .
Étudier les limites de $ f$ au bord de son domaine de définition.
Déduire des questions suivantes l'existence d'asymptotes.
Montrer que la droite d'équation $ y =-\dfrac{3}{32}x+3$ est une asymptote oblique.
Montrer que $ f'(x)=\dfrac{g(x)}{x(x-4)^2}$ où $ g(x)=-\dfrac{3}{32}x^3+\dfrac{3}{4}x^2-\dfrac{1}{2}x-4-xln(x)$ .
Étudions la fonction $ g$ sur $ ]0 ; +\infty[$ .
1. Montrer que $ g'(x)=-\dfrac{9}{32}x^2+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}-ln(x)$ .
2. En déduire que $ g''$ la dérivé seconde de $ g$ (c'est à dire la dérivé de $ g'$ ) est $ g''(x)=\dfrac{-\dfrac{9}{16}x^2+\dfrac{3}{2}x-1 }{x}$ .
3. En déduire le signe de $ g''$ puis les variations de $ g'$ .
4. Montrer que l'équation $ g'(x)=0$ admet une unique solution $ u\in\left]0 ; \dfrac{4}{3}\right[$ .
5. En déduire le signe de $ g$ .
6. Montrer que $ g(u)=(u-4)\left(\dfrac{3}{16}u^2+1\right)$ .
Déduire des questions précédentes le signe de$ f'$ puis les variations de $ f$ .
Dessiner aussi proprement que faire ce peut l'allure de la courbe représentative de $ f$ .

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Exercice

Le logarithme impose que $ x{>}0$ et la fraction impose que $ x\neq 4$ . En conclusion $ \mathscr{D}_f=]0 ; 4[\cup]4 ; +\infty[$ .
$ \bullet$
$ \lim{x\rightarrow0^+}f(x)=\dfrac{-\infty}{-4}=+\infty$ .

$ \bullet$
$ \lim{x\rightarrow4^-}f(x)= \dfrac{0+ln(4)}{0^-}=-\infty$ .

$ \bullet$
$ \lim{x\rightarrow4^+}f(x)= \dfrac{0+ln(4)}{0^+}=+\infty$ .

$ \bullet$
$ \lim{x\rightarrow+\infty}f(x)= \lim{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x\left(-\dfrac{3}{32}x+\dfrac{27}{8}+\dfrac{12}{x}+\dfrac{ln(x)}{x}\right)}{x-4} =\lim{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x}{x-4}\left(-\dfrac{3}{32}x+\dfrac{27}{8}+\dfrac{12}{x}+\dfrac{ln(x)}{x} \right)=-\infty $
On en déduit que les droites $ x=0$ et $ x=4$ sont des asymptotes verticales.
On a $ f(x)-\left(-\dfrac{3}{32}x+3\right)=\dfrac{ln(x)}{x-4}$ . On en déduit que $ \lim{x\rightarrow+\infty}f(x)-y=0$ ce qui prouve que la droite est asymptote oblique.
D'après la question précédente on observe que $ f(x)=-\dfrac{3}{32}x+3+\dfrac{ln(x)}{x-4}$ . D'où : \begin{eqnarray*} f'(x)&=&-\dfrac{3}{32}+\left(\dfrac{ln(x)}{x-4}\right)'\\ &=&-\dfrac{3}{32}+\dfrac{\dfrac{1}{x}(x-4)-ln(x)}{(x-4)^2}\\ &=&\dfrac{-\dfrac{3}{32}(x-4)^2+\dfrac{1}{x}(x-4)-ln(x)}{(x-4)^2}\\ &=&\dfrac{-\dfrac{3}{32}(x^2-8x+16)+1-\dfrac{4}{x}-ln(x)}{(x-4)^2}\\ &=&\dfrac{\dfrac{-\dfrac{3}{32}(x^2-8x+16)x+x-4-x ln(x)}{x}}{(x-4)^2}\\ &=&\dfrac{-\dfrac{3}{32}x^3-\dfrac{3}{4}x^2-\dfrac{1}{2}x-4-xln(x)}{x(x-4)^2} \end{eqnarray*}
Étudions la fonction $ g$ sur $ ]0 ; +\infty[$ .
1. \begin{eqnarray*} g'(x)&=&\left(-\dfrac{3}{32}x^3-\dfrac{3}{4}x^2-\dfrac{1}{2}x-4-xln(x)\right)'\\ &=&-\dfrac{9}{32}x^2-\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2}-(xln(x))'\\ &=&-\dfrac{9}{32}x^2-\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2}-\left(ln(x)+x\dfrac{1}{x}\right)\\ &=&-\dfrac{9}{32}x^2+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}-ln(x) \end{eqnarray*}
2. \begin{eqnarray*} g''(x)&=&\left(-\dfrac{9}{32}x^2+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}-ln(x)\right)'\\ &=&-\dfrac{9}{16}x+\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{x}\\ &=&\dfrac{-\dfrac{9}{16}x^2+\dfrac{3}{2}x-1 }{x} \end{eqnarray*}
3. Le discriminant du polynôme $ -\dfrac{9}{16}x^2+\dfrac{3}{2}x-1 $ est nul. Ainsi sur $ ]0 ; +\infty[$ la fonction $ g''$ est du signe du coefficient dominant qui est négatif. De plus $ g''(x)$ ne s'annule qu'une seule et unique fois en $ x_0=\dfrac{4}{3}$ . On en déduit que la fonction $ g'$ est décroissante (avec un point d'inflexion en $ x_0$ ).
4. On observe que $ \lim{x\rightarrow0^+}g'(x)=+\infty$ et que $ g'\left(\dfrac{4}{3}\right)=-ln\left(\dfrac{4}{3}\right){<}0$ . La fonction étant continue, il existe d'après le théorème des valeurs intermédiaire, un réel $ u\in\left]0 ; \dfrac{4}{3}\right[$ tel que $ g'(u)=0$ .
5. On déduit que la question précédent que la fonction $ g'$ est positive sur $ ]0 ; u[$ et négative sur $ ]u ; +\infty[$ . D'après le cours, ceci implique que $ g$ est strictement croissante sur $ ]0 ; u[$ et strictement décroissante sur $ ]u ; +\infty[$ .
6. Par définition de $ u$ on a $ g'(u)=0$ ce qui signifie que $ ln(u)=-\dfrac{9}{32}u^2+\dfrac{3}{2}u-\dfrac{3}{2}$ ; ainsi : \begin{eqnarray*} g(u)&=&-\dfrac{3}{32}u^3-\dfrac{3}{4}u^2-\dfrac{1}{2}u-4-uln(u)\\ &=&-\dfrac{3}{32}u^3-\dfrac{3}{4}u^2-\dfrac{1}{2}u-4-u\left(-\dfrac{9}{32}u^2+\dfrac{3}{2}u-\dfrac{3}{2}\right)\\ &=& \dfrac{3}{16}u^3-\dfrac{3}{4}u^2+u -4 \end{eqnarray*} En développant la forme donnée dans l'énoncé on observe que c'est la même chose.
Le maximum de la fonction $ g$ est le nombre $ g(u)=(u-4)\left(\dfrac{3}{16}u^2+1\right)$ qui est clairement négatif puisque $ \left(\dfrac{3}{16}u^2+1\right)$ est trivialement positif et $ u-4{<}0 $ car $ u\in\left]0 ; \dfrac{4}{3}\right[$ . Ceci implique de $ g$ est strictement négative sur $ ]0 ; +\infty[$ . Puisque le signe de $ f'$ est donnée par le signe de $ g$ on en déduit que $ f$ est décroissante sur son domaine de définition.