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- Calculer l'inverse modulaire de \( 2015\) modulo \( 2526\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}2044 & 1563 \\ 1311 & 566\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 2526\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 2 de clef \( A \) : \[896-440-2369-2478-320-2234\]
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- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
2526 & 2015 & 511 & 1&556 & -697 \\ \hline
2015 & 511 & 482 & 3&-141 & 556 \\ \hline
511 & 482 & 29 & 1&133 & -141 \\ \hline
482 & 29 & 18 & 16&-8 & 133 \\ \hline
29 & 18 & 11 & 1&5 & -8 \\ \hline
18 & 11 & 7 & 1&-3 & 5 \\ \hline
11 & 7 & 4 & 1&2 & -3 \\ \hline
7 & 4 & 3 & 1&-1 & 2 \\ \hline
4 & 3 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
3 & 1 & 0 & 3&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 2015\) est \( 1829\) .
- D'après le cours \( det(A)= -892189\equiv_{2526}2015\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 2526\) .
- D'après le cours :
\[ \begin{pmatrix}2044 & 1563 \\ 1311 & 566\end{pmatrix}^{-1} \equiv_{2526} 1829\begin{pmatrix}566 & -1563 \\ -1311 & 2044\end{pmatrix}
\equiv_{2526}\begin{pmatrix}1035214 & -2858727 \\ -2397819 & 3738476\end{pmatrix}
\equiv_{2526}\begin{pmatrix}2080 & -1821 \\ -645 & 2522\end{pmatrix}
\]
- \[\begin{array}{r|*{6}{|c}} Cryptogramme & 896 & 440 & 2369 & 2478 & 320 & 2234\\\hline Vecteurs & &{ \begin{pmatrix}896 \\ 440\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}2369 \\ 2478\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}320 \\ 2234\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}2080 & -1821 \\ -645 & 2522\end{pmatrix} & &{ \begin{pmatrix}1062440 \\ 531760\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}415082 \\ 4721511\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}-3402514 \\ 5427748\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{2526} & &{ \begin{pmatrix}1520 \\ 1300\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}818 \\ 417\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}8 \\ 1900\end{pmatrix} }\\\hline & 1520 & 1300 & 818 & 417 & 8 & 1900\\\hline Message & PU & NA & IS & ER & AI & TA\end{array}\]Le message claire est \( PUNAISERAITA \) .