L'exercice suivant est automatiquement et aléatoirement généré par ataraXy.
Si vous regénérez la page (F5) les valeurs seront changées.
La correction se trouve en bas de page.
Etudier la fonction suivante. \[ f(x)=\dfrac{ x^{2} -7 x +13}{ x -3}\]
Cliquer ici pour afficher la solution
- \( \bullet\)
- Pour que la fonction soit définie, il faut et il suffit que son dénominateur ne s'annule pas. On trouve rapidement qu'il s'annule en \( 3\) de sorte que \( \mathscr{D}_f=\mathbb{R}-\{3\}\) .
- \( \bullet\)
- En tant que fraction de polynômes les limites en l'infini revienent à calculer les limites des monômes de plus haut degrés. D'où
\( \lim{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim{x\rightarrow +\infty}\dfrac{ x^{2} }{ x }=\lim{x\rightarrow +\infty} x =+\infty\) . De la même manière on a \( \lim{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty\) .
De plus \( \lim{x\rightarrow 3^-}f(x)=\dfrac{1}{0^-}=-\infty\) et
\( \lim{x\rightarrow 3^+}f(x)=\dfrac{1}{0^+}=+\infty\) .
- \( \bullet\)
- La fonction \( f \) est du type \( \dfrac{u}{v}\) où \( u= x^{2} -7 x +13\) et \( v= x -3 \) .
On a alors \( u'=2 x -7\) , \( v'=1\) et \( f' =\dfrac{u'v-v'u}{v^2}\) .
En simplifiant on trouve \[ f'(x)=\dfrac{ x^{2} -6 x +8}{\left( x -3\right)^{2}}\]
- \( \bullet\)
- L'expression de \( f'\) est une fraction dans laquelle le dénominateur est un carré donc nécessairement positif sur son ensemble de définition. Déterminons le signe du numérateur \( x^{2} -7 x +13\) .
Il s'agit d'un polynôme de dégrés \( 2\) . Son discriminant est \( \Delta=(-6)^2-4(1)(8)=4=(2)^2{>}0\) . Il y a donc deux solutions disctinctes.
\[
x_1=\dfrac{-(-6)-2}{2}=2, \qquad
x_2=\dfrac{-(-6)+2}{2}=4
\]
Ceci nous permet de dresser le tableau de signe de \( f' \) et donc le tableau de variation de \( f\) .
- \( \bullet\)
- Étude des asymptotes.
- Puisque les limites en \( 3\) sont infinis, on en déduit que la droite d'équation \( x=3\) est une asymptote verticale à la courbe représentative de \( f \) .
- Il n'existe pas d'asymptote horizontale (non oblique) car les limites en l'infini sont infinies.
- Déterminons, si elle existe, une asymptote oblique ) la courbe.
- Etudions la limite de \( \dfrac{f(x)}{x}\) pour déterminer le coefficient directeur de l'asymptote oblique (si elle existe). \[\lim{x\rightarrow \pm \infty} \dfrac{f(x)}{x}=\lim{x\rightarrow \pm \infty}\dfrac{\dfrac{ x^{2} -7 x +13}{ x -3}}{x}=\lim{x\rightarrow \pm \infty} \dfrac{ x^{2} -7 x +13}{ x^{2} -3 x }=1\]
Déterminons à présent l'ordonnée à l'origine.
\[\lim{x\rightarrow \pm \infty} f(x)-1x= \lim{x\rightarrow\pm\infty} \dfrac{ x^{2} -7 x +13}{ x -3}-1x
=\lim{x\rightarrow\pm\infty} \dfrac{-4 x +13}{ x -3}=-4\]
On en déduit que la droite d'équation \( y = x -4\) est une asymptote oblique à la courbe. On peut le revérifier en s'assurant que la limite de la différence tend vers \( 0 \) .
\[
\lim{x\rightarrow\infty} f(x)-( x -4)=\lim{x\rightarrow\infty}\dfrac{1}{ x -3}=\lim{x\rightarrow\infty}\dfrac{1}{ x }=0
\]
- \( \bullet\)
- On peut synthétiser toutes les informations en représentant l'allure de la courbe représentative de la fonction.
