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Exercice
Calculer les dérivées suivantes. Il n'est pas nécessaire de simplifier (factoriser etc) les expressions obtenues.
- \( f_{1}(x)=8 x^{2} +4 x -\dfrac{31}{9}\) .
- \( f_{2}(x)=\dfrac{31}{8} x^{2} +\dfrac{11}{9} x -2\) .
- \( f_{3}(x)=\left(\dfrac{31}{8} x^{2} +\dfrac{11}{9} x -2\right)^{545}\) .
- \( f_{4}(x)=\dfrac{1}{8 x^{2} +4 x -\dfrac{31}{9}}\) .
- \( f_{5}(x)=\dfrac{1}{\left(8 x^{2} +4 x -\dfrac{31}{9}\right)^{545}}\) .
- \( f_{6}(x)=\sqrt{8 x^{2} +4 x -\dfrac{31}{9}}\) .
- \( f_{7}(x)=\left(8 x^{2} +4 x -\dfrac{31}{9}\right)\left(\dfrac{31}{8} x^{2} +\dfrac{11}{9} x -2\right)\) .
- \( f_{8}(x)=\dfrac{8 x^{2} +4 x -\dfrac{31}{9}}{\dfrac{31}{8} x^{2} +\dfrac{11}{9} x -2}\) .
- \( f_{9}(x)=\dfrac{\dfrac{31}{8} x^{2} +\dfrac{11}{9} x -2}{\sqrt{8 x^{2} +4 x -\dfrac{31}{9}}}\) .
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Exercice
- \( f_{1}(x)=8 x^{2} +4 x -\dfrac{31}{9}\) . Il s'agit de dériver un polynôme.\[ f'_{1}(x)=16 x +4\]
- \( f_{2}(x)=\dfrac{31}{8} x^{2} +\dfrac{11}{9} x -2\) . Il s'agit de dériver un polynôme.\[ f'_{2}(x)=\dfrac{31}{4} x +\dfrac{11}{9}\]
- \( f_{3}(x)=\left(\dfrac{31}{8} x^{2} +\dfrac{11}{9} x -2\right)^{545}\) . La dérivé de \( u^n\) est \( n\times u'\times u^{n-1}\) .\[ f'_{3}(x)=\left(545\right)\left(\dfrac{31}{4} x +\dfrac{11}{9}\right)\left(\dfrac{31}{8} x^{2} +\dfrac{11}{9} x -2\right)^{544}\]
- \( f_{4}(x)=\dfrac{1}{8 x^{2} +4 x -\dfrac{31}{9}}\) . La dérivé de \( \dfrac{1}{u}\) est \( \dfrac{-u'}{u^2}\) .\[ f'_{4}(x)=\dfrac{-16 x -4}{\left(8 x^{2} +4 x -\dfrac{31}{9}\right)^{2}}\]
- \( f_{5}(x)=\dfrac{1}{\left(8 x^{2} +4 x -\dfrac{31}{9}\right)^{545}}\) . La dérivé de \( \dfrac{1}{u^n}\) est \( -\dfrac{n\times u'}{u^{n+1}}\) .\[ f'_{5}(x)=\dfrac{-8720 x -2180}{\left(8 x^{2} +4 x -\dfrac{31}{9}\right)^{546}}\]
- \( f_{6}(x)=\sqrt{8 x^{2} +4 x -\dfrac{31}{9}}\) . La dérivé de \( \sqrt{u}\) est \( \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) .\[ f'_{6}(x)=\dfrac{16 x +4}{\left(2\right)\sqrt{8 x^{2} +4 x -\dfrac{31}{9}}}\]
- \( f_{7}(x)=\left(8 x^{2} +4 x -\dfrac{31}{9}\right)\left(\dfrac{31}{8} x^{2} +\dfrac{11}{9} x -2\right)\) . La dérivé de \( uv\) est \( u'v+v'u\) .\[ f'_{7}(x)=124 x^{3} +\dfrac{455}{6} x^{2} -\dfrac{587}{12} x -\dfrac{989}{81}\]
- \( f_{8}(x)=\dfrac{8 x^{2} +4 x -\dfrac{31}{9}}{\dfrac{31}{8} x^{2} +\dfrac{11}{9} x -2}\) . La dérivé de \( \dfrac{u}{v}\) est \( \dfrac{u'v-v'u}{v^2}\) .\[ f'_{8}(x)=\dfrac{-\dfrac{103}{18} x^{2} -\dfrac{191}{36} x -\dfrac{307}{81}}{\left(\dfrac{31}{8} x^{2} +\dfrac{11}{9} x -2\right)^{2}}\]
- \( f_{9}(x)=\dfrac{\dfrac{31}{8} x^{2} +\dfrac{11}{9} x -2}{\sqrt{8 x^{2} +4 x -\dfrac{31}{9}}}\) . Pour cette dérivé on melange la dérivation d'un quotient et celle d'une racine carré. On souffre en silence.\[ f'_{9}(x)=\dfrac{\left(\dfrac{31}{4} x +\dfrac{11}{9}\right)\sqrt{8 x^{2} +4 x -\dfrac{31}{9}}+\dfrac{-62 x^{3} -\dfrac{631}{18} x^{2} +\dfrac{244}{9} x +8}{\left(2\right)\sqrt{8 x^{2} +4 x -\dfrac{31}{9}}}}{\sqrt{8 x^{2} +4 x -\dfrac{31}{9}}^{2}}\]