\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Exercice


  1. Calculer l'inverse modulaire de \( 23\) modulo \( 26\) .
  2. Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}11 & 25 & 14 \\ 22 & 15 & 10 \\ 19 & 22 & 11\end{pmatrix}\) .
  3. Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 26\) .
  4. Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) . A cette fin, on pourra considérer le produit de la matrice \( A\) par la matrice \( B =\begin{pmatrix}-55 & 33 & 40 \\ -52 & -145 & 198 \\ 199 & 233 & -385\end{pmatrix}\) .
  5. Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 1 de clef \( A \) : \[DBQEBFKFBFKL\]
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Exercice


  1. \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline a&b&r&q&u&v \\ \hline 26 & 23 & 3 & 1&8 & -9 \\ \hline 23 & 3 & 2 & 7&-1 & 8 \\ \hline 3 & 2 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline 2 & 1 & 0 & 2&0 & 1 \\ \hline \end{array}\] L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 23\) est \( 17\) .
  2. D'après le cours \( det(A)= 881\equiv_{26}23\) .
  3. La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 26\) .
  4. Réalisation le produit suggéré par l'énoncé : \begin{eqnarray*} A\times B &=& \begin{pmatrix}11 & 25 & 14 \\ 22 & 15 & 10 \\ 19 & 22 & 11\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-55 & 33 & 40 \\ -52 & -145 & 198 \\ 199 & 233 & -385\end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix}881 & 0 & 0 \\ 0 & 881 & 0 \\ 0 & 0 & 881\end{pmatrix}\\ &=&881\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\ &\equiv_{26}&23\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*} Ainsi \( A\times B\equiv_{26}23Id_{3}\) . Puisque \( 17\) est l'inverse de \( 23\) modulo \( 26\) , on en déduit que \( A\times (17B)\equiv_{26} Id_{3}\) et donc que \( 17B\equiv_{26}A^{-1}\) . En conclusion : \[ A^{-1}\equiv_{26}17\begin{pmatrix}-55 & 33 & 40 \\ -52 & -145 & 198 \\ 199 & 233 & -385\end{pmatrix}\equiv_{26}\begin{pmatrix}-25 & 15 & 4 \\ 0 & -21 & 12 \\ 3 & 9 & -19\end{pmatrix}\]
  5. \[\begin{array}{r|*{12}{|c}} Cryptogramme & D & B & Q & E & B & F & K & F & B & F & K & L\\\hline Codex & 3 & 1 & 16 & 4 & 1 & 5 & 10 & 5 & 1 & 5 & 10 & 11\\\hline Vecteurs & &&{ \begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ 16\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}4 \\ 1 \\ 5\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}10 \\ 5 \\ 1\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}5 \\ 10 \\ 11\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}-25 & 15 & 4 \\ 0 & -21 & 12 \\ 3 & 9 & -19\end{pmatrix} & &&{ \begin{pmatrix}4 \\ 171 \\ -286\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}-65 \\ 39 \\ -74\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}-171 \\ -93 \\ 56\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}69 \\ -78 \\ -104\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{26} & &&{ \begin{pmatrix}4 \\ 15 \\ 0\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}13 \\ 13 \\ 4\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}11 \\ 11 \\ 4\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}17 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 4 & 15 & 0 & 13 & 13 & 4 & 11 & 11 & 4 & 17 & 0 & 0\\\hline Message & E & P & A & N & N & E & L & L & E & R & A & A\end{array}\]Le message claire est \( EPANNELLERAA \) .