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Exercice
On considère la fonction \( f(x)=\dfrac{2 x^{2} +9 x +6}{ x +4}\) .
- Donner le domaine de définition de \( f \) .
- Étudier les limites de \( f \) au bord de son domaine de définition.
- Déterminer la dérivé de la fonction \( f \) .
- Étudier le signe de \( f' \) et dresser le tableau de variation de \( f \) .
- Étude des asymptotes.
- Déduire du calcul de limite l'équation d'une asymptote verticale.
- Existe-t-il des asymptotes horizontales (non oblique) ?
- Montrer que \( f(x)=2 x +1+\dfrac{2}{ x +4}\) .
- En déduire l'équation d'une asymptote oblique.
- Dessiner l'allure de la courbe sur l'intervalle \( [-14 ; 6] \) aussi proprement que faire ce peu.
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Exercice
- Pour que la fonction soit définie, il faut et il suffit que son dénominateur ne s'annule pas. On trouve rapidement qu'il s'annule en \( -4\) de sorte que \( \mathscr{D}_f=\mathbb{R}-\{-4\}\) .
- En tant que fraction de polynômes les limites en l'infini revienent à calculer les limites des monômes de plus haut degrés. D'où
\( \lim{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim{x\rightarrow +\infty}\dfrac{2 x^{2} }{ x }=\lim{x\rightarrow +\infty}2 x =+\infty\) . De la même manière on a \( \lim{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty\) .
De plus \( \lim{x\rightarrow -4^-}f(x)=\dfrac{2}{0^-}=-\infty\) et
\( \lim{x\rightarrow -4^+}f(x)=\dfrac{2}{0^+}=+\infty\) .
- La fonction \( f \) est du type \( \dfrac{u}{v}\) où \( u=2 x^{2} +9 x +6\) et \( v= x +4 \) .
On a alors \( u'=4 x +9\) , \( v'=1\) et \( f' =\dfrac{u'v-v'u}{v^2}\) .
En simplifiant on trouve \[ f'(x)=\dfrac{2 x^{2} +16 x +30}{\left( x +4\right)^{2}}\]
- L'expression de \( f'\) est une fraction dans laquelle le dénominateur est un carré donc nécessairement positif sur son ensemble de définition. Déterminons le signe du numérateur \( 2 x^{2} +9 x +6\) .
Il s'agit d'un polynôme de dégrés \( 2\) . Son discriminant est \( \Delta=(16)^2-4(2)(30)=16=(4)^2{>}0\) . Il y a donc deux solutions disctinctes.
\[
x_1=\dfrac{-(16)-4}{4}=-5, \qquad
x_2=\dfrac{-(16)+4}{4}=-3
\]
Ceci nous permet de dresser le tableau de signe de \( f' \) et donc le tableau de variation de \( f\) .
- Étude des asymptotes.
- Puisque les limites en \( -4\) sont infinis, on en déduit que la droite d'équation \( x=-4\) est une asymptote verticale à la courbe représentative de \( f \) .
- Il n'existe pas d'asymptote horizontale (non oblique) car les limites en l'infini sont infinies.
-
\begin{eqnarray*}
2 x +1+\dfrac{2}{ x +4}&=&\dfrac{\left(2 x +1\right)\left( x +4\right)}{ x +4}+\dfrac{2}{ x +4}\\
&=&\dfrac{\left(2 x +1\right)\left( x +4\right)+2}{ x +4}\\
&=&\dfrac{2 x^{2} +9 x +6}{ x +4}\\
&=&f(x)
\end{eqnarray*}
- On en déduit que la droite d'équation \( y =2 x +1\) est une asymptote oblique à la courbe puisque car la limite de la différence tend vers \( 0 \) .
\[
\lim{x\rightarrow\infty} f(x)-(2 x +1)=\lim{x\rightarrow\infty}\dfrac{2}{ x +4}=\lim{x\rightarrow\infty}\dfrac{2}{ x }=0
\]
-
