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Exercice
Le but de cet exercice est d'étudier la fonction
\( f(x) = \dfrac{2 x^2-12x-32}{ x^2+6x-16}\)
- Déterminer le domaine de définition de \( f\) .
- Calculer les limites de \( f\) aux bords de son domaine de définition.
- Déterminer l'image de \( 0\) .
- Déterminer les antécédents éventuelles de \( 0\) .
- Déterminer \( f'\) la dérivée de \( f\) . En déduire les variation de \( f\) .
- Dessiner, aussi précisément que faire ce peut, la courbe représentative de \( f\) dans le repère ci-dessous.
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Exercice
- Le dénominateur est un polynôme de degrés 2 de discriminant \( \Delta=(6)^2-4(-16)=100{>}0\) . Il y a donc deux solutions, donc deux valeurs interdites : \( x_1=\dfrac{-6-\sqrt{100}}{2}\) et \( x_2=\dfrac{-6+\sqrt{100}}{2}\) . En conclusion, \( \mathcal{D}_f=\mathbb{R}-\{2 ; -8\}\) .
- En l'infini, les polynômes sont équivalents à leur monôme de plus haut degrés. On a donc, \( \lim{x\rightarrow\pm\infty}f(x)=2\) . Déterminons les limites de \( f\) sur ces valeurs interdites.
On observe que \( f(x) = \dfrac{2 x^2-12x-32}{ (x-2)(x+8)}\) . On a \( \lim{x\rightarrow +2}(x-2)f(x)=\dfrac{-48}{10}\) . Alors
\( \lim{x\rightarrow +2^+}f(x)=\lim{x\rightarrow+2^+}\dfrac{\frac{-48}{10}}{(x-2)}=-\infty\) . De même \( \lim{x\rightarrow +2^-}f(x)=\lim{x\rightarrow+2^-}\dfrac{\frac{-48}{10}}{(x-2)}=+\infty\) .
De même on a \( \lim{x\rightarrow -8}(x+8)f(x)=\dfrac{192}{-10}\) . Alors
\( \lim{x\rightarrow -8^+}f(x)=\lim{x\rightarrow-8^+}\dfrac{\frac{192}{-10}}{(x+8)}=-\infty\) . De même \( \lim{x\rightarrow -8^-}f(x)=\lim{x\rightarrow-8^-}\dfrac{\frac{192}{-10}}{(x+8)}=+\infty\) .
- On a \( f(0)=2\) .
- La question équivaut à demander de résoudre \( f(x)=0\) . Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nulle, de sorte qu'il s'agit de déterminer les racine de \( 2 x^2-12x-32\) . Son discriminant est \( \Delta=(-12)^2-4(2)(-32) = 400{>}0\) . Il y a donc deux solutions \( x_1=\dfrac{12-\sqrt{400}}{2(2)}\) et \( x_2=\dfrac{12+\sqrt{400}}{2(2)}\) . En conclusion, les antécédents de \( 0\) par \( f\) sont \( -2\) et \( 8\) .
- \( f'(x)
= \dfrac{\Big[4 x-12\Big]\Big[x^2+6x-16\Big]-\Big[2x+6\Big]\Big[2x^2-12x-32\Big]}{ (x^2+6x-16)^2}
= 24\dfrac{x^2+16}{ (x^2+6x-16)^2}\) .
On observe que \( f'\) est positive. La fonction \( f\) est donc croissante sur son domaine de définition.
- Les calculs d'image et d'antécédents montre que la courbe représentative de \( f\) passe par les points \( (8, 0)\) , \( (-2, 0)\) et \( (0, 2)\) . Les variations et les limites permettent alors d'arriver à la courbe suivante.
