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Exercice

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Exercice

On considère la fonction $ f(x)=\dfrac{-2 x^{2} + x +4}{ x -2}$ .

Donner le domaine de définition de $ f $ .
Étudier les limites de $ f $ au bord de son domaine de définition.
Déterminer la dérivé de la fonction $ f $ .
Étudier le signe de $ f' $ et dresser le tableau de variation de $ f $ .
Étude des asymptotes.
1. Déduire du calcul de limite l'équation d'une asymptote verticale.
2. Existe-t-il des asymptotes horizontales (non oblique) ?
3. Montrer que $ f(x)=-2 x -3+\dfrac{-2}{ x -2}$ .
4. En déduire l'équation d'une asymptote oblique.
Dessiner l'allure de la courbe sur l'intervalle $ [-8 ; 12] $ aussi proprement que faire ce peu.

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Exercice

Pour que la fonction soit définie, il faut et il suffit que son dénominateur ne s'annule pas. On trouve rapidement qu'il s'annule en $ 2$ de sorte que $ \mathscr{D}_f=\mathbb{R}-\{2\}$ .
En tant que fraction de polynômes les limites en l'infini revienent à calculer les limites des monômes de plus haut degrés. D'où $ \lim{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim{x\rightarrow +\infty}\dfrac{-2 x^{2} }{ x }=\lim{x\rightarrow +\infty}-2 x =-\infty$ . De la même manière on a $ \lim{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty$ . De plus $ \lim{x\rightarrow 2^-}f(x)=\dfrac{-2}{0^-}=+\infty$ et $ \lim{x\rightarrow 2^+}f(x)=\dfrac{-2}{0^+}=-\infty$ .
La fonction $ f $ est du type $ \dfrac{u}{v}$ où $ u=-2 x^{2} + x +4$ et $ v= x -2 $ . On a alors $ u'=-4 x +1$ , $ v'=1$ et $ f' =\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$ . En simplifiant on trouve \[ f'(x)=\dfrac{-2 x^{2} +8 x -6}{\left( x -2\right)^{2}}\]
L'expression de $ f'$ est une fraction dans laquelle le dénominateur est un carré donc nécessairement positif sur son ensemble de définition. Déterminons le signe du numérateur $ -2 x^{2} + x +4$ . Il s'agit d'un polynôme de dégrés $ 2$ . Son discriminant est $ \Delta=(8)^2-4(-2)(-6)=16=(4)^2{>}0$ . Il y a donc deux solutions disctinctes. \[ x_1=\dfrac{-(8)-4}{-4}=3, \qquad x_2=\dfrac{-(8)+4}{-4}=1 \] Ceci nous permet de dresser le tableau de signe de $ f' $ et donc le tableau de variation de $ f$ .
Étude des asymptotes.
1. Puisque les limites en $ 2$ sont infinis, on en déduit que la droite d'équation $ x=2$ est une asymptote verticale à la courbe représentative de $ f $ .
2. Il n'existe pas d'asymptote horizontale (non oblique) car les limites en l'infini sont infinies.
3. \begin{eqnarray*} -2 x -3+\dfrac{-2}{ x -2}&=&\dfrac{\left(-2 x -3\right)\left( x -2\right)}{ x -2}+\dfrac{-2}{ x -2}\\ &=&\dfrac{\left(-2 x -3\right)\left( x -2\right)-2}{ x -2}\\ &=&\dfrac{-2 x^{2} + x +4}{ x -2}\\ &=&f(x) \end{eqnarray*}
4. On en déduit que la droite d'équation $ y =-2 x -3$ est une asymptote oblique à la courbe puisque car la limite de la différence tend vers $ 0 $ . \[ \lim{x\rightarrow\infty} f(x)-(-2 x -3)=\lim{x\rightarrow\infty}\dfrac{-2}{ x -2}=\lim{x\rightarrow\infty}\dfrac{-2}{ x }=0 \]