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- Calculer l'inverse modulaire de $ 23$ modulo $ 26$ .
- Calculer le déterminant de la matrice $ A = \begin{pmatrix}1 & 24 \\ 7 & 9\end{pmatrix}$ .
- Expliquer pourquoi la matrice $ A $ est inversible modulo $ 26$ .
- Déterminer l'inverse de la matrice $ A $ .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 1 de clef $ A $ : $$HXXBIE$$
Cliquer ici pour afficher la solution
- $$\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
26 & 23 & 3 & 1&8 & -9 \\ \hline
23 & 3 & 2 & 7&-1 & 8 \\ \hline
3 & 2 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
2 & 1 & 0 & 2&0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de $ 23$ est $ 17$ .
- D'après le cours $ det(A)= -159\equiv_{26}23$ .
- La matrice $ A $ est inversible car le déterminant est inversible modulo $ 26$ .
- D'après le cours :
$$ \begin{pmatrix}1 & 24 \\ 7 & 9\end{pmatrix}^{-1} \equiv_{26} 17\begin{pmatrix}9 & -24 \\ -7 & 1\end{pmatrix}
\equiv_{26}\begin{pmatrix}153 & -408 \\ -119 & 17\end{pmatrix}
\equiv_{26}\begin{pmatrix}23 & -18 \\ -15 & 17\end{pmatrix}
$$
- $$\begin{array}{r|*{6}{|c}} Cryptogramme & H & X & X & B & I & E\\\hline Codex & 7 & 23 & 23 & 1 & 8 & 4\\\hline Vecteurs & &{ \begin{pmatrix}7 \\ 23\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}23 \\ 1\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}8 \\ 4\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}23 & -18 \\ -15 & 17\end{pmatrix} & &{ \begin{pmatrix}-253 \\ 286\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}511 \\ -328\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}112 \\ -52\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{26} & &{ \begin{pmatrix}7 \\ 0\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}17 \\ 10\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}8 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 7 & 0 & 17 & 10 & 8 & 0\\\hline Message & H & A & R & K & I & A\end{array}$$Le message claire est $ HARKIA $ .
