\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Le but de cet exercice est d'étudier la fonction $ f(x) = \dfrac{5 x^2+15x-90}{ x^2-3x-18}$
  1. Déterminer le domaine de définition de $ f$ .
  2. Calculer les limites de $ f$ aux bords de son domaine de définition.
  3. Déterminer l'image de $ 0$ .
  4. Déterminer les antécédents éventuelles de $ 0$ .
  5. Déterminer $ f'$ la dérivée de $ f$ . En déduire les variation de $ f$ .
  6. Dessiner, aussi précisément que faire ce peut, la courbe représentative de $ f$ dans le repère ci-dessous.
Cliquer ici pour afficher la solution
  1. Le dénominateur est un polynôme de degrés 2 de discriminant $ \Delta=(-3)^2-4(-18)=81{>}0$ . Il y a donc deux solutions, donc deux valeurs interdites : $ x_1=\dfrac{3-\sqrt{81}}{2}$ et $ x_2=\dfrac{3+\sqrt{81}}{2}$ . En conclusion, $ \mathcal{D}_f=\mathbb{R}-\{-3 ; 6\}$ .
  2. En l'infini, les polynômes sont équivalents à leur monôme de plus haut degrés. On a donc, $ \lim{x\rightarrow\pm\infty}f(x)=5$ . Déterminons les limites de $ f$ sur ces valeurs interdites. On observe que $ f(x) = \dfrac{5 x^2+15x-90}{ (x+3)(x-6)}$ . On a $ \lim{x\rightarrow -3}(x+3)f(x)=\dfrac{-90}{-9}$ . Alors $ \lim{x\rightarrow -3^+}f(x)=\lim{x\rightarrow-3^+}\dfrac{\frac{-90}{-9}}{(x+3)}=+\infty$ . De même $ \lim{x\rightarrow -3^-}f(x)=\lim{x\rightarrow-3^-}\dfrac{\frac{-90}{-9}}{(x+3)}=-\infty$ . De même on a $ \lim{x\rightarrow +6}(x-6)f(x)=\dfrac{180}{9}$ . Alors $ \lim{x\rightarrow +6^+}f(x)=\lim{x\rightarrow+6^+}\dfrac{\frac{180}{9}}{(x-6)}=+\infty$ . De même $ \lim{x\rightarrow +6^-}f(x)=\lim{x\rightarrow+6^-}\dfrac{\frac{180}{9}}{(x-6)}=-\infty$ .
  3. On a $ f(0)=5$ .
  4. La question équivaut à demander de résoudre $ f(x)=0$ . Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nulle, de sorte qu'il s'agit de déterminer les racine de $ 5 x^2+15x-90$ . Son discriminant est $ \Delta=(15)^2-4(5)(-90) = 2025{>}0$ . Il y a donc deux solutions $ x_1=\dfrac{-15-\sqrt{2025}}{2(5)}$ et $ x_2=\dfrac{-15+\sqrt{2025}}{2(5)}$ . En conclusion, les antécédents de $ 0$ par $ f$ sont $ 3$ et $ -6$ .
  5. $ f'(x) = \dfrac{\Big[10 x+15\Big]\Big[x^2-3x-18\Big]-\Big[2x-3\Big]\Big[5x^2+15x-90\Big]}{ (x^2-3x-18)^2} = -30\dfrac{x^2+18}{ (x^2-3x-18)^2}$ . On observe que $ f'$ est négative. La fonction $ f$ est donc décroissante sur son domaine de définition.
  6. Les calculs d'image et d'antécédents montre que la courbe représentative de $ f$ passe par les points $ (-6, 0)$ , $ (3, 0)$ et $ (0, 5)$ . Les variations et les limites permettent alors d'arriver à la courbe suivante.