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Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 1453\) modulo \( 2526\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}937 & 1428 \\ 610 & 1837\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 2526\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 2 de clef \( A \) : \[516-1226-2242-1034\]
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Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
2526 & 1453 & 1073 & 1&65 & -113 \\ \hline
1453 & 1073 & 380 & 1&-48 & 65 \\ \hline
1073 & 380 & 313 & 2&17 & -48 \\ \hline
380 & 313 & 67 & 1&-14 & 17 \\ \hline
313 & 67 & 45 & 4&3 & -14 \\ \hline
67 & 45 & 22 & 1&-2 & 3 \\ \hline
45 & 22 & 1 & 2&1 & -2 \\ \hline
22 & 1 & 0 & 22&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 1453\) est \( 2413\) .
- D'après le cours \( det(A)= 850189\equiv_{2526}1453\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 2526\) .
- D'après le cours :
\[ \begin{pmatrix}937 & 1428 \\ 610 & 1837\end{pmatrix}^{-1} \equiv_{2526} 2413\begin{pmatrix}1837 & -1428 \\ -610 & 937\end{pmatrix}
\equiv_{2526}\begin{pmatrix}4432681 & -3445764 \\ -1471930 & 2260981\end{pmatrix}
\equiv_{2526}\begin{pmatrix}2077 & -300 \\ -1798 & 211\end{pmatrix}
\]
- \[\begin{array}{r|*{4}{|c}} Cryptogramme & 516 & 1226 & 2242 & 1034\\\hline Vecteurs & &{ \begin{pmatrix}516 \\ 1226\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}2242 \\ 1034\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}2077 & -300 \\ -1798 & 211\end{pmatrix} & &{ \begin{pmatrix}703932 \\ -669082\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}4346434 \\ -3812942\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{2526} & &{ \begin{pmatrix}1704 \\ 308\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}1714 \\ 1318\end{pmatrix} }\\\hline & 1704 & 308 & 1714 & 1318\\\hline Message & RE & DI & RO & NS\end{array}\]Le message claire est \( REDIRONS \) .