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Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 1499\) modulo \( 2526\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}940 & 1381 & 2229 \\ 1057 & 2079 & 376 \\ 2409 & 1187 & 371\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 2526\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
A cette fin, on pourra considérer le produit de la matrice \( A\) par la matrice \( B =\begin{pmatrix}324997 & 2133472 & -4114835 \\ 513637 & -5020921 & 2002613 \\ -3753652 & 2211049 & 494543\end{pmatrix}\) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 2 de clef \( A \) : \[2284-1910-2175-1368-501-867\]
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Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
2526 & 1499 & 1027 & 1&289 & -487 \\ \hline
1499 & 1027 & 472 & 1&-198 & 289 \\ \hline
1027 & 472 & 83 & 2&91 & -198 \\ \hline
472 & 83 & 57 & 5&-16 & 91 \\ \hline
83 & 57 & 26 & 1&11 & -16 \\ \hline
57 & 26 & 5 & 2&-5 & 11 \\ \hline
26 & 5 & 1 & 5&1 & -5 \\ \hline
5 & 1 & 0 & 5&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 1499\) est \( 2039\) .
- D'après le cours \( det(A)= -7352060431\equiv_{2526}1499\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 2526\) .
- Réalisation le produit suggéré par l'énoncé :
\begin{eqnarray*}
A\times B
&=& \begin{pmatrix}940 & 1381 & 2229 \\ 1057 & 2079 & 376 \\ 2409 & 1187 & 371\end{pmatrix}\begin{pmatrix}324997 & 2133472 & -4114835 \\ 513637 & -5020921 & 2002613 \\ -3753652 & 2211049 & 494543\end{pmatrix}\\
&=& \begin{pmatrix}-7352060431 & 0 & 0 \\ 0 & -7352060431 & 0 \\ 0 & 0 & -7352060431\end{pmatrix}\\
&=&-7352060431\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\
&\equiv_{2526}&1499\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
Ainsi \( A\times B\equiv_{2526}1499Id_{3}\) . Puisque \( 2039\) est l'inverse de \( 1499\) modulo \( 2526\) , on en déduit que \( A\times (2039B)\equiv_{2526} Id_{3}\) et donc que \( 2039B\equiv_{2526}A^{-1}\) . En conclusion :
\[ A^{-1}\equiv_{2526}2039\begin{pmatrix}324997 & 2133472 & -4114835 \\ 513637 & -5020921 & 2002613 \\ -3753652 & 2211049 & 494543\end{pmatrix}\equiv_{2526}\begin{pmatrix}569 & 1034 & -1675 \\ 983 & -2207 & 913 \\ -2312 & 2417 & 1555\end{pmatrix}\]
- \[\begin{array}{r|*{6}{|c}} Cryptogramme & 2284 & 1910 & 2175 & 1368 & 501 & 867\\\hline Vecteurs & &&{ \begin{pmatrix}2284 \\ 1910 \\ 2175\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}1368 \\ 501 \\ 867\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}569 & 1034 & -1675 \\ 983 & -2207 & 913 \\ -2312 & 2417 & 1555\end{pmatrix} & &&{ \begin{pmatrix}-368589 \\ 15577 \\ 2717987\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}-155799 \\ 1030608 \\ -603714\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{2526} & &&{ \begin{pmatrix}207 \\ 421 \\ 11\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}813 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 207 & 421 & 11 & 813 & 0 & 0\\\hline Message & CH & EV & AL & IN & AA & AA\end{array}\]Le message claire est \( CHEVALINAAAA \) .