\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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  1. Déterminer $ PGCD(499, 2526)$ . Justifier.
  2. Expliquer pourquoi $ (499, 2219)$ est une clef de chiffrement du cryptosystème affine.
  3. Déterminer l'inverse de $ 499$ modulo $ 2526$ . Vous pourrez vous servir de la première question. Justifier.
  4. Par un chiffrement affine de clef $ (499, 2219)$ on a obtenu le message 222-1083-99-1919-451-1299-723-13-2279-284-2447-41-2265. Quel est le message clair ? Justifier.
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  1. D'après l'algorithme d'Euclide on a $ PGCD(499, 2526)=1$ : $$\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline a&b&r&q&u&v \\ \hline 499 & 2526 & 499 & 0&-815 & 161 \\ \hline 2526 & 499 & 31 & 5&161 & -815 \\ \hline 499 & 31 & 3 & 16&-10 & 161 \\ \hline 31 & 3 & 1 & 10&1 & -10 \\ \hline 3 & 1 & 0 & 3&0 & 1 \\ \hline \end{array}$$
  2. Puisque le PGCD entre $ 499$ et $ 2526$ est $ 1$ alors $ (499, 2219)$ est une clef de chiffrement valide du cryptosystème affine.
  3. D'apres l'algorithme d'Euclide étendu (voir plus haut), on a $ 499^{-1}\equiv_{2526}-815$ .
  4. Pour déchiffrer on fait $ -815(x-2219) $ . Message : ILNYAQUELAVERITEQUIBLESSE $$ \begin{array}{c|*{6}{c}}&222&1083&99&1919&451&1299 \\\hline x-b&-1997&-1136&-2120&-300&-1768&-920 \\\hline a^{-1}(x-b)&1627555&925840&1727800&244500&1440920&749800 \\\hline \%2526&811&1324&16&2004&1100&2104 \\\hline Décodage&IL&NY&AQ&UE&LA&VE \end{array}$$ $$ \begin{array}{c|*{7}{c}}&723&13&2279&284&2447&41&2265 \\\hline x-b&-1496&-2206&60&-1935&228&-2178&46 \\\hline a^{-1}(x-b)&1219240&1797890&-48900&1577025&-185820&1775070&-37490 \\\hline \%2526&1708&1904&1620&801&1104&1818&400 \\\hline Décodage&RI&TE&QU&IB&LE&SS&EA \end{array}$$