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Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 73\) modulo \( 2526\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}523 & 1227 & 2361 \\ 189 & 2470 & 73 \\ 598 & 2045 & 615\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 2526\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
A cette fin, on pourra considérer le produit de la matrice \( A\) par la matrice \( B =\begin{pmatrix}1369765 & 4073640 & -5742099 \\ -72581 & -1090233 & 408050 \\ -1090555 & -335789 & 1059907\end{pmatrix}\) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 2 de clef \( A \) : \[1178-924-1896-1635-107-1108\]
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Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
2526 & 73 & 44 & 34&5 & -173 \\ \hline
73 & 44 & 29 & 1&-3 & 5 \\ \hline
44 & 29 & 15 & 1&2 & -3 \\ \hline
29 & 15 & 14 & 1&-1 & 2 \\ \hline
15 & 14 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
14 & 1 & 0 & 14&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 73\) est \( 2353\) .
- D'après le cours \( det(A)= -1947470147\equiv_{2526}73\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 2526\) .
- Réalisation le produit suggéré par l'énoncé :
\begin{eqnarray*}
A\times B
&=& \begin{pmatrix}523 & 1227 & 2361 \\ 189 & 2470 & 73 \\ 598 & 2045 & 615\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1369765 & 4073640 & -5742099 \\ -72581 & -1090233 & 408050 \\ -1090555 & -335789 & 1059907\end{pmatrix}\\
&=& \begin{pmatrix}-1947470147 & 0 & 0 \\ 0 & -1947470147 & 0 \\ 0 & 0 & -1947470147\end{pmatrix}\\
&=&-1947470147\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\
&\equiv_{2526}&73\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
Ainsi \( A\times B\equiv_{2526}73Id_{3}\) . Puisque \( 2353\) est l'inverse de \( 73\) modulo \( 2526\) , on en déduit que \( A\times (2353B)\equiv_{2526} Id_{3}\) et donc que \( 2353B\equiv_{2526}A^{-1}\) . En conclusion :
\[ A^{-1}\equiv_{2526}2353\begin{pmatrix}1369765 & 4073640 & -5742099 \\ -72581 & -1090233 & 408050 \\ -1090555 & -335789 & 1059907\end{pmatrix}\equiv_{2526}\begin{pmatrix}2293 & 1650 & -1737 \\ -233 & -1059 & 1472 \\ -925 & -1451 & 955\end{pmatrix}\]
- \[\begin{array}{r|*{6}{|c}} Cryptogramme & 1178 & 924 & 1896 & 1635 & 107 & 1108\\\hline Vecteurs & &&{ \begin{pmatrix}1178 \\ 924 \\ 1896\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}1635 \\ 107 \\ 1108\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}2293 & 1650 & -1737 \\ -233 & -1059 & 1472 \\ -925 & -1451 & 955\end{pmatrix} & &&{ \begin{pmatrix}932402 \\ 1537922 \\ -619694\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}2001009 \\ 1136708 \\ -609492\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{2526} & &&{ \begin{pmatrix}308 \\ 2114 \\ 1702\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}417 \\ 8 \\ 1800\end{pmatrix} }\\\hline & 308 & 2114 & 1702 & 417 & 8 & 1800\\\hline Message & DI & VO & RC & ER & AI & SA\end{array}\]Le message claire est \( DIVORCERAISA \) .