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Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 11\) modulo \( 26\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}8 & 1 \\ 19 & 20\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 26\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 1 de clef \( A \) : \[JYQKTDYU\]
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Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
26 & 11 & 4 & 2&3 & -7 \\ \hline
11 & 4 & 3 & 2&-1 & 3 \\ \hline
4 & 3 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
3 & 1 & 0 & 3&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 11\) est \( 19\) .
- D'après le cours \( det(A)= 141\equiv_{26}11\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 26\) .
- D'après le cours :
\[ \begin{pmatrix}8 & 1 \\ 19 & 20\end{pmatrix}^{-1} \equiv_{26} 19\begin{pmatrix}20 & -1 \\ -19 & 8\end{pmatrix}
\equiv_{26}\begin{pmatrix}380 & -19 \\ -361 & 152\end{pmatrix}
\equiv_{26}\begin{pmatrix}16 & -19 \\ -23 & 22\end{pmatrix}
\]
- \[\begin{array}{r|*{8}{|c}} Cryptogramme & J & Y & Q & K & T & D & Y & U\\\hline Codex & 9 & 24 & 16 & 10 & 19 & 3 & 24 & 20\\\hline Vecteurs & &{ \begin{pmatrix}9 \\ 24\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}16 \\ 10\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}19 \\ 3\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}24 \\ 20\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}16 & -19 \\ -23 & 22\end{pmatrix} & &{ \begin{pmatrix}-312 \\ 321\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}66 \\ -148\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}247 \\ -371\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}4 \\ -112\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{26} & &{ \begin{pmatrix}0 \\ 9\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}14 \\ 8\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}13 \\ 19\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}4 \\ 18\end{pmatrix} }\\\hline & 0 & 9 & 14 & 8 & 13 & 19 & 4 & 18\\\hline Message & A & J & O & I & N & T & E & S\end{array}\]Le message claire est \( AJOINTES \) .