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Exercice
- Déterminer \( PGCD(287, 2526)\) . Justifier.
- Expliquer pourquoi \( (287, 2459)\) est une clef de chiffrement du cryptosystème affine.
- Déterminer l'inverse de \( 287\) modulo \( 2526\) . Vous pourrez vous servir de la première question. Justifier.
- Par un chiffrement affine de clef \( (287, 2459)\) on a obtenu le message 1031-1229-961-2268-2257-1304-18-787-2073-358-1630-2452-2143. Quel est le message clair ? Justifier.
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Exercice
- D'après l'algorithme d'Euclide on a \( PGCD(287, 2526)=1\) :
\[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
287 & 2526 & 287 & 0&1241 & -141 \\ \hline
2526 & 287 & 230 & 8&-141 & 1241 \\ \hline
287 & 230 & 57 & 1&113 & -141 \\ \hline
230 & 57 & 2 & 4&-28 & 113 \\ \hline
57 & 2 & 1 & 28&1 & -28 \\ \hline
2 & 1 & 0 & 2&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
- Puisque le PGCD entre \( 287\) et \( 2526\) est \( 1\) alors \( (287, 2459)\) est une clef de chiffrement valide du cryptosystème affine.
- D'apres l'algorithme d'Euclide étendu (voir plus haut), on a \( 287^{-1}\equiv_{2526}1241\) .
- Pour déchiffrer on fait \( 1241(x-2459) \) .
Message : LESABSENTSONTTOUJOURSTORT
\[
\begin{array}{c|*{6}{c}}&1031&1229&961&2268&2257&1304
\\\hline x-b&-1428&-1230&-1498&-191&-202&-1155
\\\hline a^{-1}(x-b)&-1772148&-1526430&-1859018&-237031&-250682&-1433355
\\\hline \%2526&1104&1800&118&413&1918&1413
\\\hline Décodage&LE&SA&BS&EN&TS&ON
\end{array}\]
\[
\begin{array}{c|*{7}{c}}&18&787&2073&358&1630&2452&2143
\\\hline x-b&-2441&-1672&-386&-2101&-829&-7&-316
\\\hline a^{-1}(x-b)&-3029281&-2074952&-479026&-2607341&-1028789&-8687&-392156
\\\hline \%2526&1919&1420&914&2017&1819&1417&1900
\\\hline Décodage&TT&OU&JO&UR&ST&OR&TA
\end{array}\]