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Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 2473\) modulo \( 2526\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}217 & 1833 \\ 291 & 898\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 2526\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 2 de clef \( A \) : \[2272-1578-730-1405-2296-390\]
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Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
2526 & 2473 & 53 & 1&140 & -143 \\ \hline
2473 & 53 & 35 & 46&-3 & 140 \\ \hline
53 & 35 & 18 & 1&2 & -3 \\ \hline
35 & 18 & 17 & 1&-1 & 2 \\ \hline
18 & 17 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
17 & 1 & 0 & 17&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 2473\) est \( 2383\) .
- D'après le cours \( det(A)= -338537\equiv_{2526}2473\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 2526\) .
- D'après le cours :
\[ \begin{pmatrix}217 & 1833 \\ 291 & 898\end{pmatrix}^{-1} \equiv_{2526} 2383\begin{pmatrix}898 & -1833 \\ -291 & 217\end{pmatrix}
\equiv_{2526}\begin{pmatrix}2139934 & -4368039 \\ -693453 & 517111\end{pmatrix}
\equiv_{2526}\begin{pmatrix}412 & -585 \\ -1329 & 1807\end{pmatrix}
\]
- \[\begin{array}{r|*{6}{|c}} Cryptogramme & 2272 & 1578 & 730 & 1405 & 2296 & 390\\\hline Vecteurs & &{ \begin{pmatrix}2272 \\ 1578\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}730 \\ 1405\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}2296 \\ 390\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}412 & -585 \\ -1329 & 1807\end{pmatrix} & &{ \begin{pmatrix}12934 \\ -168042\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}-521165 \\ 1568665\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}717802 \\ -2346654\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{2526} & &{ \begin{pmatrix}304 \\ 1200\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}1717 \\ 19\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}418 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 304 & 1200 & 1717 & 19 & 418 & 0\\\hline Message & DE & MA & RR & AT & ES & AA\end{array}\]Le message claire est \( DEMARRATESAA \) .