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Exercice
Considérons la matrice \( A=\begin{pmatrix}-\dfrac{63}{13} & -\dfrac{36}{13} \\ \dfrac{133}{13} & \dfrac{76}{13}\end{pmatrix}\) qui est diagonalisable.
- On note \( v=\begin{pmatrix}9 \\ -19\end{pmatrix}\) . Montrer que c'est un vecteur propre associé à la valeur propre \( 1\) .
- Donner un vecteur propre de la valeur propre \( 1\) différent de \( v\) .
- Donner le spectre de l'endomorphisme \( A\) (c'est à dire l'ensemble de ses valeurs propres), ainsi que pour chaque valeur propre, un vecteur propre.
- Déterminer la valeur de \( A^{6}\) en réalisant au plus deux produits matricielles.
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Exercice
- D'une par \( A v=\begin{pmatrix}-\dfrac{63}{13} & -\dfrac{36}{13} \\ \dfrac{133}{13} & \dfrac{76}{13}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}9 \\ -19\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9 \\ -19\end{pmatrix}\) et d'autre part \( 1\begin{pmatrix}9 \\ -19\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9 \\ -19\end{pmatrix}\) . On observe que l'on a bien \( Av=1v\) pour un vecteur \( v\) non nul. Ceci prouve bien que \( 1\) et une valeur propre et que \( v=\begin{pmatrix}9 \\ -19\end{pmatrix}\) est un vecteur propre.
- N'importe quelle vecteur colinéaire à \( v\) fera l'affaire comme \( -3v=\begin{pmatrix}-27 \\ 57\end{pmatrix}\) .
- Trouver l'ensemble des valeurs propres reviens à résoudre l'équation matricielle \( Ax=\lambda x\) d'inconnue \( \lambda\) . Or cette équation équivaut à \( (A-\lambda Id_{2})x=0\) . Cette dernière équation implique entre autre que la matrice \( A-\lambda Id_{2}\) n'est pas inversible (si elle l'était alors en l'inversant on aurait \( x=0\) ce qui n'est pas la définition d'un vecteur propre). En particulier, puisqu'elle n'est pas inversible, son déterminant est nécessairement nul. Or on peut calculer ce déterminant :
\begin{eqnarray*}
det(A-\lambda Id_{2})
&=&\begin{pmatrix}-\dfrac{63}{13} - \lambda & -\dfrac{36}{13} \\ \dfrac{133}{13} & \dfrac{76}{13} - \lambda\end{pmatrix}\\
&=& \lambda^{2} - \lambda \\
&=& \left(- \lambda \right)\left(- \lambda +1\right)\\
\end{eqnarray*}
On devine alors aisément les valeurs propres : \( 0 \) et \( 1 \) Pour trouver un vecteur propre associé à chacune de ces valeurs propres, il suffit de trouver une solution \( x\) non nulle à l'équation \( (A-\lambda I_{2})x=0\) .
- Pour \( \lambda=0\)
- Il s'agit de trouver une solution non nul le de l'équation \( (A+0Id_{2})x\) qui se traduit par le système \[\left\{\begin{array}{*{3}{cr}}
&-\dfrac{63}{13}x_{1}&-&\dfrac{36}{13}x_{2} &=&0\\
&\dfrac{133}{13}x_{1}&+&\dfrac{76}{13}x_{2} &=&0\\
\end{array}
\right.\]
On montre par quelques manipulation algébrique élémentaire (pivot de Gauss) que ce système admet une infinité de solution et que \( v_{0}=\begin{pmatrix}8 \\ -14\end{pmatrix}\) en est une.
- Pour \( \lambda=1\)
- Cela a déjà été traité à la première question.
- Considérons la matrice \( P\) construite en adjoignant un vecteur propre pour chaque valeur propre \( P=\begin{pmatrix}8 & 9 \\ -14 & -19\end{pmatrix}\) et la matrice \( D\) diagonale de ces valeurs propres (dans le même ordre) \( D=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\) . On a \( A= PDP^{-1}\) où \( P^{-1}\) est l'inverse de la matrice \( P\) qui s'obtient par l'intermédiaire de la comatrice :
\[ P^{-1}=-\dfrac{1}{26}\begin{pmatrix}-19 & -9 \\ 14 & 8\end{pmatrix}\]
Dans ce cas
\begin{eqnarray*}
A^{6}&=&\left(PDP^{-1}\right)^6\\
&=&PD^{6}P^{-1}\\
&=&-\dfrac{1}{26}\begin{pmatrix}8 & 9 \\ -14 & -19\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}^{6}\begin{pmatrix}-19 & -9 \\ 14 & 8\end{pmatrix}\\
&=&-\dfrac{1}{26}\begin{pmatrix}8 & 9 \\ -14 & -19\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-19 & -9 \\ 14 & 8\end{pmatrix}\\
&=&-\dfrac{1}{26}\begin{pmatrix}0 & 9 \\ 0 & -19\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-19 & -9 \\ 14 & 8\end{pmatrix}\qquad \text{Premier produit matricielle}\\
&=&-\dfrac{1}{26}\begin{pmatrix}126 & 72 \\ -266 & -152\end{pmatrix}\qquad \text{Second produit matricielle}\\
&=&\begin{pmatrix}-\dfrac{63}{13} & -\dfrac{36}{13} \\ \dfrac{133}{13} & \dfrac{76}{13}\end{pmatrix}\\
\end{eqnarray*}
