L'exercice suivant est automatiquement et aléatoirement généré par ataraXy.
Si vous regénérez la page (F5) les valeurs seront changées.
La correction se trouve en bas de page.
Exercice
Considérons la matrice \( A=\begin{pmatrix}-\dfrac{44}{21} & -\dfrac{16}{21} \\ -\dfrac{5}{21} & -\dfrac{82}{21}\end{pmatrix}\) qui est diagonalisable.
- On note \( v=\begin{pmatrix}16 \\ -2\end{pmatrix}\) . Montrer que c'est un vecteur propre associé à la valeur propre \( -2\) .
- Donner un vecteur propre de la valeur propre \( -2\) différent de \( v\) .
- Donner le spectre de l'endomorphisme \( A\) (c'est à dire l'ensemble de ses valeurs propres), ainsi que pour chaque valeur propre, un vecteur propre.
- Déterminer la valeur de \( A^{6}\) en réalisant au plus deux produits matricielles.
Cliquer ici pour afficher la solution
Exercice
- D'une par \( A v=\begin{pmatrix}-\dfrac{44}{21} & -\dfrac{16}{21} \\ -\dfrac{5}{21} & -\dfrac{82}{21}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}16 \\ -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-32 \\ 4\end{pmatrix}\) et d'autre part \( -2\begin{pmatrix}16 \\ -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-32 \\ 4\end{pmatrix}\) . On observe que l'on a bien \( Av=-2v\) pour un vecteur \( v\) non nul. Ceci prouve bien que \( -2\) et une valeur propre et que \( v=\begin{pmatrix}16 \\ -2\end{pmatrix}\) est un vecteur propre.
- N'importe quelle vecteur colinéaire à \( v\) fera l'affaire comme \( -4v=\begin{pmatrix}-64 \\ 8\end{pmatrix}\) .
- Trouver l'ensemble des valeurs propres reviens à résoudre l'équation matricielle \( Ax=\lambda x\) d'inconnue \( \lambda\) . Or cette équation équivaut à \( (A-\lambda Id_{2})x=0\) . Cette dernière équation implique entre autre que la matrice \( A-\lambda Id_{2}\) n'est pas inversible (si elle l'était alors en l'inversant on aurait \( x=0\) ce qui n'est pas la définition d'un vecteur propre). En particulier, puisqu'elle n'est pas inversible, son déterminant est nécessairement nul. Or on peut calculer ce déterminant :
\begin{eqnarray*}
det(A-\lambda Id_{2})
&=&\begin{pmatrix}-\dfrac{44}{21} - \lambda & -\dfrac{16}{21} \\ -\dfrac{5}{21} & -\dfrac{82}{21} - \lambda\end{pmatrix}\\
&=& \lambda^{2} +6 \lambda +8\\
&=& \left(- \lambda -2\right)\left(- \lambda -4\right)\\
\end{eqnarray*}
On devine alors aisément les valeurs propres : \( -2 \) et \( -4 \) Pour trouver un vecteur propre associé à chacune de ces valeurs propres, il suffit de trouver une solution \( x\) non nulle à l'équation \( (A-\lambda I_{2})x=0\) .
- Pour \( \lambda=-2\)
- Cela a déjà été traité à la première question.
- Pour \( \lambda=-4\)
- Il s'agit de trouver une solution non nul le de l'équation \( (A+4Id_{2})x\) qui se traduit par le système \[\left\{\begin{array}{*{3}{cr}}
&\dfrac{40}{21}x_{1}&-&\dfrac{16}{21}x_{2} &=&0\\
&-\dfrac{5}{21}x_{1}&+&\dfrac{2}{21}x_{2} &=&0\\
\end{array}
\right.\]
On montre par quelques manipulation algébrique élémentaire (pivot de Gauss) que ce système admet une infinité de solution et que \( v_{-4}=\begin{pmatrix}8 \\ 20\end{pmatrix}\) en est une.
- Considérons la matrice \( P\) construite en adjoignant un vecteur propre pour chaque valeur propre \( P=\begin{pmatrix}16 & 8 \\ -2 & 20\end{pmatrix}\) et la matrice \( D\) diagonale de ces valeurs propres (dans le même ordre) \( D=\begin{pmatrix}-2 & 0 \\ 0 & -4\end{pmatrix}\) . On a \( A= PDP^{-1}\) où \( P^{-1}\) est l'inverse de la matrice \( P\) qui s'obtient par l'intermédiaire de la comatrice :
\[ P^{-1}=\dfrac{1}{336}\begin{pmatrix}20 & -8 \\ 2 & 16\end{pmatrix}\]
Dans ce cas
\begin{eqnarray*}
A^{6}&=&\left(PDP^{-1}\right)^6\\
&=&PD^{6}P^{-1}\\
&=&\dfrac{1}{336}\begin{pmatrix}16 & 8 \\ -2 & 20\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2 & 0 \\ 0 & -4\end{pmatrix}^{6}\begin{pmatrix}20 & -8 \\ 2 & 16\end{pmatrix}\\
&=&\dfrac{1}{336}\begin{pmatrix}16 & 8 \\ -2 & 20\end{pmatrix}\begin{pmatrix}64 & 0 \\ 0 & 4096\end{pmatrix}\begin{pmatrix}20 & -8 \\ 2 & 16\end{pmatrix}\\
&=&\dfrac{1}{336}\begin{pmatrix}1024 & 32768 \\ -128 & 81920\end{pmatrix}\begin{pmatrix}20 & -8 \\ 2 & 16\end{pmatrix}\qquad \text{Premier produit matricielle}\\
&=&\dfrac{1}{336}\begin{pmatrix}86016 & 516096 \\ 161280 & 1311744\end{pmatrix}\qquad \text{Second produit matricielle}\\
&=&\begin{pmatrix}256 & 1536 \\ 480 & 3904\end{pmatrix}\\
\end{eqnarray*}
