Ataraxy

\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Considérons la matrice $ A=\begin{pmatrix}-\dfrac{21956}{6839} & \dfrac{14690}{6839} & \dfrac{2575}{977} \\ -\dfrac{592}{6839} & -\dfrac{27548}{6839} & -\dfrac{29}{977} \\ \dfrac{872}{977} & \dfrac{230}{977} & -\dfrac{3675}{977}\end{pmatrix}$ qui est diagonalisable.

On note $ v=\begin{pmatrix}-1 \\ 20 \\ -16\end{pmatrix}$ . Montrer que c'est un vecteur propre associé à la valeur propre $ -4$ .
Donner un vecteur propre de la valeur propre $ -4$ différent de $ v$ .
Donner le spectre de l'endomorphisme $ A$ (c'est à dire l'ensemble de ses valeurs propres), ainsi que pour chaque valeur propre, un vecteur propre.
Déterminer la valeur de $ A^{5}$ en réalisant au plus deux produits matricielles.

Cliquer ici pour afficher la solution

D'une par $ A v=\begin{pmatrix}-\dfrac{21956}{6839} & \dfrac{14690}{6839} & \dfrac{2575}{977} \\ -\dfrac{592}{6839} & -\dfrac{27548}{6839} & -\dfrac{29}{977} \\ \dfrac{872}{977} & \dfrac{230}{977} & -\dfrac{3675}{977}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 \\ 20 \\ -16\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{182784667268}{45696166817} \\ -\dfrac{3655693345360}{45696166817} \\ 64\end{pmatrix}$ et d'autre part $ -4\begin{pmatrix}-1 \\ 20 \\ -16\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ -80 \\ 64\end{pmatrix}$ . On observe que l'on a bien $ Av=-4v$ pour un vecteur $ v$ non nul. Ceci prouve bien que $ -4$ et une valeur propre et que $ v=\begin{pmatrix}-1 \\ 20 \\ -16\end{pmatrix}$ est un vecteur propre.
N'importe quelle vecteur colinéaire à $ v$ fera l'affaire comme $ 4v=\begin{pmatrix}-4 \\ 80 \\ -64\end{pmatrix}$ .
Trouver l'ensemble des valeurs propres reviens à résoudre l'équation matricielle $ Ax=\lambda x$ d'inconnue $ \lambda$ . Or cette équation équivaut à $ (A-\lambda Id_{3})x=0$ . Cette dernière équation implique entre autre que la matrice $ A-\lambda Id_{3}$ n'est pas inversible (si elle l'était alors en l'inversant on aurait $ x=0$ ce qui n'est pas la définition d'un vecteur propre). En particulier, puisqu'elle n'est pas inversible, son déterminant est nécessairement nul. Or on peut calculer ce déterminant : \begin{eqnarray*} det(A-\lambda Id_{3}) &=&\begin{pmatrix}-\dfrac{21956}{6839} - \lambda & \dfrac{14690}{6839} & \dfrac{2575}{977} \\ -\dfrac{592}{6839} & -\dfrac{27548}{6839} - \lambda & -\dfrac{29}{977} \\ \dfrac{872}{977} & \dfrac{230}{977} & -\dfrac{3675}{977} - \lambda\end{pmatrix}\\ &=& - \lambda^{3} -11 \lambda^{2} -38 \lambda -40\\ &=& \left(- \lambda -5\right)\left(- \lambda -2\right)\left(- \lambda -4\right)\\ \end{eqnarray*} On devine alors aisément les valeurs propres : $ -5 $ , $ -2 $ et $ -4 $ Pour trouver un vecteur propre associé à chacune de ces valeurs propres, il suffit de trouver une solution $ x$ non nulle à l'équation $ (A-\lambda I_{3})x=0$ .

Pour $ \lambda=-5$
Il s'agit de trouver une solution non nul le de l'équation $ (A+5Id_{3})x$ qui se traduit par le système \[\left\{\begin{array}{*{4}{cr}} &\dfrac{12239}{6839}x_{1}&+&\dfrac{14690}{6839}x_{2} &+&\dfrac{2575}{977}x_{3} &=&0\\ &-\dfrac{592}{6839}x_{1}&+&\dfrac{6647}{6839}x_{2} &-&\dfrac{29}{977}x_{3} &=&0\\ &\dfrac{872}{977}x_{1}&+&\dfrac{230}{977}x_{2} &+&\dfrac{1210}{977}x_{3} &=&0\\ \end{array} \right.\] On montre par quelques manipulation algébrique élémentaire (pivot de Gauss) que ce système admet une infinité de solution et que $ v_{-5}=\begin{pmatrix}15 \\ 1 \\ -11\end{pmatrix}$ en est une.

Pour $ \lambda=-2$
Il s'agit de trouver une solution non nul le de l'équation $ (A+2Id_{3})x$ qui se traduit par le système \[\left\{\begin{array}{*{4}{cr}} &-\dfrac{8278}{6839}x_{1}&+&\dfrac{14690}{6839}x_{2} &+&\dfrac{2575}{977}x_{3} &=&0\\ &-\dfrac{592}{6839}x_{1}&-&\dfrac{13870}{6839}x_{2} &-&\dfrac{29}{977}x_{3} &=&0\\ &\dfrac{872}{977}x_{1}&+&\dfrac{230}{977}x_{2} &-&\dfrac{1721}{977}x_{3} &=&0\\ \end{array} \right.\] On montre par quelques manipulation algébrique élémentaire (pivot de Gauss) que ce système admet une infinité de solution et que $ v_{-2}=\begin{pmatrix}20 \\ -1 \\ 10\end{pmatrix}$ en est une.

Pour $ \lambda=-4$
Cela a déjà été traité à la première question.
Considérons la matrice $ P$ construite en adjoignant un vecteur propre pour chaque valeur propre $ P=\begin{pmatrix}15 & 20 & -1 \\ 1 & -1 & 20 \\ -11 & 10 & -16\end{pmatrix}$ et la matrice $ D$ diagonale de ces valeurs propres (dans le même ordre) $ D=\begin{pmatrix}-5 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -4\end{pmatrix}$ . On a $ A= PDP^{-1}$ où $ P^{-1}$ est l'inverse de la matrice $ P$ qui s'obtient par l'intermédiaire de la comatrice : \[ P^{-1}=-\dfrac{1}{6839}\begin{pmatrix}-184 & 310 & 399 \\ -204 & -251 & -301 \\ -1 & -370 & -35\end{pmatrix}\] Dans ce cas \begin{eqnarray*} A^{5}&=&\left(PDP^{-1}\right)^5\\ &=&PD^{5}P^{-1}\\ &=&-\dfrac{1}{6839}\begin{pmatrix}15 & 20 & -1 \\ 1 & -1 & 20 \\ -11 & 10 & -16\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-5 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -4\end{pmatrix}^{5}\begin{pmatrix}-184 & 310 & 399 \\ -204 & -251 & -301 \\ -1 & -370 & -35\end{pmatrix}\\ &=&-\dfrac{1}{6839}\begin{pmatrix}15 & 20 & -1 \\ 1 & -1 & 20 \\ -11 & 10 & -16\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-3125 & 0 & 0 \\ 0 & -32 & 0 \\ 0 & 0 & -1024\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-184 & 310 & 399 \\ -204 & -251 & -301 \\ -1 & -370 & -35\end{pmatrix}\\ &=&-\dfrac{1}{6839}\begin{pmatrix}-46875 & -640 & 1024 \\ -3125 & 32 & -20480 \\ 34375 & -320 & 16384\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-184 & 310 & 399 \\ -204 & -251 & -301 \\ -1 & -370 & -35\end{pmatrix}\qquad \text{Premier produit matricielle}\\ &=&-\dfrac{1}{6839}\begin{pmatrix}8754536 & -14749490 & -18546325 \\ 588952 & 6600818 & -539707 \\ -6276104 & 4674490 & 13238505\end{pmatrix}\qquad \text{Second produit matricielle}\\ &=&\begin{pmatrix}-\dfrac{1250648}{977} & \dfrac{2107070}{977} & \dfrac{2649475}{977} \\ -\dfrac{84136}{977} & -\dfrac{942974}{977} & \dfrac{77101}{977} \\ \dfrac{6276104}{6839} & -\dfrac{4674490}{6839} & -\dfrac{1891215}{977}\end{pmatrix}\\ \end{eqnarray*}