\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Calculer les dérivées suivantes. Il n'est pas nécessaire de simplifier (factoriser etc) les expressions obtenues.
  1. $ f_{1}(x)=- x^{3} -\dfrac{65}{3} x^{2} +9 x +9$ .
  2. $ f_{2}(x)=7 x^{3} +\dfrac{51}{4} x^{2} -8 x -9$ .
  3. $ f_{3}(x)=\left(7 x^{3} +\dfrac{51}{4} x^{2} -8 x -9\right)^{181}$ .
  4. $ f_{4}(x)=\dfrac{1}{7 x^{3} +\dfrac{51}{4} x^{2} -8 x -9}$ .
  5. $ f_{5}(x)=\dfrac{1}{\left(7 x^{3} +\dfrac{51}{4} x^{2} -8 x -9\right)^{181}}$ .
  6. $ f_{6}(x)=\sqrt{7 x^{3} +\dfrac{51}{4} x^{2} -8 x -9}$ .
  7. $ f_{7}(x)=\left(- x^{3} -\dfrac{65}{3} x^{2} +9 x +9\right)\left(7 x^{3} +\dfrac{51}{4} x^{2} -8 x -9\right)$ .
  8. $ f_{8}(x)=\dfrac{- x^{3} -\dfrac{65}{3} x^{2} +9 x +9}{7 x^{3} +\dfrac{51}{4} x^{2} -8 x -9}$ .
  9. $ f_{9}(x)=\dfrac{7 x^{3} +\dfrac{51}{4} x^{2} -8 x -9}{\sqrt{- x^{3} -\dfrac{65}{3} x^{2} +9 x +9}}$ .
Cliquer ici pour afficher la solution
  1. $ f_{1}(x)=- x^{3} -\dfrac{65}{3} x^{2} +9 x +9$ . Il s'agit de dériver un polynôme.$$ f'_{1}(x)=-3 x^{2} -\dfrac{130}{3} x +9$$
  2. $ f_{2}(x)=7 x^{3} +\dfrac{51}{4} x^{2} -8 x -9$ . Il s'agit de dériver un polynôme.$$ f'_{2}(x)=21 x^{2} +\dfrac{51}{2} x -8$$
  3. $ f_{3}(x)=\left(7 x^{3} +\dfrac{51}{4} x^{2} -8 x -9\right)^{181}$ . La dérivé de $ u^n$ est $ n\times u'\times u^{n-1}$ .$$ f'_{3}(x)=\left(181\right)\left(21 x^{2} +\dfrac{51}{2} x -8\right)\left(7 x^{3} +\dfrac{51}{4} x^{2} -8 x -9\right)^{180}$$
  4. $ f_{4}(x)=\dfrac{1}{7 x^{3} +\dfrac{51}{4} x^{2} -8 x -9}$ . La dérivé de $ \dfrac{1}{u}$ est $ \dfrac{-u'}{u^2}$ .$$ f'_{4}(x)=\dfrac{-21 x^{2} -\dfrac{51}{2} x +8}{\left(7 x^{3} +\dfrac{51}{4} x^{2} -8 x -9\right)^{2}}$$
  5. $ f_{5}(x)=\dfrac{1}{\left(7 x^{3} +\dfrac{51}{4} x^{2} -8 x -9\right)^{181}}$ . La dérivé de $ \dfrac{1}{u^n}$ est $ -\dfrac{n\times u'}{u^{n+1}}$ .$$ f'_{5}(x)=\dfrac{-3801 x^{2} -\dfrac{9231}{2} x +1448}{\left(7 x^{3} +\dfrac{51}{4} x^{2} -8 x -9\right)^{182}}$$
  6. $ f_{6}(x)=\sqrt{7 x^{3} +\dfrac{51}{4} x^{2} -8 x -9}$ . La dérivé de $ \sqrt{u}$ est $ \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ .$$ f'_{6}(x)=\dfrac{21 x^{2} +\dfrac{51}{2} x -8}{\left(2\right)\sqrt{7 x^{3} +\dfrac{51}{4} x^{2} -8 x -9}}$$
  7. $ f_{7}(x)=\left(- x^{3} -\dfrac{65}{3} x^{2} +9 x +9\right)\left(7 x^{3} +\dfrac{51}{4} x^{2} -8 x -9\right)$ . La dérivé de $ uv$ est $ u'v+v'u$ .$$ f'_{7}(x)=-42 x^{5} -\dfrac{9865}{12} x^{4} -821 x^{3} +\dfrac{4321}{4} x^{2} +\dfrac{951}{2} x -153$$
  8. $ f_{8}(x)=\dfrac{- x^{3} -\dfrac{65}{3} x^{2} +9 x +9}{7 x^{3} +\dfrac{51}{4} x^{2} -8 x -9}$ . La dérivé de $ \dfrac{u}{v}$ est $ \dfrac{u'v-v'u}{v^2}$ .$$ f'_{8}(x)=\dfrac{\dfrac{1667}{12} x^{4} -110 x^{3} -\dfrac{1241}{12} x^{2} +\dfrac{321}{2} x -9}{\left(7 x^{3} +\dfrac{51}{4} x^{2} -8 x -9\right)^{2}}$$
  9. $ f_{9}(x)=\dfrac{7 x^{3} +\dfrac{51}{4} x^{2} -8 x -9}{\sqrt{- x^{3} -\dfrac{65}{3} x^{2} +9 x +9}}$ . Pour cette dérivé on melange la dérivation d'un quotient et celle d'une racine carré. On souffre en silence.$$ f'_{9}(x)=\dfrac{\left(21 x^{2} +\dfrac{51}{2} x -8\right)\sqrt{- x^{3} -\dfrac{65}{3} x^{2} +9 x +9}+\dfrac{21 x^{5} +\dfrac{4099}{12} x^{4} +\dfrac{931}{2} x^{3} -\dfrac{5861}{12} x^{2} -318 x +81}{\left(2\right)\sqrt{- x^{3} -\dfrac{65}{3} x^{2} +9 x +9}}}{\sqrt{- x^{3} -\dfrac{65}{3} x^{2} +9 x +9}^{2}}$$