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Exercice
Considérons la matrice \( A=\begin{pmatrix}\dfrac{1925}{109} & \dfrac{121}{109} & -\dfrac{3589}{436} \\ \dfrac{580}{109} & \dfrac{24}{109} & \dfrac{779}{436} \\ \dfrac{3520}{109} & \dfrac{296}{109} & -\dfrac{1731}{109}\end{pmatrix}\) qui est diagonalisable.
- On note \( v=\begin{pmatrix}-8 \\ 15 \\ -20\end{pmatrix}\) . Montrer que c'est un vecteur propre associé à la valeur propre \( -5\) .
- Donner un vecteur propre de la valeur propre \( -5\) différent de \( v\) .
- Donner le spectre de l'endomorphisme \( A\) (c'est à dire l'ensemble de ses valeurs propres), ainsi que pour chaque valeur propre, un vecteur propre.
- Déterminer la valeur de \( A^{6}\) en réalisant au plus deux produits matricielles.
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Exercice
- D'une par \( A v=\begin{pmatrix}\dfrac{1925}{109} & \dfrac{121}{109} & -\dfrac{3589}{436} \\ \dfrac{580}{109} & \dfrac{24}{109} & \dfrac{779}{436} \\ \dfrac{3520}{109} & \dfrac{296}{109} & -\dfrac{1731}{109}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-8 \\ 15 \\ -20\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}40 \\ -75 \\ 100\end{pmatrix}\) et d'autre part \( -5\begin{pmatrix}-8 \\ 15 \\ -20\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}40 \\ -75 \\ 100\end{pmatrix}\) . On observe que l'on a bien \( Av=-5v\) pour un vecteur \( v\) non nul. Ceci prouve bien que \( -5\) et une valeur propre et que \( v=\begin{pmatrix}-8 \\ 15 \\ -20\end{pmatrix}\) est un vecteur propre.
- N'importe quelle vecteur colinéaire à \( v\) fera l'affaire comme \( -1v=\begin{pmatrix}8 \\ -15 \\ 20\end{pmatrix}\) .
- Trouver l'ensemble des valeurs propres reviens à résoudre l'équation matricielle \( Ax=\lambda x\) d'inconnue \( \lambda\) . Or cette équation équivaut à \( (A-\lambda Id_{3})x=0\) . Cette dernière équation implique entre autre que la matrice \( A-\lambda Id_{3}\) n'est pas inversible (si elle l'était alors en l'inversant on aurait \( x=0\) ce qui n'est pas la définition d'un vecteur propre). En particulier, puisqu'elle n'est pas inversible, son déterminant est nécessairement nul. Or on peut calculer ce déterminant :
\begin{eqnarray*}
det(A-\lambda Id_{3})
&=&\begin{pmatrix}\dfrac{1925}{109} - \lambda & \dfrac{121}{109} & -\dfrac{3589}{436} \\ \dfrac{580}{109} & \dfrac{24}{109} - \lambda & \dfrac{779}{436} \\ \dfrac{3520}{109} & \dfrac{296}{109} & -\dfrac{1731}{109} - \lambda\end{pmatrix}\\
&=& - \lambda^{3} +2 \lambda^{2} +25 \lambda -50\\
&=& \left(- \lambda +2\right)\left(- \lambda -5\right)\left(- \lambda +5\right)\\
\end{eqnarray*}
On devine alors aisément les valeurs propres : \( 2 \) , \( -5 \) et \( 5 \) Pour trouver un vecteur propre associé à chacune de ces valeurs propres, il suffit de trouver une solution \( x\) non nulle à l'équation \( (A-\lambda I_{3})x=0\) .
- Pour \( \lambda=2\)
- Il s'agit de trouver une solution non nul le de l'équation \( (A-2Id_{3})x\) qui se traduit par le système \[\left\{\begin{array}{*{4}{cr}}
&\dfrac{1707}{109}x_{1}&+&\dfrac{121}{109}x_{2} &-&\dfrac{3589}{436}x_{3} &=&0\\
&\dfrac{580}{109}x_{1}&-&\dfrac{194}{109}x_{2} &+&\dfrac{779}{436}x_{3} &=&0\\
&\dfrac{3520}{109}x_{1}&+&\dfrac{296}{109}x_{2} &-&\dfrac{1949}{109}x_{3} &=&0\\
\end{array}
\right.\]
On montre par quelques manipulation algébrique élémentaire (pivot de Gauss) que ce système admet une infinité de solution et que \( v_{2}=\begin{pmatrix}3 \\ 17 \\ 8\end{pmatrix}\) en est une.
- Pour \( \lambda=-5\)
- Cela a déjà été traité à la première question.
- Pour \( \lambda=5\)
- Il s'agit de trouver une solution non nul le de l'équation \( (A-5Id_{3})x\) qui se traduit par le système \[\left\{\begin{array}{*{4}{cr}}
&\dfrac{1380}{109}x_{1}&+&\dfrac{121}{109}x_{2} &-&\dfrac{3589}{436}x_{3} &=&0\\
&\dfrac{580}{109}x_{1}&-&\dfrac{521}{109}x_{2} &+&\dfrac{779}{436}x_{3} &=&0\\
&\dfrac{3520}{109}x_{1}&+&\dfrac{296}{109}x_{2} &-&\dfrac{2276}{109}x_{3} &=&0\\
\end{array}
\right.\]
On montre par quelques manipulation algébrique élémentaire (pivot de Gauss) que ce système admet une infinité de solution et que \( v_{5}=\begin{pmatrix}-9 \\ -16 \\ -16\end{pmatrix}\) en est une.
- Considérons la matrice \( P\) construite en adjoignant un vecteur propre pour chaque valeur propre \( P=\begin{pmatrix}3 & -8 & -9 \\ 17 & 15 & -16 \\ 8 & -20 & -16\end{pmatrix}\) et la matrice \( D\) diagonale de ces valeurs propres (dans le même ordre) \( D=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 5\end{pmatrix}\) . On a \( A= PDP^{-1}\) où \( P^{-1}\) est l'inverse de la matrice \( P\) qui s'obtient par l'intermédiaire de la comatrice :
\[ P^{-1}=\dfrac{1}{1308}\begin{pmatrix}-560 & 52 & 263 \\ 144 & 24 & -105 \\ -460 & -4 & 181\end{pmatrix}\]
Dans ce cas
\begin{eqnarray*}
A^{6}&=&\left(PDP^{-1}\right)^6\\
&=&PD^{6}P^{-1}\\
&=&\dfrac{1}{1308}\begin{pmatrix}3 & -8 & -9 \\ 17 & 15 & -16 \\ 8 & -20 & -16\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 5\end{pmatrix}^{6}\begin{pmatrix}-560 & 52 & 263 \\ 144 & 24 & -105 \\ -460 & -4 & 181\end{pmatrix}\\
&=&\dfrac{1}{1308}\begin{pmatrix}3 & -8 & -9 \\ 17 & 15 & -16 \\ 8 & -20 & -16\end{pmatrix}\begin{pmatrix}64 & 0 & 0 \\ 0 & 15625 & 0 \\ 0 & 0 & 15625\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-560 & 52 & 263 \\ 144 & 24 & -105 \\ -460 & -4 & 181\end{pmatrix}\\
&=&\dfrac{1}{1308}\begin{pmatrix}192 & -125000 & -140625 \\ 1088 & 234375 & -250000 \\ 512 & -312500 & -250000\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-560 & 52 & 263 \\ 144 & 24 & -105 \\ -460 & -4 & 181\end{pmatrix}\qquad \text{Premier produit matricielle}\\
&=&\dfrac{1}{1308}\begin{pmatrix}46579980 & -2427516 & -12277629 \\ 148140720 & 6681576 & -69573231 \\ 69713280 & -6473376 & -12302844\end{pmatrix}\qquad \text{Second produit matricielle}\\
&=&\begin{pmatrix}\dfrac{3881665}{109} & -\dfrac{202293}{109} & -\dfrac{4092543}{436} \\ \dfrac{12345060}{109} & \dfrac{556798}{109} & -\dfrac{23191077}{436} \\ \dfrac{5809440}{109} & -\dfrac{539448}{109} & -\dfrac{1025237}{109}\end{pmatrix}\\
\end{eqnarray*}
