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Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 15\) modulo \( 26\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}3 & 24 \\ 4 & 11\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 26\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 1 de clef \( A \) : \[BESYBBEVMDFY\]
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Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
26 & 15 & 11 & 1&-4 & 7 \\ \hline
15 & 11 & 4 & 1&3 & -4 \\ \hline
11 & 4 & 3 & 2&-1 & 3 \\ \hline
4 & 3 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
3 & 1 & 0 & 3&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 15\) est \( 7\) .
- D'après le cours \( det(A)= -63\equiv_{26}15\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 26\) .
- D'après le cours :
\[ \begin{pmatrix}3 & 24 \\ 4 & 11\end{pmatrix}^{-1} \equiv_{26} 7\begin{pmatrix}11 & -24 \\ -4 & 3\end{pmatrix}
\equiv_{26}\begin{pmatrix}77 & -168 \\ -28 & 21\end{pmatrix}
\equiv_{26}\begin{pmatrix}25 & -12 \\ -2 & 21\end{pmatrix}
\]
- \[\begin{array}{r|*{12}{|c}} Cryptogramme & B & E & S & Y & B & B & E & V & M & D & F & Y\\\hline Codex & 1 & 4 & 18 & 24 & 1 & 1 & 4 & 21 & 12 & 3 & 5 & 24\\\hline Vecteurs & &{ \begin{pmatrix}1 \\ 4\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}18 \\ 24\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}4 \\ 21\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}12 \\ 3\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}5 \\ 24\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}25 & -12 \\ -2 & 21\end{pmatrix} & &{ \begin{pmatrix}-23 \\ 82\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}162 \\ 468\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}13 \\ 19\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}-152 \\ 433\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}264 \\ 39\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}-163 \\ 494\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{26} & &{ \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}6 \\ 0\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}13 \\ 19\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}4 \\ 17\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}4 \\ 13\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}19 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 3 & 4 & 6 & 0 & 13 & 19 & 4 & 17 & 4 & 13 & 19 & 0\\\hline Message & D & E & G & A & N & T & E & R & E & N & T & A\end{array}\]Le message claire est \( DEGANTERENTA \) .