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Soit $$ f(x)=\dfrac{-\dfrac{3}{98}x^2+\dfrac{59}{14}x-28+ln(x)}{x-7}$$
- Déterminer le domaine de définition de $ f$ .
- Étudier les limites de $ f$ au bord de son domaine de définition.
- Déduire des questions suivantes l'existence d'asymptotes.
- Montrer que la droite d'équation $ y =-\dfrac{3}{98}x+4$ est une asymptote oblique.
- Montrer que $ f'(x)=\dfrac{g(x)}{x(x-7)^2}$ où
$ g(x)=-\dfrac{3}{98}x^3+\dfrac{3}{7}x^2-\dfrac{1}{2}x-7-xln(x)$ .
- Étudions la fonction $ g$ sur $ ]0 ; +\infty[$ .
- Montrer que $ g'(x)=-\dfrac{9}{98}x^2+\dfrac{6}{7}x-\dfrac{3}{2}-ln(x)$ .
- En déduire que $ g''$ la dérivé seconde de $ g$ (c'est à dire la dérivé de $ g'$ ) est
$ g''(x)=\dfrac{-\dfrac{9}{49}x^2+\dfrac{6}{7}x-1
}{x}$ .
- En déduire le signe de $ g''$ puis les variations de $ g'$ .
- Montrer que l'équation $ g'(x)=0$ admet une unique solution $ u\in\left]0 ; \dfrac{7}{3}\right[$ .
- En déduire le signe de $ g$ .
- Montrer que $ g(u)=(u-7)\left(\dfrac{3}{49}u^2+1\right)$ .
Déduire des questions précédentes le signe de$ f'$ puis les variations de $ f$ .
Dessiner aussi proprement que faire ce peut l'allure de la courbe représentative de $ f$ .
Cliquer ici pour afficher la solution
- Le logarithme impose que $ x{>}0$ et la fraction impose que $ x\neq 7$ . En conclusion $ \mathscr{D}_f=]0 ; 7[\cup]7 ; +\infty[$ .
-
- $ \bullet$
- $ \lim{x\rightarrow0^+}f(x)=\dfrac{-\infty}{-7}=+\infty$ .
- $ \bullet$
- $ \lim{x\rightarrow7^-}f(x)=
\dfrac{0+ln(7)}{0^-}=-\infty$ .
- $ \bullet$
- $ \lim{x\rightarrow7^+}f(x)=
\dfrac{0+ln(7)}{0^+}=+\infty$ .
- $ \bullet$
- $ \lim{x\rightarrow+\infty}f(x)=
\lim{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x\left(-\dfrac{3}{98}x+\dfrac{59}{14}+\dfrac{28}{x}+\dfrac{ln(x)}{x}\right)}{x-7}
=\lim{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x}{x-7}\left(-\dfrac{3}{98}x+\dfrac{59}{14}+\dfrac{28}{x}+\dfrac{ln(x)}{x}
\right)=-\infty
$
- On en déduit que les droites $ x=0$ et $ x=7$ sont des asymptotes verticales.
- On a $ f(x)-\left(-\dfrac{3}{98}x+4\right)=\dfrac{ln(x)}{x-7}$ . On en déduit que $ \lim{x\rightarrow+\infty}f(x)-y=0$ ce qui prouve que la droite est asymptote oblique.
- D'après la question précédente on observe que $ f(x)=-\dfrac{3}{98}x+4+\dfrac{ln(x)}{x-7}$ . D'où :
\begin{eqnarray*}
f'(x)&=&-\dfrac{3}{98}+\left(\dfrac{ln(x)}{x-7}\right)'\\
&=&-\dfrac{3}{98}+\dfrac{\dfrac{1}{x}(x-7)-ln(x)}{(x-7)^2}\\
&=&\dfrac{-\dfrac{3}{98}(x-7)^2+\dfrac{1}{x}(x-7)-ln(x)}{(x-7)^2}\\
&=&\dfrac{-\dfrac{3}{98}(x^2-14x+49)+1-\dfrac{7}{x}-ln(x)}{(x-7)^2}\\
&=&\dfrac{\dfrac{-\dfrac{3}{98}(x^2-14x+49)x+x-7-x ln(x)}{x}}{(x-7)^2}\\
&=&\dfrac{-\dfrac{3}{98}x^3-\dfrac{3}{7}x^2-\dfrac{1}{2}x-7-xln(x)}{x(x-7)^2}
\end{eqnarray*}
- Étudions la fonction $ g$ sur $ ]0 ; +\infty[$ .
-
\begin{eqnarray*}
g'(x)&=&\left(-\dfrac{3}{98}x^3-\dfrac{3}{7}x^2-\dfrac{1}{2}x-7-xln(x)\right)'\\
&=&-\dfrac{9}{98}x^2-\dfrac{6}{7}x-\dfrac{1}{2}-(xln(x))'\\
&=&-\dfrac{9}{98}x^2-\dfrac{6}{7}x-\dfrac{1}{2}-\left(ln(x)+x\dfrac{1}{x}\right)\\
&=&-\dfrac{9}{98}x^2+\dfrac{6}{7}x-\dfrac{3}{2}-ln(x)
\end{eqnarray*}
-
\begin{eqnarray*}
g''(x)&=&\left(-\dfrac{9}{98}x^2+\dfrac{6}{7}x-\dfrac{3}{2}-ln(x)\right)'\\
&=&-\dfrac{9}{49}x+\dfrac{6}{7}-\dfrac{1}{x}\\
&=&\dfrac{-\dfrac{9}{49}x^2+\dfrac{6}{7}x-1
}{x}
\end{eqnarray*}
- Le discriminant du polynôme $
-\dfrac{9}{49}x^2+\dfrac{6}{7}x-1
$ est nul. Ainsi sur $ ]0 ; +\infty[$ la fonction $ g''$ est du signe du coefficient dominant qui est négatif. De plus $ g''(x)$ ne s'annule qu'une seule et unique fois en $ x_0=\dfrac{7}{3}$ . On en déduit que la fonction $ g'$ est décroissante (avec un point d'inflexion en $ x_0$ ).
- On observe que $ \lim{x\rightarrow0^+}g'(x)=+\infty$ et que $ g'\left(\dfrac{7}{3}\right)=-ln\left(\dfrac{7}{3}\right){<}0$ . La fonction étant continue, il existe d'après le théorème des valeurs intermédiaire, un réel $ u\in\left]0 ; \dfrac{7}{3}\right[$ tel que $ g'(u)=0$ .
- On déduit que la question précédent que la fonction $ g'$ est positive sur $ ]0 ; u[$ et négative sur $ ]u ; +\infty[$ . D'après le cours, ceci implique que $ g$ est strictement croissante sur $ ]0 ; u[$ et strictement décroissante sur $ ]u ; +\infty[$ .
- Par définition de $ u$ on a $ g'(u)=0$ ce qui signifie que $ ln(u)=-\dfrac{9}{98}u^2+\dfrac{6}{7}u-\dfrac{3}{2}$ ; ainsi :
\begin{eqnarray*}
g(u)&=&-\dfrac{3}{98}u^3-\dfrac{3}{7}u^2-\dfrac{1}{2}u-7-uln(u)\\
&=&-\dfrac{3}{98}u^3-\dfrac{3}{7}u^2-\dfrac{1}{2}u-7-u\left(-\dfrac{9}{98}u^2+\dfrac{6}{7}u-\dfrac{3}{2}\right)\\
&=&
\dfrac{3}{49}u^3-\dfrac{3}{7}u^2+u
-7
\end{eqnarray*}
En développant la forme donnée dans l'énoncé on observe que c'est la même chose.
Le maximum de la fonction $ g$ est le nombre $ g(u)=(u-7)\left(\dfrac{3}{49}u^2+1\right)$ qui est clairement négatif puisque $ \left(\dfrac{3}{49}u^2+1\right)$ est trivialement positif et $ u-7{<}0 $ car $ u\in\left]0 ; \dfrac{7}{3}\right[$ . Ceci implique de $ g$ est strictement négative sur $ ]0 ; +\infty[$ . Puisque le signe de $ f'$ est donnée par le signe de $ g$ on en déduit que $ f$ est décroissante sur son domaine de définition.
