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Exercice
- Déterminer \( PGCD(311, 2526)\) . Justifier.
- Expliquer pourquoi \( (311, 849)\) est une clef de chiffrement du cryptosystème affine.
- Déterminer l'inverse de \( 311\) modulo \( 2526\) . Vous pourrez vous servir de la première question. Justifier.
- Par un chiffrement affine de clef \( (311, 849)\) on a obtenu le message 163-117-244-2017-1522-466-2336-1995-2097-419-1577-1615. Quel est le message clair ? Justifier.
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Exercice
- D'après l'algorithme d'Euclide on a \( PGCD(311, 2526)=1\) :
\[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
311 & 2526 & 311 & 0&731 & -90 \\ \hline
2526 & 311 & 38 & 8&-90 & 731 \\ \hline
311 & 38 & 7 & 8&11 & -90 \\ \hline
38 & 7 & 3 & 5&-2 & 11 \\ \hline
7 & 3 & 1 & 2&1 & -2 \\ \hline
3 & 1 & 0 & 3&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
- Puisque le PGCD entre \( 311\) et \( 2526\) est \( 1\) alors \( (311, 849)\) est une clef de chiffrement valide du cryptosystème affine.
- D'apres l'algorithme d'Euclide étendu (voir plus haut), on a \( 311^{-1}\equiv_{2526}731\) .
- Pour déchiffrer on fait \( 731(x-849) \) .
Message : MIEUXVAUTTENIRQUECOURIR
\[
\begin{array}{c|*{6}{c}}&163&117&244&2017&1522&466
\\\hline x-b&-686&-732&-605&1168&673&-383
\\\hline a^{-1}(x-b)&-501466&-535092&-442255&853808&491963&-279973
\\\hline \%2526&1208&420&2321&20&1919&413
\\\hline Décodage&MI&EU&XV&AU&TT&EN
\end{array}\]
\[
\begin{array}{c|*{6}{c}}&2336&1995&2097&419&1577&1615
\\\hline x-b&1487&1146&1248&-430&728&766
\\\hline a^{-1}(x-b)&1086997&837726&912288&-314330&532168&559946
\\\hline \%2526&817&1620&402&1420&1708&1700
\\\hline Décodage&IR&QU&EC&OU&RI&RA
\end{array}\]