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On considère l'expression $$
E(x)=\left(x+7\right)\left(49x^2-684x+2409\right)-
\left(x+7\right)\left(2x+8\right)$$
- Développer et réduire l'expression $ E(x)$ .
- Factoriser l'expression $ E(x)$ .
- A l'aide des résultats précédent, résoudre les équations suivantes.
- $ E(x)=0$ .
- $ E(x)=49x^3$ .
- $ E(x)=16807$ .
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- On a $ \boxed{E(x)=49x^3
-343x^2
-2401x
+16807}$ . En détails :
\begin{eqnarray*}
E(x)
&=&\left(x+7\right)\left(49x^2-684x+2409\right)-
\left(x+7\right)\left(2x+8\right) \\
&=&
\left(49x^3-684x^2+2409x+343x^2-4788x+16863\right) \\
& &-\left(2x^2+8x+14x+56\right)
\\
&=&49x^3
-343x^2
-2401x
+16807
\end{eqnarray*}
- On a $ \boxed{E(x)=\left(x+7\right)\left(
49x^2
-686x
+2401
\right)}$ . En détails :
\begin{eqnarray*}
E(x)
&=&\left(x+7\right)\left(49x^2-684x+2409\right)-
\left(x+7\right)\left(2x+8\right) \\
&=&\left(x+7\right)\left[\left(49x^2-684x+2409\right)-
\left(2x+8\right)\right] \\
&=&\left(x+7\right)\left(
49x^2
-686x
+2401
\right)
\end{eqnarray*}
-
- Prenons la forme factorisée. L'équation $ E(x)=0 $ est donc équivalente à l'équation $$
\left(x+7\right)\left(
49x^2
-686x
+2401
\right)=0
$$
Il s'agit d'une équation au produit nule. Ainsi soit $ x+7=0$ soit $ 49x^2
-686x
+2401=0 $ . La première équation équivaut trivialement à $ x=-7$ . Le discriminant de la seconde équation est $ \Delta = \left(-686\right)^2-4\left(49\right)\left(2401\right)=0$ . Le polynôme admet donc une racine réelle double. D'après le cours, cette racine est $ x_0=-\dfrac{-686}{2\times49}=7$ . En conclusion, l'ensemble solution de l'équation $ E(x)=0$ est
$$\boxed{\mathscr{S}=\left\{-7, 7\right\}}$$
- Considérons la forme développée de l'expression.
\begin{eqnarray*}
E(x)=49x^3 & \Longleftrightarrow &
49x^3
-343x^2
-2401x
+16807=49x^3\\
& \Longleftrightarrow &
-343x^2
-2401x
+16807=0
\end{eqnarray*}
Calculons le discriminant de ce polynôme : $ \Delta=\left(-2401\right)^2-4\left(-343\right)\left(16807\right)=28824005=\left(2401\sqrt{5}\right)^2{>}0$ . Il existe donc deux racines simples :
$$
x_1
=\dfrac{-\left(-2401\right)+\sqrt{\left(2401\sqrt{5}\right)^2}}{2\times\left(-343\right)}
=\dfrac{2401+2401\sqrt{5}}{-686}
=-\dfrac{7}{2}-\dfrac{7}{2}\sqrt{5}
$$
$$
x_2
=\dfrac{-\left(-2401\right)-\sqrt{\left(2401\sqrt{5}\right)^2}}{2\times\left(-343\right)}
=\dfrac{2401-2401\sqrt{5}}{-686}
=-\dfrac{7}{2}+\dfrac{7}{2}\sqrt{5}
$$
En conclusion l'ensemble solution de l'équation $ E(x)=49x^3 $ est
$$\boxed{\mathscr{S}=\left\{
-\dfrac{7}{2}-\dfrac{7}{2}\sqrt{5},
-\dfrac{7}{2}+\dfrac{7}{2}\sqrt{5}\right\}}$$
- Considérons la forme développée de l'expression.
\begin{eqnarray*}
E(x)=16807
& \Longleftrightarrow &
49x^3
-343x^2
-2401x
+16807
=16807\\
& \Longleftrightarrow &
49x^3
-343x^2
-2401x
=0 \\
& \Longleftrightarrow & x\left(
49x^2
-343x
-2401
\right)=0
\end{eqnarray*}
Il s'agit d'une équation au produit nul. Soit $ x=0$ , soit $ 49x^2
-343x
-2401=0$ .
Calculons le discriminant de ce polynôme : $ \Delta=\left(-343\right)^2-4\left(49\right)\left(-2401\right)
=588245=\left(343\sqrt{5}\right)^2{>}0$ . Il existe donc deux racines simples :
$$
x_1
=\dfrac{-\left(-343\right)+\sqrt{\left(343\sqrt{5}\right)^2}}{2\times\left(49\right)}
=\dfrac{343+343\sqrt{5}}{98}
=\dfrac{7}{2}+\dfrac{7}{2}\sqrt{5}
$$
$$
x_1
=\dfrac{-\left(-343\right)-\sqrt{\left(343\sqrt{5}\right)^2}}{2\times\left(49\right)}
=\dfrac{343-343\sqrt{5}}{98}
=\dfrac{7}{2}-\dfrac{7}{2}\sqrt{5}
$$
En conclusion, l'ensemble solution de l'équation $ E(x)=16807$ est
$$\boxed{\mathscr{S}=\left\{0,
\dfrac{7}{2}+\dfrac{7}{2}\sqrt{5},
\dfrac{7}{2}-\dfrac{7}{2}\sqrt{5}\right\}}$$