\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Etudier la fonction suivante. $$ f(x)=\dfrac{ x^{2} -4 x +1}{ x -4}$$
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$ \bullet$
Pour que la fonction soit définie, il faut et il suffit que son dénominateur ne s'annule pas. On trouve rapidement qu'il s'annule en $ 4$ de sorte que $ \mathscr{D}_f=\mathbb{R}-\{4\}$ .

$ \bullet$
En tant que fraction de polynômes les limites en l'infini revienent à calculer les limites des monômes de plus haut degrés. D'où $ \lim{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim{x\rightarrow +\infty}\dfrac{ x^{2} }{ x }=\lim{x\rightarrow +\infty} x =+\infty$ . De la même manière on a $ \lim{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$ . De plus $ \lim{x\rightarrow 4^-}f(x)=\dfrac{1}{0^-}=-\infty$ et $ \lim{x\rightarrow 4^+}f(x)=\dfrac{1}{0^+}=+\infty$ .

$ \bullet$
La fonction $ f $ est du type $ \dfrac{u}{v}$ où $ u= x^{2} -4 x +1$ et $ v= x -4 $ . On a alors $ u'=2 x -4$ , $ v'=1$ et $ f' =\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$ . En simplifiant on trouve $$ f'(x)=\dfrac{ x^{2} -8 x +15}{\left( x -4\right)^{2}}$$

$ \bullet$
L'expression de $ f'$ est une fraction dans laquelle le dénominateur est un carré donc nécessairement positif sur son ensemble de définition. Déterminons le signe du numérateur $ x^{2} -4 x +1$ . Il s'agit d'un polynôme de dégrés $ 2$ . Son discriminant est $ \Delta=(-8)^2-4(1)(15)=4=(2)^2{>}0$ . Il y a donc deux solutions disctinctes. $$ x_1=\dfrac{-(-8)-2}{2}=3, \qquad x_2=\dfrac{-(-8)+2}{2}=5 $$ Ceci nous permet de dresser le tableau de signe de $ f' $ et donc le tableau de variation de $ f$ .

$ \bullet$
Étude des asymptotes.
  1. Puisque les limites en $ 4$ sont infinis, on en déduit que la droite d'équation $ x=4$ est une asymptote verticale à la courbe représentative de $ f $ .
  2. Il n'existe pas d'asymptote horizontale (non oblique) car les limites en l'infini sont infinies.
  3. Déterminons, si elle existe, une asymptote oblique ) la courbe.
    1. Etudions la limite de $ \dfrac{f(x)}{x}$ pour déterminer le coefficient directeur de l'asymptote oblique (si elle existe). $$\lim{x\rightarrow \pm \infty} \dfrac{f(x)}{x}=\lim{x\rightarrow \pm \infty}\dfrac{\dfrac{ x^{2} -4 x +1}{ x -4}}{x}=\lim{x\rightarrow \pm \infty} \dfrac{ x^{2} -4 x +1}{ x^{2} -4 x }=1$$ Déterminons à présent l'ordonnée à l'origine. $$\lim{x\rightarrow \pm \infty} f(x)-1x= \lim{x\rightarrow\pm\infty} \dfrac{ x^{2} -4 x +1}{ x -4}-1x =\lim{x\rightarrow\pm\infty} \dfrac{1}{ x -4}=0$$ On en déduit que la droite d'équation $ y = x $ est une asymptote oblique à la courbe. On peut le revérifier en s'assurant que la limite de la différence tend vers $ 0 $ . $$ \lim{x\rightarrow\infty} f(x)-( x )=\lim{x\rightarrow\infty}\dfrac{1}{ x -4}=\lim{x\rightarrow\infty}\dfrac{1}{ x }=0 $$

$ \bullet$
On peut synthétiser toutes les informations en représentant l'allure de la courbe représentative de la fonction.