\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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  1. Calculer l'inverse modulaire de $ 2327$ modulo $ 2526$ .
  2. Calculer le déterminant de la matrice $ A = \begin{pmatrix}805 & 2209 & 1210 \\ 979 & 1546 & 435 \\ 1030 & 1116 & 2305\end{pmatrix}$ .
  3. Expliquer pourquoi la matrice $ A $ est inversible modulo $ 2526$ .
  4. Déterminer l'inverse de la matrice $ A $ . A cette fin, on pourra considérer le produit de la matrice $ A$ par la matrice $ B =\begin{pmatrix}3078070 & -3741385 & -909745 \\ -1808545 & 609225 & 834415 \\ -499816 & 1376890 & -918081\end{pmatrix}$ .
  5. Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 2 de clef $ A $ : $$1774-961-1669-165-473-1056$$
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  1. $$\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline a&b&r&q&u&v \\ \hline 2526 & 2327 & 199 & 1&725 & -787 \\ \hline 2327 & 199 & 138 & 11&-62 & 725 \\ \hline 199 & 138 & 61 & 1&43 & -62 \\ \hline 138 & 61 & 16 & 2&-19 & 43 \\ \hline 61 & 16 & 13 & 3&5 & -19 \\ \hline 16 & 13 & 3 & 1&-4 & 5 \\ \hline 13 & 3 & 1 & 4&1 & -4 \\ \hline 3 & 1 & 0 & 3&0 & 1 \\ \hline \end{array}$$ L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de $ 2327$ est $ 1739$ .
  2. D'après le cours $ det(A)= -2122006915\equiv_{2526}2327$ .
  3. La matrice $ A $ est inversible car le déterminant est inversible modulo $ 2526$ .
  4. Réalisation le produit suggéré par l'énoncé : \begin{eqnarray*} A\times B &=& \begin{pmatrix}805 & 2209 & 1210 \\ 979 & 1546 & 435 \\ 1030 & 1116 & 2305\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3078070 & -3741385 & -909745 \\ -1808545 & 609225 & 834415 \\ -499816 & 1376890 & -918081\end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix}-2122006915 & 0 & 0 \\ 0 & -2122006915 & 0 \\ 0 & 0 & -2122006915\end{pmatrix}\\ &=&-2122006915\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\ &\equiv_{2526}&2327\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*} Ainsi $ A\times B\equiv_{2526}2327Id_{3}$ . Puisque $ 1739$ est l'inverse de $ 2327$ modulo $ 2526$ , on en déduit que $ A\times (1739B)\equiv_{2526} Id_{3}$ et donc que $ 1739B\equiv_{2526}A^{-1}$ . En conclusion : $$ A^{-1}\equiv_{2526}1739\begin{pmatrix}3078070 & -3741385 & -909745 \\ -1808545 & 609225 & 834415 \\ -499816 & 1376890 & -918081\end{pmatrix}\equiv_{2526}\begin{pmatrix}488 & -2321 & -125 \\ -305 & 2511 & 2141 \\ -1106 & 1154 & -2241\end{pmatrix}$$
  5. $$\begin{array}{r|*{6}{|c}} Cryptogramme & 1774 & 961 & 1669 & 165 & 473 & 1056\\\hline Vecteurs & &&{ \begin{pmatrix}1774 \\ 961 \\ 1669\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}165 \\ 473 \\ 1056\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}488 & -2321 & -125 \\ -305 & 2511 & 2141 \\ -1106 & 1154 & -2241\end{pmatrix} & &&{ \begin{pmatrix}-1573394 \\ 5445330 \\ -4593279\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}-1149313 \\ 3398274 \\ -2003144\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{2526} & &&{ \begin{pmatrix}304 \\ 1800 \\ 1515\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}17 \\ 804 \\ 2500\end{pmatrix} }\\\hline & 304 & 1800 & 1515 & 17 & 804 & 2500\\\hline Message & DE & SA & PP & AR & IE & ZA\end{array}$$Le message claire est $ DESAPPARIEZA $ .