Ataraxy

\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Exercice

Calculer l'inverse modulaire de $ 1511$ modulo $ 2526$ .
Calculer le déterminant de la matrice $ A = \begin{pmatrix}995 & 1805 & 1185 \\ 769 & 764 & 406 \\ 1935 & 1456 & 1133\end{pmatrix}$ .
Expliquer pourquoi la matrice $ A $ est inversible modulo $ 2526$ .
Déterminer l'inverse de la matrice $ A $ . A cette fin, on pourra considérer le produit de la matrice $ A$ par la matrice $ B =\begin{pmatrix}274476 & -319705 & -172510 \\ -85667 & -1165640 & 507295 \\ -358676 & 2043955 & -627865\end{pmatrix}$ .
Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 2 de clef $ A $ : \[1900-2178-1558-2461-931-119\]

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Exercice

\[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline a&b&r&q&u&v \\ \hline 2526 & 1511 & 1015 & 1&460 & -769 \\ \hline 1511 & 1015 & 496 & 1&-309 & 460 \\ \hline 1015 & 496 & 23 & 2&151 & -309 \\ \hline 496 & 23 & 13 & 21&-7 & 151 \\ \hline 23 & 13 & 10 & 1&4 & -7 \\ \hline 13 & 10 & 3 & 1&-3 & 4 \\ \hline 10 & 3 & 1 & 3&1 & -3 \\ \hline 3 & 1 & 0 & 3&0 & 1 \\ \hline \end{array}\] L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de $ 1511$ est $ 1757$ .
D'après le cours $ det(A)= -306556375\equiv_{2526}1511$ .
La matrice $ A $ est inversible car le déterminant est inversible modulo $ 2526$ .
Réalisation le produit suggéré par l'énoncé : \begin{eqnarray*} A\times B &=& \begin{pmatrix}995 & 1805 & 1185 \\ 769 & 764 & 406 \\ 1935 & 1456 & 1133\end{pmatrix}\begin{pmatrix}274476 & -319705 & -172510 \\ -85667 & -1165640 & 507295 \\ -358676 & 2043955 & -627865\end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix}-306556375 & 0 & 0 \\ 0 & -306556375 & 0 \\ 0 & 0 & -306556375\end{pmatrix}\\ &=&-306556375\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\ &\equiv_{2526}&1511\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*} Ainsi $ A\times B\equiv_{2526}1511Id_{3}$ . Puisque $ 1757$ est l'inverse de $ 1511$ modulo $ 2526$ , on en déduit que $ A\times (1757B)\equiv_{2526} Id_{3}$ et donc que $ 1757B\equiv_{2526}A^{-1}$ . En conclusion : \[ A^{-1}\equiv_{2526}1757\begin{pmatrix}274476 & -319705 & -172510 \\ -85667 & -1165640 & 507295 \\ -358676 & 2043955 & -627865\end{pmatrix}\equiv_{2526}\begin{pmatrix}516 & -2435 & -278 \\ -157 & -1726 & 533 \\ -2200 & 2105 & -1559\end{pmatrix}\]
\[\begin{array}{r|*{6}{|c}} Cryptogramme & 1900 & 2178 & 1558 & 2461 & 931 & 119\\\hline Vecteurs & &&{ \begin{pmatrix}1900 \\ 2178 \\ 1558\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}2461 \\ 931 \\ 119\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}516 & -2435 & -278 \\ -157 & -1726 & 533 \\ -2200 & 2105 & -1559\end{pmatrix} & &&{ \begin{pmatrix}-4756154 \\ -3227114 \\ -2024232\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}-1030191 \\ -1929856 \\ -3639966\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{2526} & &&{ \begin{pmatrix}304 \\ 1114 \\ 1620\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}417 \\ 8 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 304 & 1114 & 1620 & 417 & 8 & 0\\\hline Message & DE & LO & QU & ER & AI & AA\end{array}\]Le message claire est $ DELOQUERAIAA $ .