Ataraxy

\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Exercice

Calculer l'inverse modulaire de $ 529$ modulo $ 2526$ .
Calculer le déterminant de la matrice $ A = \begin{pmatrix}666 & 2029 & 1522 \\ 863 & 82 & 664 \\ 2048 & 982 & 5\end{pmatrix}$ .
Expliquer pourquoi la matrice $ A $ est inversible modulo $ 2526$ .
Déterminer l'inverse de la matrice $ A $ . A cette fin, on pourra considérer le produit de la matrice $ A$ par la matrice $ B =\begin{pmatrix}-651638 & 1484459 & 1222452 \\ 1355557 & -3113726 & 871262 \\ 679530 & 3501380 & -1696415\end{pmatrix}$ .
Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 2 de clef $ A $ : \[1994-928-920-2142-2344-1174\]

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Exercice

\[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline a&b&r&q&u&v \\ \hline 2526 & 529 & 410 & 4&40 & -191 \\ \hline 529 & 410 & 119 & 1&-31 & 40 \\ \hline 410 & 119 & 53 & 3&9 & -31 \\ \hline 119 & 53 & 13 & 2&-4 & 9 \\ \hline 53 & 13 & 1 & 4&1 & -4 \\ \hline 13 & 1 & 0 & 13&0 & 1 \\ \hline \end{array}\] L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de $ 529$ est $ 2335$ .
D'après le cours $ det(A)= 3350678905\equiv_{2526}529$ .
La matrice $ A $ est inversible car le déterminant est inversible modulo $ 2526$ .
Réalisation le produit suggéré par l'énoncé : \begin{eqnarray*} A\times B &=& \begin{pmatrix}666 & 2029 & 1522 \\ 863 & 82 & 664 \\ 2048 & 982 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-651638 & 1484459 & 1222452 \\ 1355557 & -3113726 & 871262 \\ 679530 & 3501380 & -1696415\end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix}3350678905 & 0 & 0 \\ 0 & 3350678905 & 0 \\ 0 & 0 & 3350678905\end{pmatrix}\\ &=&3350678905\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\ &\equiv_{2526}&529\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*} Ainsi $ A\times B\equiv_{2526}529Id_{3}$ . Puisque $ 2335$ est l'inverse de $ 529$ modulo $ 2526$ , on en déduit que $ A\times (2335B)\equiv_{2526} Id_{3}$ et donc que $ 2335B\equiv_{2526}A^{-1}$ . En conclusion : \[ A^{-1}\equiv_{2526}2335\begin{pmatrix}-651638 & 1484459 & 1222452 \\ 1355557 & -3113726 & 871262 \\ 679530 & 3501380 & -1696415\end{pmatrix}\equiv_{2526}\begin{pmatrix}-740 & 1727 & 2478 \\ 1087 & -2300 & 1838 \\ 702 & 2498 & -2333\end{pmatrix}\]
\[\begin{array}{r|*{6}{|c}} Cryptogramme & 1994 & 928 & 920 & 2142 & 2344 & 1174\\\hline Vecteurs & &&{ \begin{pmatrix}1994 \\ 928 \\ 920\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}2142 \\ 2344 \\ 1174\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}-740 & 1727 & 2478 \\ 1087 & -2300 & 1838 \\ 702 & 2498 & -2333\end{pmatrix} & &&{ \begin{pmatrix}2406856 \\ 1724038 \\ 1571572\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}5372180 \\ -905034 \\ 4620054\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{2526} & &&{ \begin{pmatrix}2104 \\ 1306 \\ 400\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}1904 \\ 1800 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 2104 & 1306 & 400 & 1904 & 1800 & 0\\\hline Message & VE & NG & EA & TE & SA & AA\end{array}\]Le message claire est $ VENGEATESAAA $ .