Ataraxy

\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Calculer l'inverse modulaire de $ 5$ modulo $ 26$ .
Calculer le déterminant de la matrice $ A = \begin{pmatrix}8 & 19 & 25 \\ 19 & 0 & 14 \\ 8 & 4 & 13\end{pmatrix}$ .
Expliquer pourquoi la matrice $ A $ est inversible modulo $ 26$ .
Déterminer l'inverse de la matrice $ A $ . A cette fin, on pourra considérer le produit de la matrice $ A$ par la matrice $ B =\begin{pmatrix}-56 & -147 & 266 \\ -135 & -96 & 363 \\ 76 & 120 & -361\end{pmatrix}$ .
Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 1 de clef $ A $ : \[LUMRHXFWDOEO\]

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\[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline a&b&r&q&u&v \\ \hline 26 & 5 & 1 & 5&1 & -5 \\ \hline 5 & 1 & 0 & 5&0 & 1 \\ \hline \end{array}\] L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de $ 5$ est $ 21$ .
D'après le cours $ det(A)= -1113\equiv_{26}5$ .
La matrice $ A $ est inversible car le déterminant est inversible modulo $ 26$ .
Réalisation le produit suggéré par l'énoncé : \begin{eqnarray*} A\times B &=& \begin{pmatrix}8 & 19 & 25 \\ 19 & 0 & 14 \\ 8 & 4 & 13\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-56 & -147 & 266 \\ -135 & -96 & 363 \\ 76 & 120 & -361\end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix}-1113 & 0 & 0 \\ 0 & -1113 & 0 \\ 0 & 0 & -1113\end{pmatrix}\\ &=&-1113\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\ &\equiv_{26}&5\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*} Ainsi $ A\times B\equiv_{26}5Id_{3}$ . Puisque $ 21$ est l'inverse de $ 5$ modulo $ 26$ , on en déduit que $ A\times (21B)\equiv_{26} Id_{3}$ et donc que $ 21B\equiv_{26}A^{-1}$ . En conclusion : \[ A^{-1}\equiv_{26}21\begin{pmatrix}-56 & -147 & 266 \\ -135 & -96 & 363 \\ 76 & 120 & -361\end{pmatrix}\equiv_{26}\begin{pmatrix}-6 & -19 & 22 \\ -1 & -14 & 5 \\ 10 & 24 & -15\end{pmatrix}\]
\[\begin{array}{r|*{12}{|c}} Cryptogramme & L & U & M & R & H & X & F & W & D & O & E & O\\\hline Codex & 11 & 20 & 12 & 17 & 7 & 23 & 5 & 22 & 3 & 14 & 4 & 14\\\hline Vecteurs & &&{ \begin{pmatrix}11 \\ 20 \\ 12\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}17 \\ 7 \\ 23\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}5 \\ 22 \\ 3\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}14 \\ 4 \\ 14\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}-6 & -19 & 22 \\ -1 & -14 & 5 \\ 10 & 24 & -15\end{pmatrix} & &&{ \begin{pmatrix}-182 \\ -231 \\ 410\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}271 \\ 0 \\ -7\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}-382 \\ -298 \\ 533\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}148 \\ 0 \\ 26\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{26} & &&{ \begin{pmatrix}0 \\ 3 \\ 20\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}11 \\ 0 \\ 19\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}8 \\ 14 \\ 13\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}18 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 0 & 3 & 20 & 11 & 0 & 19 & 8 & 14 & 13 & 18 & 0 & 0\\\hline Message & A & D & U & L & A & T & I & O & N & S & A & A\end{array}\]Le message claire est $ ADULATIONSAA $ .