Ataraxy

\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Calculer l'inverse modulaire de $ 23$ modulo $ 26$ .
Calculer le déterminant de la matrice $ A = \begin{pmatrix}12 & 23 & 13 \\ 21 & 16 & 14 \\ 14 & 19 & 22\end{pmatrix}$ .
Expliquer pourquoi la matrice $ A $ est inversible modulo $ 26$ .
Déterminer l'inverse de la matrice $ A $ . A cette fin, on pourra considérer le produit de la matrice $ A$ par la matrice $ B =\begin{pmatrix}86 & -259 & 114 \\ -266 & 82 & 105 \\ 175 & 94 & -291\end{pmatrix}$ .
Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 1 de clef $ A $ : $$ZTXZSOZAH$$

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$$\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline a&b&r&q&u&v \\ \hline 26 & 23 & 3 & 1&8 & -9 \\ \hline 23 & 3 & 2 & 7&-1 & 8 \\ \hline 3 & 2 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline 2 & 1 & 0 & 2&0 & 1 \\ \hline \end{array}$$ L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de $ 23$ est $ 17$ .
D'après le cours $ det(A)= -2811\equiv_{26}23$ .
La matrice $ A $ est inversible car le déterminant est inversible modulo $ 26$ .
Réalisation le produit suggéré par l'énoncé : \begin{eqnarray*} A\times B &=& \begin{pmatrix}12 & 23 & 13 \\ 21 & 16 & 14 \\ 14 & 19 & 22\end{pmatrix}\begin{pmatrix}86 & -259 & 114 \\ -266 & 82 & 105 \\ 175 & 94 & -291\end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix}-2811 & 0 & 0 \\ 0 & -2811 & 0 \\ 0 & 0 & -2811\end{pmatrix}\\ &=&-2811\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\ &\equiv_{26}&23\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*} Ainsi $ A\times B\equiv_{26}23Id_{3}$ . Puisque $ 17$ est l'inverse de $ 23$ modulo $ 26$ , on en déduit que $ A\times (17B)\equiv_{26} Id_{3}$ et donc que $ 17B\equiv_{26}A^{-1}$ . En conclusion : $$ A^{-1}\equiv_{26}17\begin{pmatrix}86 & -259 & 114 \\ -266 & 82 & 105 \\ 175 & 94 & -291\end{pmatrix}\equiv_{26}\begin{pmatrix}6 & -9 & 14 \\ -24 & 16 & 17 \\ 11 & 12 & -7\end{pmatrix}$$
$$\begin{array}{r|*{9}{|c}} Cryptogramme & Z & T & X & Z & S & O & Z & A & H\\\hline Codex & 25 & 19 & 23 & 25 & 18 & 14 & 25 & 0 & 7\\\hline Vecteurs & &&{ \begin{pmatrix}25 \\ 19 \\ 23\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}25 \\ 18 \\ 14\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}25 \\ 0 \\ 7\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}6 & -9 & 14 \\ -24 & 16 & 17 \\ 11 & 12 & -7\end{pmatrix} & &&{ \begin{pmatrix}301 \\ 95 \\ 342\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}184 \\ -74 \\ 393\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}248 \\ -481 \\ 226\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{26} & &&{ \begin{pmatrix}15 \\ 17 \\ 4\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}2 \\ 4 \\ 3\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}14 \\ 13 \\ 18\end{pmatrix} }\\\hline & 15 & 17 & 4 & 2 & 4 & 3 & 14 & 13 & 18\\\hline Message & P & R & E & C & E & D & O & N & S\end{array}$$Le message claire est $ PRECEDONS $ .