Exercice

1. Il faut et il suffit d'interdire la valeur qui annule le dénominateur à savoir \( -4\) . En conclusion \[\mathscr{D}_f=\R-\{-4\}\]
2. 1. On observe qu'en \( -4\) le numérateur de \( f\) vaut \( {5(-4)^2+9(-4)+6-e^{-4}} \simeq 49.982 {>}0\) . On a alors trivialement \[ \lim{x\rightarrow -4^-} f(x)=-\infty \quad\text{et}\quad \lim{x\rightarrow -4^+} f(x)=+\infty \]
   2. On observe que \( f(x)=\dfrac{5x^2+9x+6}{x+4} - \dfrac{e^{x}}{x+4}\) . Or, d'après le théorème des croissances comparées, \( \lim{x\rightarrow-\infty}\dfrac{e^{x}}{x+4}=0\) d'où \[ \lim{x\rightarrow -\infty} f(x) =\lim{x\rightarrow -\infty} \dfrac{5x^2+9x+6}{x+4} =\lim{x\rightarrow -\infty} \dfrac{5x^2}{x} =\lim{x\rightarrow -\infty} 5x =-\infty \]
   3. 1. D'après le théorème des croissances comparée \( \lim{x\rightarrow+\infty}\dfrac{e^x}{6x(x+4)}=+\infty\) .
      2. La question précédente prouve que pour \( x\) suffisament proche de plus l'infini, \( \dfrac{e^x}{6x(x+4)}\geqslant 1\) soit encore \( \dfrac{e^x}{(x+4)}\geqslant 6x\) ce qui équivaut à \( \dfrac{e^x}{(x+4)}-5x\geqslant x\) ce qui prouve l'ingalité demandée en multipliant par \( -1\) .
      3. Prennons la limite dans l'inégalité précédente pour obtenir, \( \lim{x\rightarrow+\infty}5x-\dfrac{e^x}{(x+4)}\leqslant\lim{x\rightarrow+\infty}-x=-\infty\) de sorte que \[ \lim{x\rightarrow+\infty}5x-\dfrac{e^x}{(x+4)}=-\infty \] FInalement, d'après la même observation faites pour la limite en \( -\infty\) on a \begin{eqnarray*} \lim{x\rightarrow+\infty} f(x) &=& \lim{x\rightarrow+\infty} \dfrac{5x^2+9x+6}{x+4} - \dfrac{e^{x}}{x+4}\\ &=& \lim{x\rightarrow+\infty} 5x - \dfrac{e^{x}}{x+4}\\ &=& -\infty \end{eqnarray*}
3. Asymptotes.
   1. Les limites en \( \pm\infty\) n'étant pas fini, il n'existe pas d'asymptote horizontale (non oblique). La limite en \( -4\) étant inifinie, on en déduit que la droite d'équation \( x=-4\) est une asymptote verticale à la courbe représentative de \( f\)
   2. Simplifions l'expression de \( f(x)-y\) : \begin{eqnarray*} f(x)-y &=& \dfrac{5x^2+9x+6-e^{x}}{x+4} - (5x-11)\\ &=& \dfrac{5x^2+9x+6- (5x-11)(x+4)-e^{x}}{x+4} \\ &=& \dfrac{50-e^{x}}{x+4} \\ &=& \dfrac{50}{x+4}-\dfrac{e^{x}}{x+4} \end{eqnarray*} On a \( \lim{x\rightarrow\pm\infty} \dfrac{50}{x+4}=0\) . De plus d'une part on a \( \lim{x\rightarrow\pm\infty} \dfrac{e^{x}}{x+4}=+\infty\) ce qui ne permet par de montrer que la droite donnée est une asymptote oblique en \( +\infty\) . D'autre part, d'après le théorème des croissance comparée, \( \lim{x\rightarrow\pm\infty} \dfrac{e^{x}}{x+4}=0\) , ce qui permet de conclure que la droite \( y= 5x-11\) est bien une asymptote oblique à la courbe représentative de \( f\) en \( -\infty\) .
4. On a \( f(x)=\dfrac{u}{v}\) où \( u=5x^2+9x+6-e^x\) et \( v=x+4\) . Dans ce cas \( f'(x)=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}\) . Le numérateur est donc la fonction \( g\) cherchée. \begin{eqnarray*} g(x) &=&(5x^2+9x+6-e^x)'(x+4)-(x+4)'(5x^2+9x+6-e^x)\\ &=&(10x+9-e^x)'(x+4)-(5x^2+9x+6-e^x)\\ &=&10x^2+9x+40x+36-e^x(x+5)-5x^2-9x-6+e^x\\ &=&5x^2+40x+30-e^x(x+3) \end{eqnarray*}
5. Etude de la fonction \( g\) .
   1. \begin{eqnarray*} \lim{x\rightarrow-\infty} g(x) &=& \lim{x\rightarrow-\infty} 5x^2+40x+30-e^x(x+3)\\ &=& \lim{x\rightarrow-\infty} 5x^2+40x+30-\underbrace{\lim{x\rightarrow-\infty} e^x(x+3)}_{0}\\ &=& \lim{x\rightarrow-\infty} 5x^2\\ &=& +\infty\\ \end{eqnarray*} Pour la limite en \( +\infty\) , on applique le théorème des croissances comparés : \( \lim{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^n}{e^x}=0\) pour tout \( n\geqslant 0\) . \begin{eqnarray*} \lim{x\rightarrow+\infty} g(x) &=& \lim{x\rightarrow+\infty} 5x^2+40x+30-e^x(x+3)\\ &=& \lim{x\rightarrow+\infty} e^x\left(5\dfrac{x^2}{e^x}+40\dfrac{x}{e^x}+30\dfrac{1}{e^x}-x-3\right)\\ &=& \lim{x\rightarrow+\infty} e^x\left(-x-3\right)\\ &=& -\infty \end{eqnarray*}
   2. \begin{eqnarray*} g'(x) &=& \left(5x^2+40x+30-e^x(x+3)\right)'\\ &=& \left(5x^2+40x+30\right)'-\left(e^x(x+3)\right)'\\ &=& 10x+40-(e^x)'(x+3)-(e^x)(x+3)'\\ &=& 10x+40-e^x(x+3)-e^x\\ &=& 10x+40-e^x(x+4)\\ &=& 10(x+4)-e^x(x+4)\\ &=& (10-e^x)(x+4) \end{eqnarray*}
   3. On a \( 10-e^x{>}0\) si et seulement si \( 10{>}e^x\) ce qui équivaut à \( x{<}ln(10)\) . On a ainsi le tableau de signe et de variation suivant :
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   4. \( \bullet\)

      La fonction \( g\) étant continue et strictement décroissante sur \( ]-\infty ; -4[\) , que \( \lim{x\rightarrow-\infty}g(x)=+\infty\) et que \( g(-4)\simeq-49.98{<}0\) , il existe, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaire il existe un unique \( a\in]-\infty ; -4[\) tel que \( g(a)=0\) . A l'aide de la calculatrice on trouve \[ -7.17{<}a{<}-7.16 \]

      
      

      \( \bullet\)

      La fonction \( g\) étant continue et strictement croissante sur \( ]-4 ; ln(10)[\) , que \( g(-4)\simeq-49.98{<}0\) et que \( g(ln(10))\simeq95.59{>}0\) , il existe, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaire il existe un unique \( b\in]-4 ; ln(10)[\) tel que \( g(b)=0\) . A l'aide de la calculatrice on trouve \[ -0.81{<}b{<}-0.8 \]

      
      

      \( \bullet\)

      La fonction \( g\) étant continue et strictement décroissante sur \( ]ln(10) ; +\infty[\) , que \( g(ln(10))\simeq95.59{>}0\) et que \( \lim{x\rightarrow+\infty}g(x)=-\infty\) , il existe, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaire il existe un unique \( c\in]ln(10) ; +\infty[\) tel que \( g(c)=0\) . A l'aide de la calculatrice on trouve \[ 3.58{<}c{<}3.59 \]

   5. D'après la question précédente on en déduit que \( g(x){>}0\) sur \( ]-\infty ; a[\cup]b ; c[\) et \( g(x){<}0\) sur \( ]a ; b[\cup] b; +\infty[\)
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