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Considérons la matrice $ A=\begin{pmatrix}-\dfrac{58}{41} & -\dfrac{130}{41} \\ -\dfrac{70}{41} & \dfrac{17}{41}\end{pmatrix}$ qui est diagonalisable.
- On note $ v=\begin{pmatrix}-13 \\ 14\end{pmatrix}$ . Montrer que c'est un vecteur propre associé à la valeur propre $ 2$ .
- Donner un vecteur propre de la valeur propre $ 2$ différent de $ v$ .
- Donner le spectre de l'endomorphisme $ A$ (c'est à dire l'ensemble de ses valeurs propres), ainsi que pour chaque valeur propre, un vecteur propre.
- Déterminer la valeur de $ A^{5}$ en réalisant au plus deux produits matricielles.
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- D'une par $ A v=\begin{pmatrix}-\dfrac{58}{41} & -\dfrac{130}{41} \\ -\dfrac{70}{41} & \dfrac{17}{41}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-13 \\ 14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-26 \\ 28\end{pmatrix}$ et d'autre part $ 2\begin{pmatrix}-13 \\ 14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-26 \\ 28\end{pmatrix}$ . On observe que l'on a bien $ Av=2v$ pour un vecteur $ v$ non nul. Ceci prouve bien que $ 2$ et une valeur propre et que $ v=\begin{pmatrix}-13 \\ 14\end{pmatrix}$ est un vecteur propre.
- N'importe quelle vecteur colinéaire à $ v$ fera l'affaire comme $ -5v=\begin{pmatrix}65 \\ -70\end{pmatrix}$ .
- Trouver l'ensemble des valeurs propres reviens à résoudre l'équation matricielle $ Ax=\lambda x$ d'inconnue $ \lambda$ . Or cette équation équivaut à $ (A-\lambda Id_{2})x=0$ . Cette dernière équation implique entre autre que la matrice $ A-\lambda Id_{2}$ n'est pas inversible (si elle l'était alors en l'inversant on aurait $ x=0$ ce qui n'est pas la définition d'un vecteur propre). En particulier, puisqu'elle n'est pas inversible, son déterminant est nécessairement nul. Or on peut calculer ce déterminant :
\begin{eqnarray*}
det(A-\lambda Id_{2})
&=&\begin{pmatrix}-\dfrac{58}{41} - \lambda & -\dfrac{130}{41} \\ -\dfrac{70}{41} & \dfrac{17}{41} - \lambda\end{pmatrix}\\
&=& \lambda^{2} + \lambda -6\\
&=& \left(- \lambda +2\right)\left(- \lambda -3\right)\\
\end{eqnarray*}
On devine alors aisément les valeurs propres : $ 2 $ et $ -3 $ Pour trouver un vecteur propre associé à chacune de ces valeurs propres, il suffit de trouver une solution $ x$ non nulle à l'équation $ (A-\lambda I_{2})x=0$ .
- Pour $ \lambda=2$
- Cela a déjà été traité à la première question.
- Pour $ \lambda=-3$
- Il s'agit de trouver une solution non nul le de l'équation $ (A+3Id_{2})x$ qui se traduit par le système $$\left\{\begin{array}{*{3}{cr}}
&\dfrac{65}{41}x_{1}&-&\dfrac{130}{41}x_{2} &=&0\\
&-\dfrac{70}{41}x_{1}&+&\dfrac{140}{41}x_{2} &=&0\\
\end{array}
\right.$$
On montre par quelques manipulation algébrique élémentaire (pivot de Gauss) que ce système admet une infinité de solution et que $ v_{-3}=\begin{pmatrix}16 \\ 8\end{pmatrix}$ en est une.
- Considérons la matrice $ P$ construite en adjoignant un vecteur propre pour chaque valeur propre $ P=\begin{pmatrix}-13 & 16 \\ 14 & 8\end{pmatrix}$ et la matrice $ D$ diagonale de ces valeurs propres (dans le même ordre) $ D=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & -3\end{pmatrix}$ . On a $ A= PDP^{-1}$ où $ P^{-1}$ est l'inverse de la matrice $ P$ qui s'obtient par l'intermédiaire de la comatrice :
$$ P^{-1}=-\dfrac{1}{328}\begin{pmatrix}8 & -16 \\ -14 & -13\end{pmatrix}$$
Dans ce cas
\begin{eqnarray*}
A^{5}&=&\left(PDP^{-1}\right)^5\\
&=&PD^{5}P^{-1}\\
&=&-\dfrac{1}{328}\begin{pmatrix}-13 & 16 \\ 14 & 8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & -3\end{pmatrix}^{5}\begin{pmatrix}8 & -16 \\ -14 & -13\end{pmatrix}\\
&=&-\dfrac{1}{328}\begin{pmatrix}-13 & 16 \\ 14 & 8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}32 & 0 \\ 0 & -243\end{pmatrix}\begin{pmatrix}8 & -16 \\ -14 & -13\end{pmatrix}\\
&=&-\dfrac{1}{328}\begin{pmatrix}-416 & -3888 \\ 448 & -1944\end{pmatrix}\begin{pmatrix}8 & -16 \\ -14 & -13\end{pmatrix}\qquad \text{Premier produit matricielle}\\
&=&-\dfrac{1}{328}\begin{pmatrix}51104 & 57200 \\ 30800 & 18104\end{pmatrix}\qquad \text{Second produit matricielle}\\
&=&\begin{pmatrix}-\dfrac{6388}{41} & -\dfrac{7150}{41} \\ -\dfrac{3850}{41} & -\dfrac{2263}{41}\end{pmatrix}\\
\end{eqnarray*}
