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Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 1381\) modulo \( 2526\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}465 & 389 \\ 2281 & 200\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 2526\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 2 de clef \( A \) : \[624-416-108-1274\]
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Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
2526 & 1381 & 1145 & 1&-158 & 289 \\ \hline
1381 & 1145 & 236 & 1&131 & -158 \\ \hline
1145 & 236 & 201 & 4&-27 & 131 \\ \hline
236 & 201 & 35 & 1&23 & -27 \\ \hline
201 & 35 & 26 & 5&-4 & 23 \\ \hline
35 & 26 & 9 & 1&3 & -4 \\ \hline
26 & 9 & 8 & 2&-1 & 3 \\ \hline
9 & 8 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
8 & 1 & 0 & 8&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 1381\) est \( 289\) .
- D'après le cours \( det(A)= -794309\equiv_{2526}1381\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 2526\) .
- D'après le cours :
\[ \begin{pmatrix}465 & 389 \\ 2281 & 200\end{pmatrix}^{-1} \equiv_{2526} 289\begin{pmatrix}200 & -389 \\ -2281 & 465\end{pmatrix}
\equiv_{2526}\begin{pmatrix}57800 & -112421 \\ -659209 & 134385\end{pmatrix}
\equiv_{2526}\begin{pmatrix}2228 & -1277 \\ -2449 & 507\end{pmatrix}
\]
- \[\begin{array}{r|*{4}{|c}} Cryptogramme & 624 & 416 & 108 & 1274\\\hline Vecteurs & &{ \begin{pmatrix}624 \\ 416\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}108 \\ 1274\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}2228 & -1277 \\ -2449 & 507\end{pmatrix} & &{ \begin{pmatrix}859040 \\ -1317264\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}-1386274 \\ 381426\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{2526} & &{ \begin{pmatrix}200 \\ 1308\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}500 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 200 & 1308 & 500 & 0\\\hline Message & CA & NI & FA & AA\end{array}\]Le message claire est \( CANIFAAA \) .