\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; #2\right]\!\right]} \newcommand{\intEFO}[2]{\left[\!\left[#1 ; #2\right[\!\right[} \newcommand{\intEOF}[2]{\left]\!\left]#1 ; #2\right]\!\right]} \newcommand{\intEOO}[2]{\left]\!\left]#1 ; #2\right[\!\right[} \newcommand{\ou}{\vee} \newcommand{\et}{\wedge} \newcommand{\non}{\neg} \newcommand{\implique}{\Rightarrow} \newcommand{\equivalent}{\Leftrightarrow} \newcommand{\Ab}{\overline{A}} \newcommand{\Bb}{\overline{B}} \newcommand{\Cb}{\overline{C}} \newcommand{\Cl}{\texttt{Cl}} \newcommand{\ab}{\overline{a}} \newcommand{\bb}{\overline{b}} \newcommand{\cb}{\overline{c}} \newcommand{\Rel}{\mathcal{R}} \newcommand{\superepsilon}{\varepsilon\!\!\varepsilon} \newcommand{\supere}{e\!\!e} \makeatletter \newenvironment{console}{\noindent\color{white}\begin{lrbox}{\@tempboxa}\begin{minipage}{\columnwidth} \ttfamily \bfseries\vspace*{0.5cm}} {\vspace*{0.5cm}\end{minipage}\end{lrbox}\colorbox{black}{\usebox{\@tempboxa}} } \makeatother \def\ie{\textit{i.e. }} \def\cf{\textit{c.f. }} \def\vide{ { $ {\text{ }} $ } } %Commande pour les vecteurs \newcommand{\grad}{\overrightarrow{Grad}} \newcommand{\Vv}{\overrightarrow{v}} \newcommand{\Vu}{\overrightarrow{u}} \newcommand{\Vw}{\overrightarrow{w}} \newcommand{\Vup}{\overrightarrow{u'}} \newcommand{\Zero}{\overrightarrow{0}} \newcommand{\Vx}{\overrightarrow{x}} \newcommand{\Vy}{\overrightarrow{y}} \newcommand{\Vz}{\overrightarrow{z}} \newcommand{\Vt}{\overrightarrow{t}} \newcommand{\Va}{\overrightarrow{a}} \newcommand{\Vb}{\overrightarrow{b}} \newcommand{\Vc}{\overrightarrow{c}} \newcommand{\Vd}{\overrightarrow{d}} \newcommand{\Ve}[1]{\overrightarrow{e_{#1}}} \newcommand{\Vf}[1]{\overrightarrow{f_{#1}}} \newcommand{\Vn}{\overrightarrow{0}} \newcommand{\Mat}{Mat} \newcommand{\Pass}{Pass} \newcommand{\mkF}{\mathfrak{F}} \renewcommand{\sp}{Sp} \newcommand{\Co}{Co} \newcommand{\vect}[1]{\texttt{Vect}\dpl{\left( #1\right)}} \newcommand{\prodscal}[2]{\dpl{\left\langle #1\left|\vphantom{#1 #2}\right. #2\right\rangle}} \newcommand{\trans}[1]{{\vphantom{#1}}^{t}{#1}} \newcommand{\ortho}[1]{{#1}^{\bot}} \newcommand{\oplusbot}{\overset{\bot}{\oplus}} \SelectTips{cm}{12}%Change le bout des flèches dans un xymatrix \newcommand{\pourDES}[8]{ \begin{itemize} \item Pour la ligne : le premier et dernier caractère forment $#1#2$ soit $#4$ en base 10. \item Pour la colonne : les autres caractères du bloc forment $#3$ soit $#5$ en base 10. \item A l'intersection de la ligne $#4+1$ et de la colonne $#5+1$ de $S_{#8}$ se trouve l'entier $#6$ qui, codé sur $4$ bits, est \textbf{\texttt{$#7$}}. \end{itemize} } \)
Exercice

L'exercice suivant est automatiquement et aléatoirement généré par ataraXy.
Si vous regénérez la page (F5) les valeurs seront changées.
La correction se trouve en bas de page.


Exercice


On considère l'expression \[ E(x)=\left(x+3\right)\left(x^2+1x+17\right)- \left(x+3\right)\left(7x+8\right)\]
  1. Développer et réduire l'expression \( E(x)\) .
  2. Factoriser l'expression \( E(x)\) .
  3. A l'aide des résultats précédent, résoudre les équations suivantes.
    1. \( E(x)=0\) .
    2. \( E(x)=x^3\) .
    3. \( E(x)=27\) .
Cliquer ici pour afficher la solution

Exercice


  1. On a \( \boxed{E(x)=x^3 -3x^2 -9x +27}\) . En détails : \begin{eqnarray*} E(x) &=&\left(x+3\right)\left(x^2+1x+17\right)- \left(x+3\right)\left(7x+8\right) \\ &=& \left(x^3+1x^2+17x+3x^2+3x+51\right) \\ & &-\left(7x^2+8x+21x+24\right) \\ &=&x^3 -3x^2 -9x +27 \end{eqnarray*}
  2. On a \( \boxed{E(x)=\left(x+3\right)\left( x^2 -6x +9 \right)}\) . En détails : \begin{eqnarray*} E(x) &=&\left(x+3\right)\left(x^2+1x+17\right)- \left(x+3\right)\left(7x+8\right) \\ &=&\left(x+3\right)\left[\left(x^2+1x+17\right)- \left(7x+8\right)\right] \\ &=&\left(x+3\right)\left( x^2 -6x +9 \right) \end{eqnarray*}
    1. Prenons la forme factorisée. L'équation \( E(x)=0 \) est donc équivalente à l'équation \[ \left(x+3\right)\left( x^2 -6x +9 \right)=0 \] Il s'agit d'une équation au produit nule. Ainsi soit \( x+3=0\) soit \( x^2 -6x +9=0 \) . La première équation équivaut trivialement à \( x=-3\) . Le discriminant de la seconde équation est \( \Delta = \left(-6\right)^2-4\left(1\right)\left(9\right)=0\) . Le polynôme admet donc une racine réelle double. D'après le cours, cette racine est \( x_0=-\dfrac{-6}{2\times1}=3\) . En conclusion, l'ensemble solution de l'équation \( E(x)=0\) est \[\boxed{\mathscr{S}=\left\{-3, 3\right\}}\]
    2. Considérons la forme développée de l'expression. \begin{eqnarray*} E(x)=x^3 & \Longleftrightarrow & x^3 -3x^2 -9x +27=x^3\\ & \Longleftrightarrow & -3x^2 -9x +27=0 \end{eqnarray*} Calculons le discriminant de ce polynôme : \( \Delta=\left(-9\right)^2-4\left(-3\right)\left(27\right)=405=\left(9\sqrt{5}\right)^2{>}0\) . Il existe donc deux racines simples : \[ x_1 =\dfrac{-\left(-9\right)+\sqrt{\left(9\sqrt{5}\right)^2}}{2\times\left(-3\right)} =\dfrac{9+9\sqrt{5}}{-6} =-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}\sqrt{5} \] \[ x_2 =\dfrac{-\left(-9\right)-\sqrt{\left(9\sqrt{5}\right)^2}}{2\times\left(-3\right)} =\dfrac{9-9\sqrt{5}}{-6} =-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}\sqrt{5} \] En conclusion l'ensemble solution de l'équation \( E(x)=x^3 \) est \[\boxed{\mathscr{S}=\left\{ -\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}\sqrt{5}, -\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}\sqrt{5}\right\}}\]
    3. Considérons la forme développée de l'expression. \begin{eqnarray*} E(x)=27 & \Longleftrightarrow & x^3 -3x^2 -9x +27 =27\\ & \Longleftrightarrow & x^3 -3x^2 -9x =0 \\ & \Longleftrightarrow & x\left( x^2 -3x -9 \right)=0 \end{eqnarray*} Il s'agit d'une équation au produit nul. Soit \( x=0\) , soit \( x^2 -3x -9=0\) . Calculons le discriminant de ce polynôme : \( \Delta=\left(-3\right)^2-4\left(\right)\left(-9\right) =45=\left(3\sqrt{5}\right)^2{>}0\) . Il existe donc deux racines simples : \[ x_1 =\dfrac{-\left(-3\right)+\sqrt{\left(3\sqrt{5}\right)^2}}{2\times\left(1\right)} =\dfrac{3+3\sqrt{5}}{2} =\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}\sqrt{5} \] \[ x_1 =\dfrac{-\left(-3\right)-\sqrt{\left(3\sqrt{5}\right)^2}}{2\times\left(1\right)} =\dfrac{3-3\sqrt{5}}{2} =\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}\sqrt{5} \] En conclusion, l'ensemble solution de l'équation \( E(x)=27\) est \[\boxed{\mathscr{S}=\left\{0, \dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}\sqrt{5}, \dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}\sqrt{5}\right\}}\]