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Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 1151\) modulo \( 2526\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}1987 & 2501 & 1763 \\ 1461 & 2102 & 1087 \\ 871 & 955 & 1696\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 2526\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
A cette fin, on pourra considérer le produit de la matrice \( A\) par la matrice \( B =\begin{pmatrix}2526907 & -2558031 & -987239 \\ -1531079 & 1834379 & 415874 \\ -435587 & 280786 & 522713\end{pmatrix}\) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 2 de clef \( A \) : \[1800-850-1474-1391-2247-2045\]
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Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
2526 & 1151 & 224 & 2&334 & -733 \\ \hline
1151 & 224 & 31 & 5&-65 & 334 \\ \hline
224 & 31 & 7 & 7&9 & -65 \\ \hline
31 & 7 & 3 & 4&-2 & 9 \\ \hline
7 & 3 & 1 & 2&1 & -2 \\ \hline
3 & 1 & 0 & 3&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 1151\) est \( 1793\) .
- D'après le cours \( det(A)= 423795749\equiv_{2526}1151\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 2526\) .
- Réalisation le produit suggéré par l'énoncé :
\begin{eqnarray*}
A\times B
&=& \begin{pmatrix}1987 & 2501 & 1763 \\ 1461 & 2102 & 1087 \\ 871 & 955 & 1696\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2526907 & -2558031 & -987239 \\ -1531079 & 1834379 & 415874 \\ -435587 & 280786 & 522713\end{pmatrix}\\
&=& \begin{pmatrix}423795749 & 0 & 0 \\ 0 & 423795749 & 0 \\ 0 & 0 & 423795749\end{pmatrix}\\
&=&423795749\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\
&\equiv_{2526}&1151\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
Ainsi \( A\times B\equiv_{2526}1151Id_{3}\) . Puisque \( 1793\) est l'inverse de \( 1151\) modulo \( 2526\) , on en déduit que \( A\times (1793B)\equiv_{2526} Id_{3}\) et donc que \( 1793B\equiv_{2526}A^{-1}\) . En conclusion :
\[ A^{-1}\equiv_{2526}1793\begin{pmatrix}2526907 & -2558031 & -987239 \\ -1531079 & 1834379 & 415874 \\ -435587 & 280786 & 522713\end{pmatrix}\equiv_{2526}\begin{pmatrix}2033 & -447 & -2293 \\ -685 & 97 & 2038 \\ -1129 & 2342 & 103\end{pmatrix}\]
- \[\begin{array}{r|*{6}{|c}} Cryptogramme & 1800 & 850 & 1474 & 1391 & 2247 & 2045\\\hline Vecteurs & &&{ \begin{pmatrix}1800 \\ 850 \\ 1474\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}1391 \\ 2247 \\ 2045\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}2033 & -447 & -2293 \\ -685 & 97 & 2038 \\ -1129 & 2342 & 103\end{pmatrix} & &&{ \begin{pmatrix}-100432 \\ 1853462 \\ 110322\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}-2865691 \\ 3432834 \\ 3902670\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{2526} & &&{ \begin{pmatrix}608 \\ 1904 \\ 1704\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}1319 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 608 & 1904 & 1704 & 1319 & 0 & 0\\\hline Message & GI & TE & RE & NT & AA & AA\end{array}\]Le message claire est \( GITERENTAAAA \) .