\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Exercice


  1. Déterminer \( PGCD(115, 2526)\) . Justifier.
  2. Expliquer pourquoi \( (115, 1738)\) est une clef de chiffrement du cryptosystème affine.
  3. Déterminer l'inverse de \( 115\) modulo \( 2526\) . Vous pourrez vous servir de la première question. Justifier.
  4. Par un chiffrement affine de clef \( (115, 1738)\) on a obtenu le message 1114-2461-1820-404-923-210-1150-1124-477-1929-670-1771-476. Quel est le message clair ? Justifier.
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Exercice


  1. D'après l'algorithme d'Euclide on a \( PGCD(115, 2526)=1\) : \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline a&b&r&q&u&v \\ \hline 115 & 2526 & 115 & 0&637 & -29 \\ \hline 2526 & 115 & 111 & 21&-29 & 637 \\ \hline 115 & 111 & 4 & 1&28 & -29 \\ \hline 111 & 4 & 3 & 27&-1 & 28 \\ \hline 4 & 3 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline 3 & 1 & 0 & 3&0 & 1 \\ \hline \end{array}\]
  2. Puisque le PGCD entre \( 115\) et \( 2526\) est \( 1\) alors \( (115, 1738)\) est une clef de chiffrement valide du cryptosystème affine.
  3. D'apres l'algorithme d'Euclide étendu (voir plus haut), on a \( 115^{-1}\equiv_{2526}637\) .
  4. Pour déchiffrer on fait \( 637(x-1738) \) . Message : QUITROPEMBRASSEMALETREINT \[ \begin{array}{c|*{6}{c}}&1114&2461&1820&404&923&210 \\\hline x-b&-624&723&82&-1334&-815&-1528 \\\hline a^{-1}(x-b)&-397488&460551&52234&-849758&-519155&-973336 \\\hline \%2526&1620&819&1714&1504&1201&1700 \\\hline Décodage&QU&IT&RO&PE&MB&RA \end{array}\] \[ \begin{array}{c|*{7}{c}}&1150&1124&477&1929&670&1771&476 \\\hline x-b&-588&-614&-1261&191&-1068&33&-1262 \\\hline a^{-1}(x-b)&-374556&-391118&-803257&121667&-680316&21021&-803894 \\\hline \%2526&1818&412&11&419&1704&813&1900 \\\hline Décodage&SS&EM&AL&ET&RE&IN&TA \end{array}\]