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Exercice
- Déterminer \( PGCD(415, 2526)\) . Justifier.
- Expliquer pourquoi \( (415, 329)\) est une clef de chiffrement du cryptosystème affine.
- Déterminer l'inverse de \( 415\) modulo \( 2526\) . Vous pourrez vous servir de la première question. Justifier.
- Par un chiffrement affine de clef \( (415, 329)\) on a obtenu le message 713-34-335-230-2404-1766-2019-2108-1283-2087-205-2482-2159. Quel est le message clair ? Justifier.
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Exercice
- D'après l'algorithme d'Euclide on a \( PGCD(415, 2526)=1\) :
\[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
415 & 2526 & 415 & 0&-1193 & 196 \\ \hline
2526 & 415 & 36 & 6&196 & -1193 \\ \hline
415 & 36 & 19 & 11&-17 & 196 \\ \hline
36 & 19 & 17 & 1&9 & -17 \\ \hline
19 & 17 & 2 & 1&-8 & 9 \\ \hline
17 & 2 & 1 & 8&1 & -8 \\ \hline
2 & 1 & 0 & 2&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
- Puisque le PGCD entre \( 415\) et \( 2526\) est \( 1\) alors \( (415, 329)\) est une clef de chiffrement valide du cryptosystème affine.
- D'apres l'algorithme d'Euclide étendu (voir plus haut), on a \( 415^{-1}\equiv_{2526}-1193\) .
- Pour déchiffrer on fait \( -1193(x-329) \) .
Message : QUIVEUTLAFINVEUTLESMOYENS
\[
\begin{array}{c|*{6}{c}}&713&34&335&230&2404&1766
\\\hline x-b&384&-295&6&-99&2075&1437
\\\hline a^{-1}(x-b)&-458112&351935&-7158&118107&-2475475&-1714341
\\\hline \%2526&1620&821&420&1911&5&813
\\\hline Décodage&QU&IV&EU&TL&AF&IN
\end{array}\]
\[
\begin{array}{c|*{7}{c}}&2019&2108&1283&2087&205&2482&2159
\\\hline x-b&1690&1779&954&1758&-124&2153&1830
\\\hline a^{-1}(x-b)&-2016170&-2122347&-1138122&-2097294&147932&-2568529&-2183190
\\\hline \%2526&2104&2019&1104&1812&1424&413&1800
\\\hline Décodage&VE&UT&LE&SM&OY&EN&SA
\end{array}\]