\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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  1. Calculer l'inverse modulaire de $ 1079$ modulo $ 2526$ .
  2. Calculer le déterminant de la matrice $ A = \begin{pmatrix}2355 & 1568 \\ 1532 & 1353\end{pmatrix}$ .
  3. Expliquer pourquoi la matrice $ A $ est inversible modulo $ 2526$ .
  4. Déterminer l'inverse de la matrice $ A $ .
  5. Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 2 de clef $ A $ : $$322-1232-2338-1182-1776-1298$$
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  1. $$\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline a&b&r&q&u&v \\ \hline 2526 & 1079 & 368 & 2&-302 & 707 \\ \hline 1079 & 368 & 343 & 2&103 & -302 \\ \hline 368 & 343 & 25 & 1&-96 & 103 \\ \hline 343 & 25 & 18 & 13&7 & -96 \\ \hline 25 & 18 & 7 & 1&-5 & 7 \\ \hline 18 & 7 & 4 & 2&2 & -5 \\ \hline 7 & 4 & 3 & 1&-1 & 2 \\ \hline 4 & 3 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline 3 & 1 & 0 & 3&0 & 1 \\ \hline \end{array}$$ L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de $ 1079$ est $ 707$ .
  2. D'après le cours $ det(A)= 784139\equiv_{2526}1079$ .
  3. La matrice $ A $ est inversible car le déterminant est inversible modulo $ 2526$ .
  4. D'après le cours : $$ \begin{pmatrix}2355 & 1568 \\ 1532 & 1353\end{pmatrix}^{-1} \equiv_{2526} 707\begin{pmatrix}1353 & -1568 \\ -1532 & 2355\end{pmatrix} \equiv_{2526}\begin{pmatrix}956571 & -1108576 \\ -1083124 & 1664985\end{pmatrix} \equiv_{2526}\begin{pmatrix}1743 & -2188 \\ -1996 & 351\end{pmatrix} $$
  5. $$\begin{array}{r|*{6}{|c}} Cryptogramme & 322 & 1232 & 2338 & 1182 & 1776 & 1298\\\hline Vecteurs & &{ \begin{pmatrix}322 \\ 1232\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}2338 \\ 1182\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}1776 \\ 1298\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}1743 & -2188 \\ -1996 & 351\end{pmatrix} & &{ \begin{pmatrix}-2134370 \\ -210280\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}1488918 \\ -4251766\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}255544 \\ -3089298\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{2526} & &{ \begin{pmatrix}100 \\ 1904\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}1104 \\ 2018\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}418 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 100 & 1904 & 1104 & 2018 & 418 & 0\\\hline Message & BA & TE & LE & US & ES & AA\end{array}$$Le message claire est $ BATELEUSESAA $ .