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Exercice
Considérons la matrice \( A=\begin{pmatrix}\dfrac{236}{57} & \dfrac{35}{57} \\ \dfrac{490}{57} & -\dfrac{65}{57}\end{pmatrix}\) qui est diagonalisable.
- On note \( v=\begin{pmatrix}-2 \\ 20\end{pmatrix}\) . Montrer que c'est un vecteur propre associé à la valeur propre \( -2\) .
- Donner un vecteur propre de la valeur propre \( -2\) différent de \( v\) .
- Donner le spectre de l'endomorphisme \( A\) (c'est à dire l'ensemble de ses valeurs propres), ainsi que pour chaque valeur propre, un vecteur propre.
- Déterminer la valeur de \( A^{6}\) en réalisant au plus deux produits matricielles.
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Exercice
- D'une par \( A v=\begin{pmatrix}\dfrac{236}{57} & \dfrac{35}{57} \\ \dfrac{490}{57} & -\dfrac{65}{57}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2 \\ 20\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ -40\end{pmatrix}\) et d'autre part \( -2\begin{pmatrix}-2 \\ 20\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ -40\end{pmatrix}\) . On observe que l'on a bien \( Av=-2v\) pour un vecteur \( v\) non nul. Ceci prouve bien que \( -2\) et une valeur propre et que \( v=\begin{pmatrix}-2 \\ 20\end{pmatrix}\) est un vecteur propre.
- N'importe quelle vecteur colinéaire à \( v\) fera l'affaire comme \( 3v=\begin{pmatrix}-6 \\ 60\end{pmatrix}\) .
- Trouver l'ensemble des valeurs propres reviens à résoudre l'équation matricielle \( Ax=\lambda x\) d'inconnue \( \lambda\) . Or cette équation équivaut à \( (A-\lambda Id_{2})x=0\) . Cette dernière équation implique entre autre que la matrice \( A-\lambda Id_{2}\) n'est pas inversible (si elle l'était alors en l'inversant on aurait \( x=0\) ce qui n'est pas la définition d'un vecteur propre). En particulier, puisqu'elle n'est pas inversible, son déterminant est nécessairement nul. Or on peut calculer ce déterminant :
\begin{eqnarray*}
det(A-\lambda Id_{2})
&=&\begin{pmatrix}\dfrac{236}{57} - \lambda & \dfrac{35}{57} \\ \dfrac{490}{57} & -\dfrac{65}{57} - \lambda\end{pmatrix}\\
&=& \lambda^{2} -3 \lambda -10\\
&=& \left(- \lambda +5\right)\left(- \lambda -2\right)\\
\end{eqnarray*}
On devine alors aisément les valeurs propres : \( 5 \) et \( -2 \) Pour trouver un vecteur propre associé à chacune de ces valeurs propres, il suffit de trouver une solution \( x\) non nulle à l'équation \( (A-\lambda I_{2})x=0\) .
- Pour \( \lambda=5\)
- Il s'agit de trouver une solution non nul le de l'équation \( (A-5Id_{2})x\) qui se traduit par le système \[\left\{\begin{array}{*{3}{cr}}
&-\dfrac{49}{57}x_{1}&+&\dfrac{35}{57}x_{2} &=&0\\
&\dfrac{490}{57}x_{1}&-&\dfrac{350}{57}x_{2} &=&0\\
\end{array}
\right.\]
On montre par quelques manipulation algébrique élémentaire (pivot de Gauss) que ce système admet une infinité de solution et que \( v_{5}=\begin{pmatrix}10 \\ 14\end{pmatrix}\) en est une.
- Pour \( \lambda=-2\)
- Cela a déjà été traité à la première question.
- Considérons la matrice \( P\) construite en adjoignant un vecteur propre pour chaque valeur propre \( P=\begin{pmatrix}10 & -2 \\ 14 & 20\end{pmatrix}\) et la matrice \( D\) diagonale de ces valeurs propres (dans le même ordre) \( D=\begin{pmatrix}5 & 0 \\ 0 & -2\end{pmatrix}\) . On a \( A= PDP^{-1}\) où \( P^{-1}\) est l'inverse de la matrice \( P\) qui s'obtient par l'intermédiaire de la comatrice :
\[ P^{-1}=\dfrac{1}{228}\begin{pmatrix}20 & 2 \\ -14 & 10\end{pmatrix}\]
Dans ce cas
\begin{eqnarray*}
A^{6}&=&\left(PDP^{-1}\right)^6\\
&=&PD^{6}P^{-1}\\
&=&\dfrac{1}{228}\begin{pmatrix}10 & -2 \\ 14 & 20\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5 & 0 \\ 0 & -2\end{pmatrix}^{6}\begin{pmatrix}20 & 2 \\ -14 & 10\end{pmatrix}\\
&=&\dfrac{1}{228}\begin{pmatrix}10 & -2 \\ 14 & 20\end{pmatrix}\begin{pmatrix}15625 & 0 \\ 0 & 64\end{pmatrix}\begin{pmatrix}20 & 2 \\ -14 & 10\end{pmatrix}\\
&=&\dfrac{1}{228}\begin{pmatrix}156250 & -128 \\ 218750 & 1280\end{pmatrix}\begin{pmatrix}20 & 2 \\ -14 & 10\end{pmatrix}\qquad \text{Premier produit matricielle}\\
&=&\dfrac{1}{228}\begin{pmatrix}3126792 & 311220 \\ 4357080 & 450300\end{pmatrix}\qquad \text{Second produit matricielle}\\
&=&\begin{pmatrix}13714 & 1365 \\ 19110 & 1975\end{pmatrix}\\
\end{eqnarray*}
