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Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 1277\) modulo \( 2526\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}1555 & 1534 & 1279 \\ 524 & 631 & 1676 \\ 790 & 972 & 2381\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 2526\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
A cette fin, on pourra considérer le produit de la matrice \( A\) par la matrice \( B =\begin{pmatrix}-126661 & -2409266 & 1763935 \\ 76396 & 2692045 & -1935984 \\ 10838 & -299600 & 177389\end{pmatrix}\) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 2 de clef \( A \) : \[416-1268-1184-192-1002-2388\]
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Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
2526 & 1277 & 1249 & 1&228 & -451 \\ \hline
1277 & 1249 & 28 & 1&-223 & 228 \\ \hline
1249 & 28 & 17 & 44&5 & -223 \\ \hline
28 & 17 & 11 & 1&-3 & 5 \\ \hline
17 & 11 & 6 & 1&2 & -3 \\ \hline
11 & 6 & 5 & 1&-1 & 2 \\ \hline
6 & 5 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
5 & 1 & 0 & 5&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 1277\) est \( 2075\) .
- D'après le cours \( det(A)= -65904589\equiv_{2526}1277\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 2526\) .
- Réalisation le produit suggéré par l'énoncé :
\begin{eqnarray*}
A\times B
&=& \begin{pmatrix}1555 & 1534 & 1279 \\ 524 & 631 & 1676 \\ 790 & 972 & 2381\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-126661 & -2409266 & 1763935 \\ 76396 & 2692045 & -1935984 \\ 10838 & -299600 & 177389\end{pmatrix}\\
&=& \begin{pmatrix}-65904589 & 0 & 0 \\ 0 & -65904589 & 0 \\ 0 & 0 & -65904589\end{pmatrix}\\
&=&-65904589\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\
&\equiv_{2526}&1277\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
Ainsi \( A\times B\equiv_{2526}1277Id_{3}\) . Puisque \( 2075\) est l'inverse de \( 1277\) modulo \( 2526\) , on en déduit que \( A\times (2075B)\equiv_{2526} Id_{3}\) et donc que \( 2075B\equiv_{2526}A^{-1}\) . En conclusion :
\[ A^{-1}\equiv_{2526}2075\begin{pmatrix}-126661 & -2409266 & 1763935 \\ 76396 & 2692045 & -1935984 \\ 10838 & -299600 & 177389\end{pmatrix}\equiv_{2526}\begin{pmatrix}-1379 & -142 & 1229 \\ 44 & 2027 & -798 \\ 2398 & -1192 & 1033\end{pmatrix}\]
- \[\begin{array}{r|*{6}{|c}} Cryptogramme & 416 & 1268 & 1184 & 192 & 1002 & 2388\\\hline Vecteurs & &&{ \begin{pmatrix}416 \\ 1268 \\ 1184\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}192 \\ 1002 \\ 2388\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}-1379 & -142 & 1229 \\ 44 & 2027 & -798 \\ 2398 & -1192 & 1033\end{pmatrix} & &&{ \begin{pmatrix}701416 \\ 1643708 \\ 709184\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}2527800 \\ 133878 \\ 1732836\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{2526} & &&{ \begin{pmatrix}1714 \\ 1808 \\ 1904\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}1800 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 1714 & 1808 & 1904 & 1800 & 0 & 0\\\hline Message & RO & SI & TE & SA & AA & AA\end{array}\]Le message claire est \( ROSITESAAAAA \) .