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Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 1771\) modulo \( 2526\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}1661 & 1477 & 117 \\ 1050 & 873 & 188 \\ 1496 & 1929 & 1791\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 2526\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
A cette fin, on pourra considérer le produit de la matrice \( A\) par la matrice \( B =\begin{pmatrix}1200891 & -2419614 & 175535 \\ -1599302 & 2799819 & -189418 \\ 719442 & -994477 & -100797\end{pmatrix}\) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 2 de clef \( A \) : \[2096-388-612-1087-1722-1284\]
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Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
2526 & 1771 & 755 & 1&-190 & 271 \\ \hline
1771 & 755 & 261 & 2&81 & -190 \\ \hline
755 & 261 & 233 & 2&-28 & 81 \\ \hline
261 & 233 & 28 & 1&25 & -28 \\ \hline
233 & 28 & 9 & 8&-3 & 25 \\ \hline
28 & 9 & 1 & 3&1 & -3 \\ \hline
9 & 1 & 0 & 9&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 1771\) est \( 271\) .
- D'après le cours \( det(A)= -283314389\equiv_{2526}1771\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 2526\) .
- Réalisation le produit suggéré par l'énoncé :
\begin{eqnarray*}
A\times B
&=& \begin{pmatrix}1661 & 1477 & 117 \\ 1050 & 873 & 188 \\ 1496 & 1929 & 1791\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1200891 & -2419614 & 175535 \\ -1599302 & 2799819 & -189418 \\ 719442 & -994477 & -100797\end{pmatrix}\\
&=& \begin{pmatrix}-283314389 & 0 & 0 \\ 0 & -283314389 & 0 \\ 0 & 0 & -283314389\end{pmatrix}\\
&=&-283314389\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\
&\equiv_{2526}&1771\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
Ainsi \( A\times B\equiv_{2526}1771Id_{3}\) . Puisque \( 271\) est l'inverse de \( 1771\) modulo \( 2526\) , on en déduit que \( A\times (271B)\equiv_{2526} Id_{3}\) et donc que \( 271B\equiv_{2526}A^{-1}\) . En conclusion :
\[ A^{-1}\equiv_{2526}271\begin{pmatrix}1200891 & -2419614 & 175535 \\ -1599302 & 2799819 & -189418 \\ 719442 & -994477 & -100797\end{pmatrix}\equiv_{2526}\begin{pmatrix}1725 & -1158 & 353 \\ -2288 & 1173 & -1432 \\ 1998 & -1801 & -2349\end{pmatrix}\]
- \[\begin{array}{r|*{6}{|c}} Cryptogramme & 2096 & 388 & 612 & 1087 & 1722 & 1284\\\hline Vecteurs & &&{ \begin{pmatrix}2096 \\ 388 \\ 612\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}1087 \\ 1722 \\ 1284\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}1725 & -1158 & 353 \\ -2288 & 1173 & -1432 \\ 1998 & -1801 & -2349\end{pmatrix} & &&{ \begin{pmatrix}3382332 \\ -5216908 \\ 2051432\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}334251 \\ -2305838 \\ -3945612\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{2526} & &&{ \begin{pmatrix}18 \\ 1808 \\ 320\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}819 \\ 400 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 18 & 1808 & 320 & 819 & 400 & 0\\\hline Message & AS & SI & DU & IT & EA & AA\end{array}\]Le message claire est \( ASSIDUITEAAA \) .