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- Calculer l'inverse modulaire de \( 23\) modulo \( 26\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}20 & 5 \\ 7 & 12\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 26\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 1 de clef \( A \) : \[WJKUDTRUFWCC\]
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- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
26 & 23 & 3 & 1&8 & -9 \\ \hline
23 & 3 & 2 & 7&-1 & 8 \\ \hline
3 & 2 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
2 & 1 & 0 & 2&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 23\) est \( 17\) .
- D'après le cours \( det(A)= 205\equiv_{26}23\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 26\) .
- D'après le cours :
\[ \begin{pmatrix}20 & 5 \\ 7 & 12\end{pmatrix}^{-1} \equiv_{26} 17\begin{pmatrix}12 & -5 \\ -7 & 20\end{pmatrix}
\equiv_{26}\begin{pmatrix}204 & -85 \\ -119 & 340\end{pmatrix}
\equiv_{26}\begin{pmatrix}22 & -7 \\ -15 & 2\end{pmatrix}
\]
- \[\begin{array}{r|*{12}{|c}} Cryptogramme & W & J & K & U & D & T & R & U & F & W & C & C\\\hline Codex & 22 & 9 & 10 & 20 & 3 & 19 & 17 & 20 & 5 & 22 & 2 & 2\\\hline Vecteurs & &{ \begin{pmatrix}22 \\ 9\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}10 \\ 20\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}3 \\ 19\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}17 \\ 20\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}5 \\ 22\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}22 & -7 \\ -15 & 2\end{pmatrix} & &{ \begin{pmatrix}421 \\ -312\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}80 \\ -110\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}-67 \\ -7\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}234 \\ -215\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}-44 \\ -31\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}30 \\ -26\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{26} & &{ \begin{pmatrix}5 \\ 0\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}2 \\ 20\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}11 \\ 19\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}0 \\ 19\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}8 \\ 21\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}4 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 5 & 0 & 2 & 20 & 11 & 19 & 0 & 19 & 8 & 21 & 4 & 0\\\hline Message & F & A & C & U & L & T & A & T & I & V & E & A\end{array}\]Le message claire est \( FACULTATIVEA \) .