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Exercice
- Déterminer \( PGCD(211, 2526)\) . Justifier.
- Expliquer pourquoi \( (211, 2107)\) est une clef de chiffrement du cryptosystème affine.
- Déterminer l'inverse de \( 211\) modulo \( 2526\) . Vous pourrez vous servir de la première question. Justifier.
- Par un chiffrement affine de clef \( (211, 2107)\) on a obtenu le message 2482-1201-187-1895-2324-481-855-840-2217-1964-2482-2243-378-481-2345-575-30-481. Quel est le message clair ? Justifier.
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Exercice
- D'après l'algorithme d'Euclide on a \( PGCD(211, 2526)=1\) :
\[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
211 & 2526 & 211 & 0&-419 & 35 \\ \hline
2526 & 211 & 205 & 11&35 & -419 \\ \hline
211 & 205 & 6 & 1&-34 & 35 \\ \hline
205 & 6 & 1 & 34&1 & -34 \\ \hline
6 & 1 & 0 & 6&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
- Puisque le PGCD entre \( 211\) et \( 2526\) est \( 1\) alors \( (211, 2107)\) est une clef de chiffrement valide du cryptosystème affine.
- D'apres l'algorithme d'Euclide étendu (voir plus haut), on a \( 211^{-1}\equiv_{2526}-419\) .
- Pour déchiffrer on fait \( -419(x-2107) \) .
Message : UNHOMMESANSARGENTESTUNLOUPSANSDENTS
\[
\begin{array}{c|*{9}{c}}&2482&1201&187&1895&2324&481&855&840&2217
\\\hline x-b&375&-906&-1920&-212&217&-1626&-1252&-1267&110
\\\hline a^{-1}(x-b)&-157125&379614&804480&88828&-90923&681294&524588&530873&-46090
\\\hline \%2526&2013&714&1212&418&13&1800&1706&413&1904
\\\hline Décodage&UN&HO&MM&ES&AN&SA&RG&EN&TE
\end{array}\]
\[
\begin{array}{c|*{9}{c}}&1964&2482&2243&378&481&2345&575&30&481
\\\hline x-b&-143&375&136&-1729&-1626&238&-1532&-2077&-1626
\\\hline a^{-1}(x-b)&59917&-157125&-56984&724451&681294&-99722&641908&870263&681294
\\\hline \%2526&1819&2013&1114&2015&1800&1318&304&1319&1800
\\\hline Décodage&ST&UN&LO&UP&SA&NS&DE&NT&SA
\end{array}\]