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Considérons la matrice $ A=\begin{pmatrix}\dfrac{598}{225} & \dfrac{13279}{4950} & \dfrac{917}{450} \\ -\dfrac{88}{225} & \dfrac{991}{450} & -\dfrac{77}{450} \\ \dfrac{8}{25} & -\dfrac{3891}{550} & -\dfrac{93}{50}\end{pmatrix}$ qui est diagonalisable.
- On note $ v=\begin{pmatrix}15 \\ -11 \\ 17\end{pmatrix}$ . Montrer que c'est un vecteur propre associé à la valeur propre $ 3$ .
- Donner un vecteur propre de la valeur propre $ 3$ différent de $ v$ .
- Donner le spectre de l'endomorphisme $ A$ (c'est à dire l'ensemble de ses valeurs propres), ainsi que pour chaque valeur propre, un vecteur propre.
- Déterminer la valeur de $ A^{5}$ en réalisant au plus deux produits matricielles.
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- D'une par $ A v=\begin{pmatrix}\dfrac{598}{225} & \dfrac{13279}{4950} & \dfrac{917}{450} \\ -\dfrac{88}{225} & \dfrac{991}{450} & -\dfrac{77}{450} \\ \dfrac{8}{25} & -\dfrac{3891}{550} & -\dfrac{93}{50}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}15 \\ -11 \\ 17\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}45 \\ -33 \\ 51\end{pmatrix}$ et d'autre part $ 3\begin{pmatrix}15 \\ -11 \\ 17\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}45 \\ -33 \\ 51\end{pmatrix}$ . On observe que l'on a bien $ Av=3v$ pour un vecteur $ v$ non nul. Ceci prouve bien que $ 3$ et une valeur propre et que $ v=\begin{pmatrix}15 \\ -11 \\ 17\end{pmatrix}$ est un vecteur propre.
- N'importe quelle vecteur colinéaire à $ v$ fera l'affaire comme $ 4v=\begin{pmatrix}60 \\ -44 \\ 68\end{pmatrix}$ .
- Trouver l'ensemble des valeurs propres reviens à résoudre l'équation matricielle $ Ax=\lambda x$ d'inconnue $ \lambda$ . Or cette équation équivaut à $ (A-\lambda Id_{3})x=0$ . Cette dernière équation implique entre autre que la matrice $ A-\lambda Id_{3}$ n'est pas inversible (si elle l'était alors en l'inversant on aurait $ x=0$ ce qui n'est pas la définition d'un vecteur propre). En particulier, puisqu'elle n'est pas inversible, son déterminant est nécessairement nul. Or on peut calculer ce déterminant :
\begin{eqnarray*}
det(A-\lambda Id_{3})
&=&\begin{pmatrix}\dfrac{598}{225} - \lambda & \dfrac{13279}{4950} & \dfrac{917}{450} \\ -\dfrac{88}{225} & \dfrac{991}{450} - \lambda & -\dfrac{77}{450} \\ \dfrac{8}{25} & -\dfrac{3891}{550} & -\dfrac{93}{50} - \lambda\end{pmatrix}\\
&=& - \lambda^{3} +3 \lambda^{2} +4 \lambda -12\\
&=& \left(- \lambda +3\right)\left(- \lambda +2\right)\left(- \lambda -2\right)\\
\end{eqnarray*}
On devine alors aisément les valeurs propres : $ 3 $ , $ 2 $ et $ -2 $ Pour trouver un vecteur propre associé à chacune de ces valeurs propres, il suffit de trouver une solution $ x$ non nulle à l'équation $ (A-\lambda I_{3})x=0$ .
- Pour $ \lambda=3$
- Cela a déjà été traité à la première question.
- Pour $ \lambda=2$
- Il s'agit de trouver une solution non nul le de l'équation $ (A-2Id_{3})x$ qui se traduit par le système $$\left\{\begin{array}{*{4}{cr}}
&\dfrac{148}{225}x_{1}&+&\dfrac{13279}{4950}x_{2} &+&\dfrac{917}{450}x_{3} &=&0\\
&-\dfrac{88}{225}x_{1}&+&\dfrac{91}{450}x_{2} &-&\dfrac{77}{450}x_{3} &=&0\\
&\dfrac{8}{25}x_{1}&-&\dfrac{3891}{550}x_{2} &-&\dfrac{193}{50}x_{3} &=&0\\
\end{array}
\right.$$
On montre par quelques manipulation algébrique élémentaire (pivot de Gauss) que ce système admet une infinité de solution et que $ v_{2}=\begin{pmatrix}14 \\ 11 \\ -19\end{pmatrix}$ en est une.
- Pour $ \lambda=-2$
- Il s'agit de trouver une solution non nul le de l'équation $ (A+2Id_{3})x$ qui se traduit par le système $$\left\{\begin{array}{*{4}{cr}}
&\dfrac{1048}{225}x_{1}&+&\dfrac{13279}{4950}x_{2} &+&\dfrac{917}{450}x_{3} &=&0\\
&-\dfrac{88}{225}x_{1}&+&\dfrac{1891}{450}x_{2} &-&\dfrac{77}{450}x_{3} &=&0\\
&\dfrac{8}{25}x_{1}&-&\dfrac{3891}{550}x_{2} &+&\dfrac{7}{50}x_{3} &=&0\\
\end{array}
\right.$$
On montre par quelques manipulation algébrique élémentaire (pivot de Gauss) que ce système admet une infinité de solution et que $ v_{-2}=\begin{pmatrix}-7 \\ 0 \\ 16\end{pmatrix}$ en est une.
- Considérons la matrice $ P$ construite en adjoignant un vecteur propre pour chaque valeur propre $ P=\begin{pmatrix}15 & 14 & -7 \\ -11 & 11 & 0 \\ 17 & -19 & 16\end{pmatrix}$ et la matrice $ D$ diagonale de ces valeurs propres (dans le même ordre) $ D=\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{pmatrix}$ . On a $ A= PDP^{-1}$ où $ P^{-1}$ est l'inverse de la matrice $ P$ qui s'obtient par l'intermédiaire de la comatrice :
$$ P^{-1}=\dfrac{1}{4950}\begin{pmatrix}176 & -91 & 77 \\ 176 & 359 & 77 \\ 22 & 523 & 319\end{pmatrix}$$
Dans ce cas
\begin{eqnarray*}
A^{5}&=&\left(PDP^{-1}\right)^5\\
&=&PD^{5}P^{-1}\\
&=&\dfrac{1}{4950}\begin{pmatrix}15 & 14 & -7 \\ -11 & 11 & 0 \\ 17 & -19 & 16\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{pmatrix}^{5}\begin{pmatrix}176 & -91 & 77 \\ 176 & 359 & 77 \\ 22 & 523 & 319\end{pmatrix}\\
&=&\dfrac{1}{4950}\begin{pmatrix}15 & 14 & -7 \\ -11 & 11 & 0 \\ 17 & -19 & 16\end{pmatrix}\begin{pmatrix}243 & 0 & 0 \\ 0 & 32 & 0 \\ 0 & 0 & -32\end{pmatrix}\begin{pmatrix}176 & -91 & 77 \\ 176 & 359 & 77 \\ 22 & 523 & 319\end{pmatrix}\\
&=&\dfrac{1}{4950}\begin{pmatrix}3645 & 448 & 224 \\ -2673 & 352 & 0 \\ 4131 & -608 & -512\end{pmatrix}\begin{pmatrix}176 & -91 & 77 \\ 176 & 359 & 77 \\ 22 & 523 & 319\end{pmatrix}\qquad \text{Premier produit matricielle}\\
&=&\dfrac{1}{4950}\begin{pmatrix}725296 & -53711 & 386617 \\ -408496 & 369611 & -178717 \\ 608784 & -861969 & 107943\end{pmatrix}\qquad \text{Second produit matricielle}\\
&=&\begin{pmatrix}\dfrac{32968}{225} & -\dfrac{53711}{4950} & \dfrac{35147}{450} \\ -\dfrac{18568}{225} & \dfrac{33601}{450} & -\dfrac{16247}{450} \\ \dfrac{9224}{75} & -\dfrac{287323}{1650} & \dfrac{3271}{150}\end{pmatrix}\\
\end{eqnarray*}
