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Exercice
Soit \(
M=
\begin{pmatrix}19 & 2 \\ 0 & 11\end{pmatrix}
\)
- Calculs dans \( \R\) .
-
- Donnez \( \det(M)\) .
- Donner \( Co(M)\) la matrice des cofacteurs
de \( M\) .
- Donner, en tant que matrice réelle, l'inverse de la matrice \( M\) .
- Calculs dans \( \Z/26\Z\) .
-
-
Expliquez pourquoi le déterminant de la matrice \( M\) est inversible modulo \( 26\) et déterminez son inverse modulaire modulo \( 26\) .
- En déduire, en tant que matrice modulaire, l'inverse de \( M\) modulo \( 26\) .
- Application : un chiffrement de Hill de clef \( M\) a été utilisé (avec le codex pédagogique \( A=0\) , ..., \( Z=25\) ), pour obtenir le cryptogramme suivant. Quelle est le message claire ?
\[ ZYUWLSYA \]
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Exercice
- Calculs dans \( \R\) .
-
- En appliquant la règle du gamma, on trouve
\[ det(M)=19\times 11-0\times 2=209\]
- En appliquant la formule :
\begin{eqnarray*}
Co(M)&=&
\begin{pmatrix}
{\color{red}+}
\left|
\begin{array}{c}
11
\end{array}
\right|
&
{\color{red}-}
\left|
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\right|
\\
{\color{red}-}
\left|
\begin{array}{c}
2
\end{array}
\right|
&
{\color{red}+}
\left|
\begin{array}{c}
19
\end{array}
\right|
\end{pmatrix}\\
&=&
\begin{pmatrix}11 & 0 \\ -2 & 19\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
- L'inverse d'une matrice \( X\) est donné par la formule \( X=(det(X))^{-1}{^t}Co(X)\) . Dans ce cas, puisque le déterminant est non nul :
\begin{eqnarray*}
M^{-1}&=&
\dfrac{1}{209}
\begin{pmatrix}11 & -2 \\ 0 & 19\end{pmatrix}\\
&=&
\begin{pmatrix}\dfrac{1}{19} & -\dfrac{2}{209} \\ 0 & \dfrac{1}{11}\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
- Calculs dans \( \Z/26\Z\) .
-
- Pour que \( \det(M)=209\) soit inversible modulo \( 26\) il faut et il suffit que son PGCD avec \( 26\) soit \( 1\) (autrement : il faut et il suffit que \( 21\) et \( 26\) soient premiers entre eux).
\[
\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
26 & 209 & 26 & 0&-8 & 1 \\ \hline
209 & 26 & 1 & 8&1 & -8 \\ \hline
26 & 1 & 0 & 26&0 & 1 \\ \hline
\end{array}
\]
L'algorithme d'Euclide appliqué ci dessus prouve que \( PGCD(209, 26)=1\) (dernière valeur dans la colonne \( b\) ). De plus l'algorithme d'Euclide étendue donner \( 209^{-1}\equiv_{26}1\) (première valeur dans la colonne de \( v\) ).
- Pour l'inverse d'une matrice modulaire, on raisonne de la même manière que pour les matrices réelles à ceci près qu'il faut appliquer l'inverse modulaire du déterminant que nous avons précédemment calculé. Cela donne donc
\begin{eqnarray*}
M^{-1}&\equiv_{26}&
(209)^{-1}\begin{pmatrix}11 & -2 \\ 0 & 19\end{pmatrix}\\
&\equiv_{26}&
1\begin{pmatrix}11 & -2 \\ 0 & 19\end{pmatrix}
\\
&\equiv_{26}&
\begin{pmatrix}11 & -2 \\ 0 & 19\end{pmatrix}\\
&\equiv_{26}&
\begin{pmatrix}11 & 24 \\ 0 & 19\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
- Appliquons le processus de déchiffrement de Hill
\[
\begin{array}{r|*{8}{c}}
Cara & Z & Y & U & W & L & S & Y & A\\\hline
Codex & 25 & 24 & 20 & 22 & 11 & 18 & 24 & 0\\\hline
X & &{(^{25}_{24})} & &{(^{20}_{22})} & &{(^{11}_{18})} & &{(^{24}_{0})}\\\hline
M^{-1}X & &{(^{523}_{264})} & &{(^{424}_{242})} & &{(^{245}_{198})} & &{(^{456}_{0})}\\\hline
\equiv_{26} & &{(^{19}_{14})} & &{(^{20}_{2})} & &{(^{7}_{4})} & &{(^{4}_{0})}\\\hline
Depaq & 19 & 14 & 20 & 2 & 7 & 4 & 4 & 0\\\hline
Cara & T & O & U & C & H & E & E & A
\end{array}
\]
Le message claire est \( TOUCHEEA\) (touchee).
