\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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On considère l'expression $$ E(x)=\left(x+\dfrac{59}{8}\right)\left(\dfrac{3721}{81}x^2-\dfrac{1520573}{2268}x+\dfrac{12965473}{5184}\right)- \left(x+\dfrac{59}{8}\right)\left(\dfrac{50}{7}x+\dfrac{22}{9}\right)$$
  1. Développer et réduire l'expression $ E(x)$ .
  2. Factoriser l'expression $ E(x)$ .
  3. A l'aide des résultats précédent, résoudre les équations suivantes.
    1. $ E(x)=0$ .
    2. $ E(x)=\dfrac{3721}{81}x^3$ .
    3. $ E(x)=\dfrac{764215259}{41472}$ .
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  1. On a $ \boxed{E(x)=\dfrac{3721}{81}x^3 -\dfrac{219539}{648}x^2 -\dfrac{12952801}{5184}x +\dfrac{764215259}{41472}}$ . En détails : \begin{eqnarray*} E(x) &=&\left(x+\dfrac{59}{8}\right)\left(\dfrac{3721}{81}x^2-\dfrac{1520573}{2268}x+\dfrac{12965473}{5184}\right)- \left(x+\dfrac{59}{8}\right)\left(\dfrac{50}{7}x+\dfrac{22}{9}\right) \\ &=& \left(\dfrac{3721}{81}x^3-\dfrac{1520573}{2268}x^2+\dfrac{12965473}{5184}x+\dfrac{219539}{648}x^2-\dfrac{89713807}{18144}x+\dfrac{764962907}{41472}\right) \\ & &-\left(\dfrac{50}{7}x^2+\dfrac{22}{9}x+\dfrac{1475}{28}x+\dfrac{649}{36}\right) \\ &=&\dfrac{3721}{81}x^3 -\dfrac{219539}{648}x^2 -\dfrac{12952801}{5184}x +\dfrac{764215259}{41472} \end{eqnarray*}
  2. On a $ \boxed{E(x)=\left(x+\dfrac{59}{8}\right)\left( \dfrac{3721}{81}x^2 -\dfrac{219539}{324}x +\dfrac{12952801}{5184} \right)}$ . En détails : \begin{eqnarray*} E(x) &=&\left(x+\dfrac{59}{8}\right)\left(\dfrac{3721}{81}x^2-\dfrac{1520573}{2268}x+\dfrac{12965473}{5184}\right)- \left(x+\dfrac{59}{8}\right)\left(\dfrac{50}{7}x+\dfrac{22}{9}\right) \\ &=&\left(x+\dfrac{59}{8}\right)\left[\left(\dfrac{3721}{81}x^2-\dfrac{1520573}{2268}x+\dfrac{12965473}{5184}\right)- \left(\dfrac{50}{7}x+\dfrac{22}{9}\right)\right] \\ &=&\left(x+\dfrac{59}{8}\right)\left( \dfrac{3721}{81}x^2 -\dfrac{219539}{324}x +\dfrac{12952801}{5184} \right) \end{eqnarray*}
    1. Prenons la forme factorisée. L'équation $ E(x)=0 $ est donc équivalente à l'équation $$ \left(x+\dfrac{59}{8}\right)\left( \dfrac{3721}{81}x^2 -\dfrac{219539}{324}x +\dfrac{12952801}{5184} \right)=0 $$ Il s'agit d'une équation au produit nule. Ainsi soit $ x+\dfrac{59}{8}=0$ soit $ \dfrac{3721}{81}x^2 -\dfrac{219539}{324}x +\dfrac{12952801}{5184}=0 $ . La première équation équivaut trivialement à $ x=-\dfrac{59}{8}$ . Le discriminant de la seconde équation est $ \Delta = \left(-\dfrac{219539}{324}\right)^2-4\left(\dfrac{3721}{81}\right)\left(\dfrac{12952801}{5184}\right)=0$ . Le polynôme admet donc une racine réelle double. D'après le cours, cette racine est $ x_0=-\dfrac{-\dfrac{219539}{324}}{2\times\dfrac{3721}{81}}=\dfrac{59}{8}$ . En conclusion, l'ensemble solution de l'équation $ E(x)=0$ est $$\boxed{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{59}{8}, \dfrac{59}{8}\right\}}$$
    2. Considérons la forme développée de l'expression. \begin{eqnarray*} E(x)=\dfrac{3721}{81}x^3 & \Longleftrightarrow & \dfrac{3721}{81}x^3 -\dfrac{219539}{648}x^2 -\dfrac{12952801}{5184}x +\dfrac{764215259}{41472}=\dfrac{3721}{81}x^3\\ & \Longleftrightarrow & -\dfrac{219539}{648}x^2 -\dfrac{12952801}{5184}x +\dfrac{764215259}{41472}=0 \end{eqnarray*} Calculons le discriminant de ce polynôme : $ \Delta=\left(-\dfrac{12952801}{5184}\right)^2-4\left(-\dfrac{219539}{648}\right)\left(\dfrac{764215259}{41472}\right)=\dfrac{838875268728005}{26873856}=\left(\dfrac{12952801}{5184}\sqrt{5}\right)^2{>}0$ . Il existe donc deux racines simples : $$ x_1 =\dfrac{-\left(-\dfrac{12952801}{5184}\right)+\sqrt{\left(\dfrac{12952801}{5184}\sqrt{5}\right)^2}}{2\times\left(-\dfrac{219539}{648}\right)} =\dfrac{\dfrac{12952801}{5184}+\dfrac{12952801}{5184}\sqrt{5}}{-\dfrac{219539}{324}} =-\dfrac{59}{16}-\dfrac{59}{16}\sqrt{5} $$ $$ x_2 =\dfrac{-\left(-\dfrac{12952801}{5184}\right)-\sqrt{\left(\dfrac{12952801}{5184}\sqrt{5}\right)^2}}{2\times\left(-\dfrac{219539}{648}\right)} =\dfrac{\dfrac{12952801}{5184}-\dfrac{12952801}{5184}\sqrt{5}}{-\dfrac{219539}{324}} =-\dfrac{59}{16}+\dfrac{59}{16}\sqrt{5} $$ En conclusion l'ensemble solution de l'équation $ E(x)=\dfrac{3721}{81}x^3 $ est $$\boxed{\mathscr{S}=\left\{ -\dfrac{59}{16}-\dfrac{59}{16}\sqrt{5}, -\dfrac{59}{16}+\dfrac{59}{16}\sqrt{5}\right\}}$$
    3. Considérons la forme développée de l'expression. \begin{eqnarray*} E(x)=\dfrac{764215259}{41472} & \Longleftrightarrow & \dfrac{3721}{81}x^3 -\dfrac{219539}{648}x^2 -\dfrac{12952801}{5184}x +\dfrac{764215259}{41472} =\dfrac{764215259}{41472}\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{3721}{81}x^3 -\dfrac{219539}{648}x^2 -\dfrac{12952801}{5184}x =0 \\ & \Longleftrightarrow & x\left( \dfrac{3721}{81}x^2 -\dfrac{219539}{648}x -\dfrac{12952801}{5184} \right)=0 \end{eqnarray*} Il s'agit d'une équation au produit nul. Soit $ x=0$ , soit $ \dfrac{3721}{81}x^2 -\dfrac{219539}{648}x -\dfrac{12952801}{5184}=0$ . Calculons le discriminant de ce polynôme : $ \Delta=\left(-\dfrac{219539}{648}\right)^2-4\left(\dfrac{3721}{81}\right)\left(-\dfrac{12952801}{5184}\right) =\dfrac{240986862605}{419904}=\left(\dfrac{219539}{648}\sqrt{5}\right)^2{>}0$ . Il existe donc deux racines simples : $$ x_1 =\dfrac{-\left(-\dfrac{219539}{648}\right)+\sqrt{\left(\dfrac{219539}{648}\sqrt{5}\right)^2}}{2\times\left(\dfrac{3721}{81}\right)} =\dfrac{\dfrac{219539}{648}+\dfrac{219539}{648}\sqrt{5}}{\dfrac{7442}{81}} =\dfrac{59}{16}+\dfrac{59}{16}\sqrt{5} $$ $$ x_1 =\dfrac{-\left(-\dfrac{219539}{648}\right)-\sqrt{\left(\dfrac{219539}{648}\sqrt{5}\right)^2}}{2\times\left(\dfrac{3721}{81}\right)} =\dfrac{\dfrac{219539}{648}-\dfrac{219539}{648}\sqrt{5}}{\dfrac{7442}{81}} =\dfrac{59}{16}-\dfrac{59}{16}\sqrt{5} $$ En conclusion, l'ensemble solution de l'équation $ E(x)=\dfrac{764215259}{41472}$ est $$\boxed{\mathscr{S}=\left\{0, \dfrac{59}{16}+\dfrac{59}{16}\sqrt{5}, \dfrac{59}{16}-\dfrac{59}{16}\sqrt{5}\right\}}$$