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Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 11\) modulo \( 26\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}18 & 17 & 23 \\ 12 & 11 & 6 \\ 19 & 23 & 21\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 26\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
A cette fin, on pourra considérer le produit de la matrice \( A\) par la matrice \( B =\begin{pmatrix}93 & 172 & -151 \\ -138 & -59 & 168 \\ 67 & -91 & -6\end{pmatrix}\) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 1 de clef \( A \) : \[HZLLUWUWY\]
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Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
26 & 11 & 4 & 2&3 & -7 \\ \hline
11 & 4 & 3 & 2&-1 & 3 \\ \hline
4 & 3 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
3 & 1 & 0 & 3&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 11\) est \( 19\) .
- D'après le cours \( det(A)= 869\equiv_{26}11\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 26\) .
- Réalisation le produit suggéré par l'énoncé :
\begin{eqnarray*}
A\times B
&=& \begin{pmatrix}18 & 17 & 23 \\ 12 & 11 & 6 \\ 19 & 23 & 21\end{pmatrix}\begin{pmatrix}93 & 172 & -151 \\ -138 & -59 & 168 \\ 67 & -91 & -6\end{pmatrix}\\
&=& \begin{pmatrix}869 & 0 & 0 \\ 0 & 869 & 0 \\ 0 & 0 & 869\end{pmatrix}\\
&=&869\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\
&\equiv_{26}&11\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
Ainsi \( A\times B\equiv_{26}11Id_{3}\) . Puisque \( 19\) est l'inverse de \( 11\) modulo \( 26\) , on en déduit que \( A\times (19B)\equiv_{26} Id_{3}\) et donc que \( 19B\equiv_{26}A^{-1}\) . En conclusion :
\[ A^{-1}\equiv_{26}19\begin{pmatrix}93 & 172 & -151 \\ -138 & -59 & 168 \\ 67 & -91 & -6\end{pmatrix}\equiv_{26}\begin{pmatrix}25 & 18 & -9 \\ -22 & -3 & 20 \\ 25 & -13 & -10\end{pmatrix}\]
- \[\begin{array}{r|*{9}{|c}} Cryptogramme & H & Z & L & L & U & W & U & W & Y\\\hline Codex & 7 & 25 & 11 & 11 & 20 & 22 & 20 & 22 & 24\\\hline Vecteurs & &&{ \begin{pmatrix}7 \\ 25 \\ 11\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}11 \\ 20 \\ 22\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}20 \\ 22 \\ 24\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}25 & 18 & -9 \\ -22 & -3 & 20 \\ 25 & -13 & -10\end{pmatrix} & &&{ \begin{pmatrix}526 \\ -9 \\ -260\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}437 \\ 138 \\ -205\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}680 \\ -26 \\ -26\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{26} & &&{ \begin{pmatrix}6 \\ 17 \\ 0\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}21 \\ 8 \\ 3\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}4 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 6 & 17 & 0 & 21 & 8 & 3 & 4 & 0 & 0\\\hline Message & G & R & A & V & I & D & E & A & A\end{array}\]Le message claire est \( GRAVIDEAA \) .