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- Calculer l'inverse modulaire de $ 17$ modulo $ 26$ .
- Calculer le déterminant de la matrice $ A = \begin{pmatrix}19 & 17 \\ 10 & 3\end{pmatrix}$ .
- Expliquer pourquoi la matrice $ A $ est inversible modulo $ 26$ .
- Déterminer l'inverse de la matrice $ A $ .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 1 de clef $ A $ : $$FHRSBPLF$$
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- $$\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
26 & 17 & 9 & 1&2 & -3 \\ \hline
17 & 9 & 8 & 1&-1 & 2 \\ \hline
9 & 8 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
8 & 1 & 0 & 8&0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de $ 17$ est $ 23$ .
- D'après le cours $ det(A)= -113\equiv_{26}17$ .
- La matrice $ A $ est inversible car le déterminant est inversible modulo $ 26$ .
- D'après le cours :
$$ \begin{pmatrix}19 & 17 \\ 10 & 3\end{pmatrix}^{-1} \equiv_{26} 23\begin{pmatrix}3 & -17 \\ -10 & 19\end{pmatrix}
\equiv_{26}\begin{pmatrix}69 & -391 \\ -230 & 437\end{pmatrix}
\equiv_{26}\begin{pmatrix}17 & -1 \\ -22 & 21\end{pmatrix}
$$
- $$\begin{array}{r|*{8}{|c}} Cryptogramme & F & H & R & S & B & P & L & F\\\hline Codex & 5 & 7 & 17 & 18 & 1 & 15 & 11 & 5\\\hline Vecteurs & &{ \begin{pmatrix}5 \\ 7\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}17 \\ 18\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}1 \\ 15\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}11 \\ 5\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}17 & -1 \\ -22 & 21\end{pmatrix} & &{ \begin{pmatrix}78 \\ 37\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}271 \\ 4\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}2 \\ 293\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}182 \\ -137\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{26} & &{ \begin{pmatrix}0 \\ 11\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}11 \\ 4\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}0 \\ 19\end{pmatrix} }\\\hline & 0 & 11 & 11 & 4 & 2 & 7 & 0 & 19\\\hline Message & A & L & L & E & C & H & A & T\end{array}$$Le message claire est $ ALLECHAT $ .
