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Considérons la matrice $ A=\begin{pmatrix}\dfrac{3663}{2968} & -\dfrac{3309}{5936} & -\dfrac{573}{424} \\ \dfrac{24}{371} & \dfrac{908}{371} & \dfrac{40}{53} \\ -\dfrac{579}{424} & \dfrac{73}{848} & \dfrac{559}{424}\end{pmatrix}$ qui est diagonalisable.
- On note $ v=\begin{pmatrix}-17 \\ 6 \\ -18\end{pmatrix}$ . Montrer que c'est un vecteur propre associé à la valeur propre $ 0$ .
- Donner un vecteur propre de la valeur propre $ 0$ différent de $ v$ .
- Donner le spectre de l'endomorphisme $ A$ (c'est à dire l'ensemble de ses valeurs propres), ainsi que pour chaque valeur propre, un vecteur propre.
- Déterminer la valeur de $ A^{5}$ en réalisant au plus deux produits matricielles.
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- D'une par $ A v=\begin{pmatrix}\dfrac{3663}{2968} & -\dfrac{3309}{5936} & -\dfrac{573}{424} \\ \dfrac{24}{371} & \dfrac{908}{371} & \dfrac{40}{53} \\ -\dfrac{579}{424} & \dfrac{73}{848} & \dfrac{559}{424}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-17 \\ 6 \\ -18\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$ et d'autre part $ 0\begin{pmatrix}-17 \\ 6 \\ -18\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$ . On observe que l'on a bien $ Av=0v$ pour un vecteur $ v$ non nul. Ceci prouve bien que $ 0$ et une valeur propre et que $ v=\begin{pmatrix}-17 \\ 6 \\ -18\end{pmatrix}$ est un vecteur propre.
- N'importe quelle vecteur colinéaire à $ v$ fera l'affaire comme $ 5v=\begin{pmatrix}-85 \\ 30 \\ -90\end{pmatrix}$ .
- Trouver l'ensemble des valeurs propres reviens à résoudre l'équation matricielle $ Ax=\lambda x$ d'inconnue $ \lambda$ . Or cette équation équivaut à $ (A-\lambda Id_{3})x=0$ . Cette dernière équation implique entre autre que la matrice $ A-\lambda Id_{3}$ n'est pas inversible (si elle l'était alors en l'inversant on aurait $ x=0$ ce qui n'est pas la définition d'un vecteur propre). En particulier, puisqu'elle n'est pas inversible, son déterminant est nécessairement nul. Or on peut calculer ce déterminant :
\begin{eqnarray*}
det(A-\lambda Id_{3})
&=&\begin{pmatrix}\dfrac{3663}{2968} - \lambda & -\dfrac{3309}{5936} & -\dfrac{573}{424} \\ \dfrac{24}{371} & \dfrac{908}{371} - \lambda & \dfrac{40}{53} \\ -\dfrac{579}{424} & \dfrac{73}{848} & \dfrac{559}{424} - \lambda\end{pmatrix}\\
&=& - \lambda^{3} +5 \lambda^{2} -6 \lambda \\
&=& \left(- \lambda \right)\left(- \lambda +3\right)\left(- \lambda +2\right)\\
\end{eqnarray*}
On devine alors aisément les valeurs propres : $ 0 $ , $ 3 $ et $ 2 $ Pour trouver un vecteur propre associé à chacune de ces valeurs propres, il suffit de trouver une solution $ x$ non nulle à l'équation $ (A-\lambda I_{3})x=0$ .
- Pour $ \lambda=0$
- Cela a déjà été traité à la première question.
- Pour $ \lambda=3$
- Il s'agit de trouver une solution non nul le de l'équation $ (A-3Id_{3})x$ qui se traduit par le système $$\left\{\begin{array}{*{4}{cr}}
&-\dfrac{5241}{2968}x_{1}&-&\dfrac{3309}{5936}x_{2} &-&\dfrac{573}{424}x_{3} &=&0\\
&\dfrac{24}{371}x_{1}&-&\dfrac{205}{371}x_{2} &+&\dfrac{40}{53}x_{3} &=&0\\
&-\dfrac{579}{424}x_{1}&+&\dfrac{73}{848}x_{2} &-&\dfrac{713}{424}x_{3} &=&0\\
\end{array}
\right.$$
On montre par quelques manipulation algébrique élémentaire (pivot de Gauss) que ce système admet une infinité de solution et que $ v_{3}=\begin{pmatrix}15 \\ -16 \\ -13\end{pmatrix}$ en est une.
- Pour $ \lambda=2$
- Il s'agit de trouver une solution non nul le de l'équation $ (A-2Id_{3})x$ qui se traduit par le système $$\left\{\begin{array}{*{4}{cr}}
&-\dfrac{2273}{2968}x_{1}&-&\dfrac{3309}{5936}x_{2} &-&\dfrac{573}{424}x_{3} &=&0\\
&\dfrac{24}{371}x_{1}&+&\dfrac{166}{371}x_{2} &+&\dfrac{40}{53}x_{3} &=&0\\
&-\dfrac{579}{424}x_{1}&+&\dfrac{73}{848}x_{2} &-&\dfrac{289}{424}x_{3} &=&0\\
\end{array}
\right.$$
On montre par quelques manipulation algébrique élémentaire (pivot de Gauss) que ce système admet une infinité de solution et que $ v_{2}=\begin{pmatrix}-6 \\ -16 \\ 10\end{pmatrix}$ en est une.
- Considérons la matrice $ P$ construite en adjoignant un vecteur propre pour chaque valeur propre $ P=\begin{pmatrix}-17 & 15 & -6 \\ 6 & -16 & -16 \\ -18 & -13 & 10\end{pmatrix}$ et la matrice $ D$ diagonale de ces valeurs propres (dans le même ordre) $ D=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$ . On a $ A= PDP^{-1}$ où $ P^{-1}$ est l'inverse de la matrice $ P$ qui s'obtient par l'intermédiaire de la comatrice :
$$ P^{-1}=\dfrac{1}{11872}\begin{pmatrix}-368 & -72 & -336 \\ 228 & -278 & -308 \\ -366 & -491 & 182\end{pmatrix}$$
Dans ce cas
\begin{eqnarray*}
A^{5}&=&\left(PDP^{-1}\right)^5\\
&=&PD^{5}P^{-1}\\
&=&\dfrac{1}{11872}\begin{pmatrix}-17 & 15 & -6 \\ 6 & -16 & -16 \\ -18 & -13 & 10\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}^{5}\begin{pmatrix}-368 & -72 & -336 \\ 228 & -278 & -308 \\ -366 & -491 & 182\end{pmatrix}\\
&=&\dfrac{1}{11872}\begin{pmatrix}-17 & 15 & -6 \\ 6 & -16 & -16 \\ -18 & -13 & 10\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 243 & 0 \\ 0 & 0 & 32\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-368 & -72 & -336 \\ 228 & -278 & -308 \\ -366 & -491 & 182\end{pmatrix}\\
&=&\dfrac{1}{11872}\begin{pmatrix}0 & 3645 & -192 \\ 0 & -3888 & -512 \\ 0 & -3159 & 320\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-368 & -72 & -336 \\ 228 & -278 & -308 \\ -366 & -491 & 182\end{pmatrix}\qquad \text{Premier produit matricielle}\\
&=&\dfrac{1}{11872}\begin{pmatrix}901332 & -919038 & -1157604 \\ -699072 & 1332256 & 1104320 \\ -837372 & 721082 & 1031212\end{pmatrix}\qquad \text{Second produit matricielle}\\
&=&\begin{pmatrix}\dfrac{225333}{2968} & -\dfrac{459519}{5936} & -\dfrac{41343}{424} \\ -\dfrac{21846}{371} & \dfrac{41633}{371} & \dfrac{4930}{53} \\ -\dfrac{209343}{2968} & \dfrac{360541}{5936} & \dfrac{36829}{424}\end{pmatrix}\\
\end{eqnarray*}
