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Soit \(
M=
\begin{pmatrix}9 & 10 \\ 0 & 21\end{pmatrix}
\)
- Calculs dans \( \R\) .
-
- Donnez \( \det(M)\) .
- Donner \( Co(M)\) la matrice des cofacteurs
de \( M\) .
- Donner, en tant que matrice réelle, l'inverse de la matrice \( M\) .
- Calculs dans \( \Z/26\Z\) .
-
-
Expliquez pourquoi le déterminant de la matrice \( M\) est inversible modulo \( 26\) et déterminez son inverse modulaire modulo \( 26\) .
- En déduire, en tant que matrice modulaire, l'inverse de \( M\) modulo \( 26\) .
- Application : un chiffrement de Hill de clef \( M\) a été utilisé (avec le codex pédagogique \( A=0\) , ..., \( Z=25\) ), pour obtenir le cryptogramme suivant. Quelle est le message claire ?
\[ YTMIPAEOKNPA \]
Cliquer ici pour afficher la solution
- Calculs dans \( \R\) .
-
- En appliquant la règle du gamma, on trouve
\[ det(M)=9\times 21-0\times 10=189\]
- En appliquant la formule :
\begin{eqnarray*}
Co(M)&=&
\begin{pmatrix}
{\color{red}+}
\left|
\begin{array}{c}
21
\end{array}
\right|
&
{\color{red}-}
\left|
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\right|
\\
{\color{red}-}
\left|
\begin{array}{c}
10
\end{array}
\right|
&
{\color{red}+}
\left|
\begin{array}{c}
9
\end{array}
\right|
\end{pmatrix}\\
&=&
\begin{pmatrix}21 & 0 \\ -10 & 9\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
- L'inverse d'une matrice \( X\) est donné par la formule \( X=(det(X))^{-1}{^t}Co(X)\) . Dans ce cas, puisque le déterminant est non nul :
\begin{eqnarray*}
M^{-1}&=&
\dfrac{1}{189}
\begin{pmatrix}21 & -10 \\ 0 & 9\end{pmatrix}\\
&=&
\begin{pmatrix}\dfrac{1}{9} & -\dfrac{10}{189} \\ 0 & \dfrac{1}{21}\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
- Calculs dans \( \Z/26\Z\) .
-
- Pour que \( \det(M)=189\) soit inversible modulo \( 26\) il faut et il suffit que son PGCD avec \( 26\) soit \( 1\) (autrement : il faut et il suffit que \( 21\) et \( 26\) soient premiers entre eux).
\[
\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
26 & 189 & 26 & 0&80 & -11 \\ \hline
189 & 26 & 7 & 7&-11 & 80 \\ \hline
26 & 7 & 5 & 3&3 & -11 \\ \hline
7 & 5 & 2 & 1&-2 & 3 \\ \hline
5 & 2 & 1 & 2&1 & -2 \\ \hline
2 & 1 & 0 & 2&0 & 1 \\ \hline
\end{array}
\]
L'algorithme d'Euclide appliqué ci dessus prouve que \( PGCD(189, 26)=1\) (dernière valeur dans la colonne \( b\) ). De plus l'algorithme d'Euclide étendue donner \( 189^{-1}\equiv_{26}-11\) (première valeur dans la colonne de \( v\) ).
- Pour l'inverse d'une matrice modulaire, on raisonne de la même manière que pour les matrices réelles à ceci près qu'il faut appliquer l'inverse modulaire du déterminant que nous avons précédemment calculé. Cela donne donc
\begin{eqnarray*}
M^{-1}&\equiv_{26}&
(189)^{-1}\begin{pmatrix}21 & -10 \\ 0 & 9\end{pmatrix}\\
&\equiv_{26}&
-11\begin{pmatrix}21 & -10 \\ 0 & 9\end{pmatrix}
\\
&\equiv_{26}&
\begin{pmatrix}-231 & 110 \\ 0 & -99\end{pmatrix}\\
&\equiv_{26}&
\begin{pmatrix}3 & 6 \\ 0 & 5\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
- Appliquons le processus de déchiffrement de Hill
\[
\begin{array}{r|*{12}{c}}
Cara & Y & T & M & I & P & A & E & O & K & N & P & A\\\hline
Codex & 24 & 19 & 12 & 8 & 15 & 0 & 4 & 14 & 10 & 13 & 15 & 0\\\hline
X & &{(^{24}_{19})} & &{(^{12}_{8})} & &{(^{15}_{0})} & &{(^{4}_{14})} & &{(^{10}_{13})} & &{(^{15}_{0})}\\\hline
M^{-1}X & &{(^{406}_{399})} & &{(^{188}_{168})} & &{(^{135}_{0})} & &{(^{176}_{294})} & &{(^{220}_{273})} & &{(^{135}_{0})}\\\hline
\equiv_{26} & &{(^{4}_{17})} & &{(^{6}_{14})} & &{(^{19}_{0})} & &{(^{18}_{18})} & &{(^{4}_{13})} & &{(^{19}_{0})}\\\hline
Depaq & 4 & 17 & 6 & 14 & 19 & 0 & 18 & 18 & 4 & 13 & 19 & 0\\\hline
Cara & E & R & G & O & T & A & S & S & E & N & T & A
\end{array}
\]
Le message claire est \( ERGOTASSENTA\) (ergotassent).