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Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 25\) modulo \( 26\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}8 & 2 & 11 \\ 0 & 13 & 2 \\ 17 & 23 & 20\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 26\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
A cette fin, on pourra considérer le produit de la matrice \( A\) par la matrice \( B =\begin{pmatrix}214 & 213 & -139 \\ 34 & -27 & -16 \\ -221 & -150 & 104\end{pmatrix}\) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 1 de clef \( A \) : \[GVTMDHYXN\]
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Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
26 & 25 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
25 & 1 & 0 & 25&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 25\) est \( 25\) .
- D'après le cours \( det(A)= -651\equiv_{26}25\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 26\) .
- Réalisation le produit suggéré par l'énoncé :
\begin{eqnarray*}
A\times B
&=& \begin{pmatrix}8 & 2 & 11 \\ 0 & 13 & 2 \\ 17 & 23 & 20\end{pmatrix}\begin{pmatrix}214 & 213 & -139 \\ 34 & -27 & -16 \\ -221 & -150 & 104\end{pmatrix}\\
&=& \begin{pmatrix}-651 & 0 & 0 \\ 0 & -651 & 0 \\ 0 & 0 & -651\end{pmatrix}\\
&=&-651\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\
&\equiv_{26}&25\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
Ainsi \( A\times B\equiv_{26}25Id_{3}\) . Puisque \( 25\) est l'inverse de \( 25\) modulo \( 26\) , on en déduit que \( A\times (25B)\equiv_{26} Id_{3}\) et donc que \( 25B\equiv_{26}A^{-1}\) . En conclusion :
\[ A^{-1}\equiv_{26}25\begin{pmatrix}214 & 213 & -139 \\ 34 & -27 & -16 \\ -221 & -150 & 104\end{pmatrix}\equiv_{26}\begin{pmatrix}20 & 21 & -17 \\ 18 & -25 & -10 \\ -13 & -6 & 0\end{pmatrix}\]
- \[\begin{array}{r|*{9}{|c}} Cryptogramme & G & V & T & M & D & H & Y & X & N\\\hline Codex & 6 & 21 & 19 & 12 & 3 & 7 & 24 & 23 & 13\\\hline Vecteurs & &&{ \begin{pmatrix}6 \\ 21 \\ 19\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}12 \\ 3 \\ 7\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}24 \\ 23 \\ 13\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}20 & 21 & -17 \\ 18 & -25 & -10 \\ -13 & -6 & 0\end{pmatrix} & &&{ \begin{pmatrix}238 \\ -607 \\ -204\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}184 \\ 71 \\ -174\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}742 \\ -273 \\ -450\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{26} & &&{ \begin{pmatrix}4 \\ 17 \\ 4\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}2 \\ 19 \\ 8\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}14 \\ 13 \\ 18\end{pmatrix} }\\\hline & 4 & 17 & 4 & 2 & 19 & 8 & 14 & 13 & 18\\\hline Message & E & R & E & C & T & I & O & N & S\end{array}\]Le message claire est \( ERECTIONS \) .