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La correction se trouve en bas de page.
- Calculer l'inverse modulaire de $ 1699$ modulo $ 2526$ .
- Calculer le déterminant de la matrice $ A = \begin{pmatrix}88 & 2201 \\ 1101 & 2182\end{pmatrix}$ .
- Expliquer pourquoi la matrice $ A $ est inversible modulo $ 2526$ .
- Déterminer l'inverse de la matrice $ A $ .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 2 de clef $ A $ : $$463-320-1073-2396-484-372$$
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- $$\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
2526 & 1699 & 827 & 1&302 & -449 \\ \hline
1699 & 827 & 45 & 2&-147 & 302 \\ \hline
827 & 45 & 17 & 18&8 & -147 \\ \hline
45 & 17 & 11 & 2&-3 & 8 \\ \hline
17 & 11 & 6 & 1&2 & -3 \\ \hline
11 & 6 & 5 & 1&-1 & 2 \\ \hline
6 & 5 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
5 & 1 & 0 & 5&0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de $ 1699$ est $ 2077$ .
- D'après le cours $ det(A)= -2231285\equiv_{2526}1699$ .
- La matrice $ A $ est inversible car le déterminant est inversible modulo $ 2526$ .
- D'après le cours :
$$ \begin{pmatrix}88 & 2201 \\ 1101 & 2182\end{pmatrix}^{-1} \equiv_{2526} 2077\begin{pmatrix}2182 & -2201 \\ -1101 & 88\end{pmatrix}
\equiv_{2526}\begin{pmatrix}4532014 & -4571477 \\ -2286777 & 182776\end{pmatrix}
\equiv_{2526}\begin{pmatrix}370 & -1943 \\ -747 & 904\end{pmatrix}
$$
- $$\begin{array}{r|*{6}{|c}} Cryptogramme & 463 & 320 & 1073 & 2396 & 484 & 372\\\hline Vecteurs & &{ \begin{pmatrix}463 \\ 320\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}1073 \\ 2396\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}484 \\ 372\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}370 & -1943 \\ -747 & 904\end{pmatrix} & &{ \begin{pmatrix}-450450 \\ -56581\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}-4258418 \\ 1364453\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}-543716 \\ -25260\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{2526} & &{ \begin{pmatrix}1704 \\ 1517\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}418 \\ 413\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}1900 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 1704 & 1517 & 418 & 413 & 1900 & 0\\\hline Message & RE & PR & ES & EN & TA & AA\end{array}$$Le message claire est $ REPRESENTAAA $ .