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Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 173\) modulo \( 2526\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}2351 & 816 & 432 \\ 1422 & 1804 & 807 \\ 814 & 2149 & 1336\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 2526\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
A cette fin, on pourra considérer le produit de la matrice \( A\) par la matrice \( B =\begin{pmatrix}675901 & -161808 & -120816 \\ -1242894 & 2789288 & -1282953 \\ 1587422 & -4388075 & 3080852\end{pmatrix}\) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 2 de clef \( A \) : \[1914-478-1911-568-18-2078\]
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Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
2526 & 173 & 104 & 14&5 & -73 \\ \hline
173 & 104 & 69 & 1&-3 & 5 \\ \hline
104 & 69 & 35 & 1&2 & -3 \\ \hline
69 & 35 & 34 & 1&-1 & 2 \\ \hline
35 & 34 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
34 & 1 & 0 & 34&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 173\) est \( 2453\) .
- D'après le cours \( det(A)= 1260608051\equiv_{2526}173\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 2526\) .
- Réalisation le produit suggéré par l'énoncé :
\begin{eqnarray*}
A\times B
&=& \begin{pmatrix}2351 & 816 & 432 \\ 1422 & 1804 & 807 \\ 814 & 2149 & 1336\end{pmatrix}\begin{pmatrix}675901 & -161808 & -120816 \\ -1242894 & 2789288 & -1282953 \\ 1587422 & -4388075 & 3080852\end{pmatrix}\\
&=& \begin{pmatrix}1260608051 & 0 & 0 \\ 0 & 1260608051 & 0 \\ 0 & 0 & 1260608051\end{pmatrix}\\
&=&1260608051\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\
&\equiv_{2526}&173\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
Ainsi \( A\times B\equiv_{2526}173Id_{3}\) . Puisque \( 2453\) est l'inverse de \( 173\) modulo \( 2526\) , on en déduit que \( A\times (2453B)\equiv_{2526} Id_{3}\) et donc que \( 2453B\equiv_{2526}A^{-1}\) . En conclusion :
\[ A^{-1}\equiv_{2526}2453\begin{pmatrix}675901 & -161808 & -120816 \\ -1242894 & 2789288 & -1282953 \\ 1587422 & -4388075 & 3080852\end{pmatrix}\equiv_{2526}\begin{pmatrix}2111 & -2118 & -1224 \\ -132 & 310 & -933 \\ 970 & -163 & 214\end{pmatrix}\]
- \[\begin{array}{r|*{6}{|c}} Cryptogramme & 1914 & 478 & 1911 & 568 & 18 & 2078\\\hline Vecteurs & &&{ \begin{pmatrix}1914 \\ 478 \\ 1911\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}568 \\ 18 \\ 2078\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}2111 & -2118 & -1224 \\ -132 & 310 & -933 \\ 970 & -163 & 214\end{pmatrix} & &&{ \begin{pmatrix}688986 \\ -1887431 \\ 2187620\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}-1382548 \\ -2008170 \\ 992718\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{2526} & &&{ \begin{pmatrix}1914 \\ 2017 \\ 104\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}1700 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 1914 & 2017 & 104 & 1700 & 0 & 0\\\hline Message & TO & UR & BE & RA & AA & AA\end{array}\]Le message claire est \( TOURBERAAAAA \) .