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Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 131\) modulo \( 2526\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}1206 & 1375 \\ 1609 & 2287\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 2526\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 2 de clef \( A \) : \[573-2073-1496-2432-1798-442\]
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Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
2526 & 131 & 37 & 19&-46 & 887 \\ \hline
131 & 37 & 20 & 3&13 & -46 \\ \hline
37 & 20 & 17 & 1&-7 & 13 \\ \hline
20 & 17 & 3 & 1&6 & -7 \\ \hline
17 & 3 & 2 & 5&-1 & 6 \\ \hline
3 & 2 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
2 & 1 & 0 & 2&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 131\) est \( 887\) .
- D'après le cours \( det(A)= 545747\equiv_{2526}131\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 2526\) .
- D'après le cours :
\[ \begin{pmatrix}1206 & 1375 \\ 1609 & 2287\end{pmatrix}^{-1} \equiv_{2526} 887\begin{pmatrix}2287 & -1375 \\ -1609 & 1206\end{pmatrix}
\equiv_{2526}\begin{pmatrix}2028569 & -1219625 \\ -1427183 & 1069722\end{pmatrix}
\equiv_{2526}\begin{pmatrix}191 & -2093 \\ -2519 & 1224\end{pmatrix}
\]
- \[\begin{array}{r|*{6}{|c}} Cryptogramme & 573 & 2073 & 1496 & 2432 & 1798 & 442\\\hline Vecteurs & &{ \begin{pmatrix}573 \\ 2073\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}1496 \\ 2432\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}1798 \\ 442\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}191 & -2093 \\ -2519 & 1224\end{pmatrix} & &{ \begin{pmatrix}-4229346 \\ 1093965\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}-4804440 \\ -791656\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}-581688 \\ -3988154\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{2526} & &{ \begin{pmatrix}1704 \\ 207\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}12 \\ 1508\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}1818 \\ 400\end{pmatrix} }\\\hline & 1704 & 207 & 12 & 1508 & 1818 & 400\\\hline Message & RE & CH & AM & PI & SS & EA\end{array}\]Le message claire est \( RECHAMPISSEA \) .