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- Calculer l'inverse modulaire de \( 5\) modulo \( 26\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}8 & 19 & 25 \\ 19 & 0 & 14 \\ 8 & 4 & 13\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 26\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
A cette fin, on pourra considérer le produit de la matrice \( A\) par la matrice \( B =\begin{pmatrix}-56 & -147 & 266 \\ -135 & -96 & 363 \\ 76 & 120 & -361\end{pmatrix}\) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 1 de clef \( A \) : \[LUMRHXFWDOEO\]
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- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
26 & 5 & 1 & 5&1 & -5 \\ \hline
5 & 1 & 0 & 5&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 5\) est \( 21\) .
- D'après le cours \( det(A)= -1113\equiv_{26}5\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 26\) .
- Réalisation le produit suggéré par l'énoncé :
\begin{eqnarray*}
A\times B
&=& \begin{pmatrix}8 & 19 & 25 \\ 19 & 0 & 14 \\ 8 & 4 & 13\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-56 & -147 & 266 \\ -135 & -96 & 363 \\ 76 & 120 & -361\end{pmatrix}\\
&=& \begin{pmatrix}-1113 & 0 & 0 \\ 0 & -1113 & 0 \\ 0 & 0 & -1113\end{pmatrix}\\
&=&-1113\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\
&\equiv_{26}&5\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
Ainsi \( A\times B\equiv_{26}5Id_{3}\) . Puisque \( 21\) est l'inverse de \( 5\) modulo \( 26\) , on en déduit que \( A\times (21B)\equiv_{26} Id_{3}\) et donc que \( 21B\equiv_{26}A^{-1}\) . En conclusion :
\[ A^{-1}\equiv_{26}21\begin{pmatrix}-56 & -147 & 266 \\ -135 & -96 & 363 \\ 76 & 120 & -361\end{pmatrix}\equiv_{26}\begin{pmatrix}-6 & -19 & 22 \\ -1 & -14 & 5 \\ 10 & 24 & -15\end{pmatrix}\]
- \[\begin{array}{r|*{12}{|c}} Cryptogramme & L & U & M & R & H & X & F & W & D & O & E & O\\\hline Codex & 11 & 20 & 12 & 17 & 7 & 23 & 5 & 22 & 3 & 14 & 4 & 14\\\hline Vecteurs & &&{ \begin{pmatrix}11 \\ 20 \\ 12\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}17 \\ 7 \\ 23\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}5 \\ 22 \\ 3\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}14 \\ 4 \\ 14\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}-6 & -19 & 22 \\ -1 & -14 & 5 \\ 10 & 24 & -15\end{pmatrix} & &&{ \begin{pmatrix}-182 \\ -231 \\ 410\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}271 \\ 0 \\ -7\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}-382 \\ -298 \\ 533\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}148 \\ 0 \\ 26\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{26} & &&{ \begin{pmatrix}0 \\ 3 \\ 20\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}11 \\ 0 \\ 19\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}8 \\ 14 \\ 13\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}18 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 0 & 3 & 20 & 11 & 0 & 19 & 8 & 14 & 13 & 18 & 0 & 0\\\hline Message & A & D & U & L & A & T & I & O & N & S & A & A\end{array}\]Le message claire est \( ADULATIONSAA \) .