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Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 1015\) modulo \( 2526\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}233 & 1815 \\ 2219 & 2318\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 2526\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 2 de clef \( A \) : \[1214-814-141-1956-1864-70\]
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Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
2526 & 1015 & 496 & 2&-309 & 769 \\ \hline
1015 & 496 & 23 & 2&151 & -309 \\ \hline
496 & 23 & 13 & 21&-7 & 151 \\ \hline
23 & 13 & 10 & 1&4 & -7 \\ \hline
13 & 10 & 3 & 1&-3 & 4 \\ \hline
10 & 3 & 1 & 3&1 & -3 \\ \hline
3 & 1 & 0 & 3&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 1015\) est \( 769\) .
- D'après le cours \( det(A)= -3487391\equiv_{2526}1015\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 2526\) .
- D'après le cours :
\[ \begin{pmatrix}233 & 1815 \\ 2219 & 2318\end{pmatrix}^{-1} \equiv_{2526} 769\begin{pmatrix}2318 & -1815 \\ -2219 & 233\end{pmatrix}
\equiv_{2526}\begin{pmatrix}1782542 & -1395735 \\ -1706411 & 179177\end{pmatrix}
\equiv_{2526}\begin{pmatrix}1712 & -1383 \\ -1361 & 2357\end{pmatrix}
\]
- \[\begin{array}{r|*{6}{|c}} Cryptogramme & 1214 & 814 & 141 & 1956 & 1864 & 70\\\hline Vecteurs & &{ \begin{pmatrix}1214 \\ 814\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}141 \\ 1956\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}1864 \\ 70\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}1712 & -1383 \\ -1361 & 2357\end{pmatrix} & &{ \begin{pmatrix}952606 \\ 266344\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}-2463756 \\ 4418391\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}3094358 \\ -2371914\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{2526} & &{ \begin{pmatrix}304 \\ 1114\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}1620 \\ 417\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}8 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 304 & 1114 & 1620 & 417 & 8 & 0\\\hline Message & DE & LO & QU & ER & AI & AA\end{array}\]Le message claire est \( DELOQUERAIAA \) .