Ataraxy

\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Calculer l'inverse modulaire de $ 2489$ modulo $ 2526$ .
Calculer le déterminant de la matrice $ A = \begin{pmatrix}1232 & 1509 & 30 \\ 1261 & 2387 & 690 \\ 691 & 2113 & 911\end{pmatrix}$ .
Expliquer pourquoi la matrice $ A $ est inversible modulo $ 2526$ .
Déterminer l'inverse de la matrice $ A $ . A cette fin, on pourra considérer le produit de la matrice $ A$ par la matrice $ B =\begin{pmatrix}716587 & -1311309 & 969600 \\ -671981 & 1101622 & -812250 \\ 1015076 & -1560497 & 1037935\end{pmatrix}$ .
Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 2 de clef $ A $ : \[2144-1384-2522\]

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\[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline a&b&r&q&u&v \\ \hline 2526 & 2489 & 37 & 1&740 & -751 \\ \hline 2489 & 37 & 10 & 67&-11 & 740 \\ \hline 37 & 10 & 7 & 3&3 & -11 \\ \hline 10 & 7 & 3 & 1&-2 & 3 \\ \hline 7 & 3 & 1 & 2&1 & -2 \\ \hline 3 & 1 & 0 & 3&0 & 1 \\ \hline \end{array}\] L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de $ 2489$ est $ 1775$ .
D'après le cours $ det(A)= -100731865\equiv_{2526}2489$ .
La matrice $ A $ est inversible car le déterminant est inversible modulo $ 2526$ .
Réalisation le produit suggéré par l'énoncé : \begin{eqnarray*} A\times B &=& \begin{pmatrix}1232 & 1509 & 30 \\ 1261 & 2387 & 690 \\ 691 & 2113 & 911\end{pmatrix}\begin{pmatrix}716587 & -1311309 & 969600 \\ -671981 & 1101622 & -812250 \\ 1015076 & -1560497 & 1037935\end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix}-100731865 & 0 & 0 \\ 0 & -100731865 & 0 \\ 0 & 0 & -100731865\end{pmatrix}\\ &=&-100731865\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\ &\equiv_{2526}&2489\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*} Ainsi $ A\times B\equiv_{2526}2489Id_{3}$ . Puisque $ 1775$ est l'inverse de $ 2489$ modulo $ 2526$ , on en déduit que $ A\times (1775B)\equiv_{2526} Id_{3}$ et donc que $ 1775B\equiv_{2526}A^{-1}$ . En conclusion : \[ A^{-1}\equiv_{2526}1775\begin{pmatrix}716587 & -1311309 & 969600 \\ -671981 & 1101622 & -812250 \\ 1015076 & -1560497 & 1037935\end{pmatrix}\equiv_{2526}\begin{pmatrix}2411 & -879 & 420 \\ -1705 & 2450 & -1464 \\ 1990 & -1927 & 1577\end{pmatrix}\]
\[\begin{array}{r|*{3}{|c}} Cryptogramme & 2144 & 1384 & 2522\\\hline Vecteurs & &&{ \begin{pmatrix}2144 \\ 1384 \\ 2522\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}2411 & -879 & 420 \\ -1705 & 2450 & -1464 \\ 1990 & -1927 & 1577\end{pmatrix} & &&{ \begin{pmatrix}5011888 \\ -3956928 \\ 5576786\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{2526} & &&{ \begin{pmatrix}304 \\ 1314 \\ 1904\end{pmatrix} }\\\hline & 304 & 1314 & 1904\\\hline Message & DE & NO & TE\end{array}\]Le message claire est $ DENOTE $ .