Ataraxy

\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; #2\right]\!\right]} \newcommand{\intEFO}[2]{\left[\!\left[#1 ; #2\right[\!\right[} \newcommand{\intEOF}[2]{\left]\!\left]#1 ; #2\right]\!\right]} \newcommand{\intEOO}[2]{\left]\!\left]#1 ; #2\right[\!\right[} \newcommand{\ou}{\vee} \newcommand{\et}{\wedge} \newcommand{\non}{\neg} \newcommand{\implique}{\Rightarrow} \newcommand{\equivalent}{\Leftrightarrow} \newcommand{\Ab}{\overline{A}} \newcommand{\Bb}{\overline{B}} \newcommand{\Cb}{\overline{C}} \newcommand{\Cl}{\texttt{Cl}} \newcommand{\ab}{\overline{a}} \newcommand{\bb}{\overline{b}} \newcommand{\cb}{\overline{c}} \newcommand{\Rel}{\mathcal{R}} \newcommand{\superepsilon}{\varepsilon\!\!\varepsilon} \newcommand{\supere}{e\!\!e} \makeatletter \newenvironment{console}{\noindent\color{white}\begin{lrbox}{\@tempboxa}\begin{minipage}{\columnwidth} \ttfamily \bfseries\vspace*{0.5cm}} {\vspace*{0.5cm}\end{minipage}\end{lrbox}\colorbox{black}{\usebox{\@tempboxa}} } \makeatother \def\ie{\textit{i.e. }} \def\cf{\textit{c.f. }} \def\vide{ { $ {\text{ }} $ } } %Commande pour les vecteurs \newcommand{\grad}{\overrightarrow{Grad}} \newcommand{\Vv}{\overrightarrow{v}} \newcommand{\Vu}{\overrightarrow{u}} \newcommand{\Vw}{\overrightarrow{w}} \newcommand{\Vup}{\overrightarrow{u'}} \newcommand{\Zero}{\overrightarrow{0}} \newcommand{\Vx}{\overrightarrow{x}} \newcommand{\Vy}{\overrightarrow{y}} \newcommand{\Vz}{\overrightarrow{z}} \newcommand{\Vt}{\overrightarrow{t}} \newcommand{\Va}{\overrightarrow{a}} \newcommand{\Vb}{\overrightarrow{b}} \newcommand{\Vc}{\overrightarrow{c}} \newcommand{\Vd}{\overrightarrow{d}} \newcommand{\Ve}[1]{\overrightarrow{e_{#1}}} \newcommand{\Vf}[1]{\overrightarrow{f_{#1}}} \newcommand{\Vn}{\overrightarrow{0}} \newcommand{\Mat}{Mat} \newcommand{\Pass}{Pass} \newcommand{\mkF}{\mathfrak{F}} \renewcommand{\sp}{Sp} \newcommand{\Co}{Co} \newcommand{\vect}[1]{\texttt{Vect}\dpl{\left( #1\right)}} \newcommand{\prodscal}[2]{\dpl{\left\langle #1\left|\vphantom{#1 #2}\right. #2\right\rangle}} \newcommand{\trans}[1]{{\vphantom{#1}}^{t}{#1}} \newcommand{\ortho}[1]{{#1}^{\bot}} \newcommand{\oplusbot}{\overset{\bot}{\oplus}} \SelectTips{cm}{12}%Change le bout des flèches dans un xymatrix \newcommand{\pourDES}[8]{ \begin{itemize} \item Pour la ligne : le premier et dernier caractère forment $#1#2$ soit $#4$ en base 10. \item Pour la colonne : les autres caractères du bloc forment $#3$ soit $#5$ en base 10. \item A l'intersection de la ligne $#4+1$ et de la colonne $#5+1$ de $S_{#8}$ se trouve l'entier $#6$ qui, codé sur $4$ bits, est \textbf{\texttt{$#7$}}. \end{itemize} } \)

Exercice

L'exercice suivant est automatiquement et aléatoirement généré par ataraXy.
Si vous regénérez la page (F5) les valeurs seront changées.
La correction se trouve en bas de page.

Exercice

Calculer l'inverse modulaire de $ 25$ modulo $ 26$ .
Calculer le déterminant de la matrice $ A = \begin{pmatrix}20 & 21 & 4 \\ 15 & 16 & 17 \\ 5 & 10 & 12\end{pmatrix}$ .
Expliquer pourquoi la matrice $ A $ est inversible modulo $ 26$ .
Déterminer l'inverse de la matrice $ A $ . A cette fin, on pourra considérer le produit de la matrice $ A$ par la matrice $ B =\begin{pmatrix}22 & -212 & 293 \\ -95 & 220 & -280 \\ 70 & -95 & 5\end{pmatrix}$ .
Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 1 de clef $ A $ : \[YMSIAJMIEWKM\]

Cliquer ici pour afficher la solution

Exercice

\[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline a&b&r&q&u&v \\ \hline 26 & 25 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline 25 & 1 & 0 & 25&0 & 1 \\ \hline \end{array}\] L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de $ 25$ est $ 25$ .
D'après le cours $ det(A)= -1275\equiv_{26}25$ .
La matrice $ A $ est inversible car le déterminant est inversible modulo $ 26$ .
Réalisation le produit suggéré par l'énoncé : \begin{eqnarray*} A\times B &=& \begin{pmatrix}20 & 21 & 4 \\ 15 & 16 & 17 \\ 5 & 10 & 12\end{pmatrix}\begin{pmatrix}22 & -212 & 293 \\ -95 & 220 & -280 \\ 70 & -95 & 5\end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix}-1275 & 0 & 0 \\ 0 & -1275 & 0 \\ 0 & 0 & -1275\end{pmatrix}\\ &=&-1275\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\ &\equiv_{26}&25\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*} Ainsi $ A\times B\equiv_{26}25Id_{3}$ . Puisque $ 25$ est l'inverse de $ 25$ modulo $ 26$ , on en déduit que $ A\times (25B)\equiv_{26} Id_{3}$ et donc que $ 25B\equiv_{26}A^{-1}$ . En conclusion : \[ A^{-1}\equiv_{26}25\begin{pmatrix}22 & -212 & 293 \\ -95 & 220 & -280 \\ 70 & -95 & 5\end{pmatrix}\equiv_{26}\begin{pmatrix}4 & -22 & 19 \\ -9 & 14 & -6 \\ 8 & -9 & 21\end{pmatrix}\]
\[\begin{array}{r|*{12}{|c}} Cryptogramme & Y & M & S & I & A & J & M & I & E & W & K & M\\\hline Codex & 24 & 12 & 18 & 8 & 0 & 9 & 12 & 8 & 4 & 22 & 10 & 12\\\hline Vecteurs & &&{ \begin{pmatrix}24 \\ 12 \\ 18\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}8 \\ 0 \\ 9\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}12 \\ 8 \\ 4\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}22 \\ 10 \\ 12\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}4 & -22 & 19 \\ -9 & 14 & -6 \\ 8 & -9 & 21\end{pmatrix} & &&{ \begin{pmatrix}174 \\ -156 \\ 462\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}203 \\ -126 \\ 253\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}-52 \\ -20 \\ 108\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}96 \\ -130 \\ 338\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{26} & &&{ \begin{pmatrix}18 \\ 0 \\ 20\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}21 \\ 4 \\ 19\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}0 \\ 6 \\ 4\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}18 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 18 & 0 & 20 & 21 & 4 & 19 & 0 & 6 & 4 & 18 & 0 & 0\\\hline Message & S & A & U & V & E & T & A & G & E & S & A & A\end{array}\]Le message claire est $ SAUVETAGESAA $ .