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Exercice

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Le but de cet exercice est d'étudier la fonction $$ f(x)=\dfrac{5x^2+3x+9-e^{x}}{x+5}$$
  1. Déterminer le domaine de définition de la fonction $ f$ .
  2. Limites.
    1. Calculer les limites de $ f$ autour de la valeur interdite.
    2. Calculer la limite de $ f$ en $ -\infty$ .
      1. Déterminer $ \lim{x\rightarrow+\infty}\dfrac{e^x}{6x(x+5)}$ .
      2. En déduire que pour $ x$ assez grand (proche de plus l'infini), $ 5x-\dfrac{e^x}{(x+5)}\leqslant-x$ .
      3. En déduire la limite de $ f$ en $ +\infty$ .
  3. Asymptotes.
    1. Déduire de l'étude de limite précédente, l'existence éventuelle d'asymptote horizontale (non oblique) et verticale.
    2. Montrer que la droite $ y=5x-22$ est une asymptote oblique à la courbe représentative de $ f$ en $ -\infty$ et pas en $ +\infty$ .
  4. Déterminer la fonction dérivée de $ f$ et montrer que pour tout réel $ x$ du domaine de définition de $ f$ , $ f'(x)=\dfrac{g(x)}{(x+5)^2}$ pour une certaine fonction $ g$ à déterminer.
  5. Etude de la fonction $ g$ .
    1. Déterminer les limites de $ g$ en $ +\infty$ et $ -\infty$ .
    2. Montrer que pour tout réel $ x$ , $ g'(x)=(x+5)(10-e^x)$ .
    3. Dresser le tableau de variation de $ g$ .
    4. Montrer que l'équation $ g(x)=0$ admet trois solutions $ a\in]-\infty ; -5[$ , $ b\in]-5 ; ln(10)[$ et $ c\in]ln(10) ; +\infty[$ dont on donnera un encadrement à $ 10^{-2}$ .
    5. En déduire le signe de $ g$ .
  6. Déduire des questions précédentes, le tableau de variation de $ f$ .
  7. Déssiner aussi proprement que faire ce peut, la courbe représentative de la fonction $ f$ .
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  1. Il faut et il suffit d'interdire la valeur qui annule le dénominateur à savoir $ -5$ . En conclusion $$\mathscr{D}_f=\R-\{-5\}$$
    1. On observe qu'en $ -5$ le numérateur de $ f$ vaut $ {5(-5)^2+3(-5)+9-e^{-5}} \simeq 118.993 {>}0$ . On a alors trivialement $$ \lim{x\rightarrow -5^-} f(x)=-\infty \quad\text{et}\quad \lim{x\rightarrow -5^+} f(x)=+\infty $$
    2. On observe que $ f(x)=\dfrac{5x^2+3x+9}{x+5} - \dfrac{e^{x}}{x+5}$ . Or, d'après le théorème des croissances comparées, $ \lim{x\rightarrow-\infty}\dfrac{e^{x}}{x+5}=0$ d'où $$ \lim{x\rightarrow -\infty} f(x) =\lim{x\rightarrow -\infty} \dfrac{5x^2+3x+9}{x+5} =\lim{x\rightarrow -\infty} \dfrac{5x^2}{x} =\lim{x\rightarrow -\infty} 5x =-\infty $$
      1. D'après le théorème des croissances comparée $ \lim{x\rightarrow+\infty}\dfrac{e^x}{6x(x+5)}=+\infty$ .
      2. La question précédente prouve que pour $ x$ suffisament proche de plus l'infini, $ \dfrac{e^x}{6x(x+5)}\geqslant 1$ soit encore $ \dfrac{e^x}{(x+5)}\geqslant 6x$ ce qui équivaut à $ \dfrac{e^x}{(x+5)}-5x\geqslant x$ ce qui prouve l'ingalité demandée en multipliant par $ -1$ .
      3. Prennons la limite dans l'inégalité précédente pour obtenir, $ \lim{x\rightarrow+\infty}5x-\dfrac{e^x}{(x+5)}\leqslant\lim{x\rightarrow+\infty}-x=-\infty$ de sorte que $$ \lim{x\rightarrow+\infty}5x-\dfrac{e^x}{(x+5)}=-\infty $$ FInalement, d'après la même observation faites pour la limite en $ -\infty$ on a \begin{eqnarray*} \lim{x\rightarrow+\infty} f(x) &=& \lim{x\rightarrow+\infty} \dfrac{5x^2+3x+9}{x+5} - \dfrac{e^{x}}{x+5}\\ &=& \lim{x\rightarrow+\infty} 5x - \dfrac{e^{x}}{x+5}\\ &=& -\infty \end{eqnarray*}
  2. Asymptotes.
    1. Les limites en $ \pm\infty$ n'étant pas fini, il n'existe pas d'asymptote horizontale (non oblique). La limite en $ -5$ étant inifinie, on en déduit que la droite d'équation $ x=-5$ est une asymptote verticale à la courbe représentative de $ f$
    2. Simplifions l'expression de $ f(x)-y$ : \begin{eqnarray*} f(x)-y &=& \dfrac{5x^2+3x+9-e^{x}}{x+5} - (5x-22)\\ &=& \dfrac{5x^2+3x+9- (5x-22)(x+5)-e^{x}}{x+5} \\ &=& \dfrac{119-e^{x}}{x+5} \\ &=& \dfrac{119}{x+5}-\dfrac{e^{x}}{x+5} \end{eqnarray*} On a $ \lim{x\rightarrow\pm\infty} \dfrac{119}{x+5}=0$ . De plus d'une part on a $ \lim{x\rightarrow\pm\infty} \dfrac{e^{x}}{x+5}=+\infty$ ce qui ne permet par de montrer que la droite donnée est une asymptote oblique en $ +\infty$ . D'autre part, d'après le théorème des croissance comparée, $ \lim{x\rightarrow\pm\infty} \dfrac{e^{x}}{x+5}=0$ , ce qui permet de conclure que la droite $ y= 5x-22$ est bien une asymptote oblique à la courbe représentative de $ f$ en $ -\infty$ .
  3. On a $ f(x)=\dfrac{u}{v}$ où $ u=5x^2+3x+9-e^x$ et $ v=x+5$ . Dans ce cas $ f'(x)=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$ . Le numérateur est donc la fonction $ g$ cherchée. \begin{eqnarray*} g(x) &=&(5x^2+3x+9-e^x)'(x+5)-(x+5)'(5x^2+3x+9-e^x)\\ &=&(10x+3-e^x)'(x+5)-(5x^2+3x+9-e^x)\\ &=&10x^2+3x+50x+15-e^x(x+5)-5x^2-3x-9+e^x\\ &=&5x^2+50x+6-e^x(x+4) \end{eqnarray*}
  4. Etude de la fonction $ g$ .
    1. \begin{eqnarray*} \lim{x\rightarrow-\infty} g(x) &=& \lim{x\rightarrow-\infty} 5x^2+50x+6-e^x(x+4)\\ &=& \lim{x\rightarrow-\infty} 5x^2+50x+6-\underbrace{\lim{x\rightarrow-\infty} e^x(x+4)}_{0}\\ &=& \lim{x\rightarrow-\infty} 5x^2\\ &=& +\infty\\ \end{eqnarray*} Pour la limite en $ +\infty$ , on applique le théorème des croissances comparés : $ \lim{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^n}{e^x}=0$ pour tout $ n\geqslant 0$ . \begin{eqnarray*} \lim{x\rightarrow+\infty} g(x) &=& \lim{x\rightarrow+\infty} 5x^2+50x+6-e^x(x+4)\\ &=& \lim{x\rightarrow+\infty} e^x\left(5\dfrac{x^2}{e^x}+50\dfrac{x}{e^x}+6\dfrac{1}{e^x}-x-4\right)\\ &=& \lim{x\rightarrow+\infty} e^x\left(-x-4\right)\\ &=& -\infty \end{eqnarray*}
    2. \begin{eqnarray*} g'(x) &=& \left(5x^2+50x+6-e^x(x+4)\right)'\\ &=& \left(5x^2+50x+6\right)'-\left(e^x(x+4)\right)'\\ &=& 10x+50-(e^x)'(x+4)-(e^x)(x+4)'\\ &=& 10x+50-e^x(x+4)-e^x\\ &=& 10x+50-e^x(x+5)\\ &=& 10(x+5)-e^x(x+5)\\ &=& (10-e^x)(x+5) \end{eqnarray*}
    3. On a $ 10-e^x{>}0$ si et seulement si $ 10{>}e^x$ ce qui équivaut à $ x{<}ln(10)$ . On a ainsi le tableau de signe et de variation suivant :
      %%%%%%%%%%%%%%%%%%%VOIR SUR WOLFRAM%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    4. $ \bullet$
      La fonction $ g$ étant continue et strictement décroissante sur $ ]-\infty ; -5[$ , que $ \lim{x\rightarrow-\infty}g(x)=+\infty$ et que $ g(-5)\simeq-118.99{<}0$ , il existe, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaire il existe un unique $ a\in]-\infty ; -5[$ tel que $ g(a)=0$ . A l'aide de la calculatrice on trouve $$ -9.88{<}a{<}-9.87 $$

      $ \bullet$
      La fonction $ g$ étant continue et strictement croissante sur $ ]-5 ; ln(10)[$ , que $ g(-5)\simeq-118.99{<}0$ et que $ g(ln(10))\simeq84.61{>}0$ , il existe, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaire il existe un unique $ b\in]-5 ; ln(10)[$ tel que $ g(b)=0$ . A l'aide de la calculatrice on trouve $$ -0.05{<}b{<}-0.04 $$

      $ \bullet$
      La fonction $ g$ étant continue et strictement décroissante sur $ ]ln(10) ; +\infty[$ , que $ g(ln(10))\simeq84.61{>}0$ et que $ \lim{x\rightarrow+\infty}g(x)=-\infty$ , il existe, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaire il existe un unique $ c\in]ln(10) ; +\infty[$ tel que $ g(c)=0$ . A l'aide de la calculatrice on trouve $$ 3.46{<}c{<}3.47 $$
    5. D'après la question précédente on en déduit que $ g(x){>}0$ sur $ ]-\infty ; a[\cup]b ; c[$ et $ g(x){<}0$ sur $ ]a ; b[\cup] b; +\infty[$
  5. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%VOIR SUR WOLFRAM%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  6. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%VOIR SUR WOLFRAM%%%%%%%%%%%%%%%%%%%