\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Soit $ M= \begin{pmatrix}23 & 14 \\ 0 & 25\end{pmatrix} $
Calculs dans $ \R$ .
  1. Donnez $ \det(M)$ .
  2. Donner $ Co(M)$ la matrice des cofacteurs
    de $ M$ .
  3. Donner, en tant que matrice réelle, l'inverse de la matrice $ M$ .

Calculs dans $ \Z/26\Z$ .
  1. Expliquez pourquoi le déterminant de la matrice $ M$ est inversible modulo $ 26$ et déterminez son inverse modulaire modulo $ 26$ .
  2. En déduire, en tant que matrice modulaire, l'inverse de $ M$ modulo $ 26$ .
  3. Application : un chiffrement de Hill de clef $ M$ a été utilisé (avec le codex pédagogique $ A=0$ , ..., $ Z=25$ ), pour obtenir le cryptogramme suivant. Quelle est le message claire ? $$ EJCYFNSWFI $$
Cliquer ici pour afficher la solution
Calculs dans $ \R$ .
  1. En appliquant la règle du gamma, on trouve $$ det(M)=23\times 25-0\times 14=575$$
  2. En appliquant la formule : \begin{eqnarray*} Co(M)&=& \begin{pmatrix} {\color{red}+} \left| \begin{array}{c} 25 \end{array} \right| & {\color{red}-} \left| \begin{array}{c} 0 \end{array} \right| \\ {\color{red}-} \left| \begin{array}{c} 14 \end{array} \right| & {\color{red}+} \left| \begin{array}{c} 23 \end{array} \right| \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix}25 & 0 \\ -14 & 23\end{pmatrix} \end{eqnarray*}
  3. L'inverse d'une matrice $ X$ est donné par la formule $ X=(det(X))^{-1}{^t}Co(X)$ . Dans ce cas, puisque le déterminant est non nul : \begin{eqnarray*} M^{-1}&=& \dfrac{1}{575} \begin{pmatrix}25 & -14 \\ 0 & 23\end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix}\dfrac{1}{23} & -\dfrac{14}{575} \\ 0 & \dfrac{1}{25}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}

Calculs dans $ \Z/26\Z$ .
  1. Pour que $ \det(M)=575$ soit inversible modulo $ 26$ il faut et il suffit que son PGCD avec $ 26$ soit $ 1$ (autrement : il faut et il suffit que $ 21$ et $ 26$ soient premiers entre eux). $$ \begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline a&b&r&q&u&v \\ \hline 26 & 575 & 26 & 0&-199 & 9 \\ \hline 575 & 26 & 3 & 22&9 & -199 \\ \hline 26 & 3 & 2 & 8&-1 & 9 \\ \hline 3 & 2 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline 2 & 1 & 0 & 2&0 & 1 \\ \hline \end{array} $$ L'algorithme d'Euclide appliqué ci dessus prouve que $ PGCD(575, 26)=1$ (dernière valeur dans la colonne $ b$ ). De plus l'algorithme d'Euclide étendue donner $ 575^{-1}\equiv_{26}9$ (première valeur dans la colonne de $ v$ ).
  2. Pour l'inverse d'une matrice modulaire, on raisonne de la même manière que pour les matrices réelles à ceci près qu'il faut appliquer l'inverse modulaire du déterminant que nous avons précédemment calculé. Cela donne donc \begin{eqnarray*} M^{-1}&\equiv_{26}& (575)^{-1}\begin{pmatrix}25 & -14 \\ 0 & 23\end{pmatrix}\\ &\equiv_{26}& 9\begin{pmatrix}25 & -14 \\ 0 & 23\end{pmatrix} \\ &\equiv_{26}& \begin{pmatrix}225 & -126 \\ 0 & 207\end{pmatrix}\\ &\equiv_{26}& \begin{pmatrix}17 & 4 \\ 0 & 25\end{pmatrix} \end{eqnarray*}
  3. Appliquons le processus de déchiffrement de Hill $$ \begin{array}{r|*{10}{c}} Cara & E & J & C & Y & F & N & S & W & F & I\\\hline Codex & 4 & 9 & 2 & 24 & 5 & 13 & 18 & 22 & 5 & 8\\\hline X & &{(^{4}_{9})} & &{(^{2}_{24})} & &{(^{5}_{13})} & &{(^{18}_{22})} & &{(^{5}_{8})}\\\hline M^{-1}X & &{(^{218}_{225})} & &{(^{382}_{600})} & &{(^{297}_{325})} & &{(^{722}_{550})} & &{(^{227}_{200})}\\\hline \equiv_{26} & &{(^{0}_{17})} & &{(^{0}_{2})} & &{(^{7}_{13})} & &{(^{4}_{4})} & &{(^{13}_{18})}\\\hline Depaq & 0 & 17 & 0 & 2 & 7 & 13 & 4 & 4 & 13 & 18\\\hline Cara & A & R & A & C & H & N & E & E & N & S \end{array} $$ Le message claire est $ ARACHNEENS$ (arachneens).