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Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 2189\) modulo \( 2526\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}1814 & 1731 \\ 2371 & 1729\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 2526\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 2 de clef \( A \) : \[2240-694-1162-2467-1136-1042\]
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Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
2526 & 2189 & 337 & 1&734 & -847 \\ \hline
2189 & 337 & 167 & 6&-113 & 734 \\ \hline
337 & 167 & 3 & 2&56 & -113 \\ \hline
167 & 3 & 2 & 55&-1 & 56 \\ \hline
3 & 2 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
2 & 1 & 0 & 2&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 2189\) est \( 1679\) .
- D'après le cours \( det(A)= -967795\equiv_{2526}2189\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 2526\) .
- D'après le cours :
\[ \begin{pmatrix}1814 & 1731 \\ 2371 & 1729\end{pmatrix}^{-1} \equiv_{2526} 1679\begin{pmatrix}1729 & -1731 \\ -2371 & 1814\end{pmatrix}
\equiv_{2526}\begin{pmatrix}2902991 & -2906349 \\ -3980909 & 3045706\end{pmatrix}
\equiv_{2526}\begin{pmatrix}617 & -1449 \\ -2459 & 1876\end{pmatrix}
\]
- \[\begin{array}{r|*{6}{|c}} Cryptogramme & 2240 & 694 & 1162 & 2467 & 1136 & 1042\\\hline Vecteurs & &{ \begin{pmatrix}2240 \\ 694\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}1162 \\ 2467\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}1136 \\ 1042\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}617 & -1449 \\ -2459 & 1876\end{pmatrix} & &{ \begin{pmatrix}376474 \\ -4206216\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}-2857729 \\ 1770734\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}-808946 \\ -838632\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{2526} & &{ \begin{pmatrix}100 \\ 2100\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}1703 \\ 8\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}1900 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 100 & 2100 & 1703 & 8 & 1900 & 0\\\hline Message & BA & VA & RD & AI & TA & AA\end{array}\]Le message claire est \( BAVARDAITAAA \) .