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Exercice
Soit \(
M=
\begin{pmatrix}17 & 21 \\ 0 & 3\end{pmatrix}
\)
- Calculs dans \( \R\) .
-
- Donnez \( \det(M)\) .
- Donner \( Co(M)\) la matrice des cofacteurs
de \( M\) .
- Donner, en tant que matrice réelle, l'inverse de la matrice \( M\) .
- Calculs dans \( \Z/26\Z\) .
-
-
Expliquez pourquoi le déterminant de la matrice \( M\) est inversible modulo \( 26\) et déterminez son inverse modulaire modulo \( 26\) .
- En déduire, en tant que matrice modulaire, l'inverse de \( M\) modulo \( 26\) .
- Application : un chiffrement de Hill de clef \( M\) a été utilisé (avec le codex pédagogique \( A=0\) , ..., \( Z=25\) ), pour obtenir le cryptogramme suivant. Quelle est le message claire ?
\[ DAZTRNUA \]
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Exercice
- Calculs dans \( \R\) .
-
- En appliquant la règle du gamma, on trouve
\[ det(M)=17\times 3-0\times 21=51\]
- En appliquant la formule :
\begin{eqnarray*}
Co(M)&=&
\begin{pmatrix}
{\color{red}+}
\left|
\begin{array}{c}
3
\end{array}
\right|
&
{\color{red}-}
\left|
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\right|
\\
{\color{red}-}
\left|
\begin{array}{c}
21
\end{array}
\right|
&
{\color{red}+}
\left|
\begin{array}{c}
17
\end{array}
\right|
\end{pmatrix}\\
&=&
\begin{pmatrix}3 & 0 \\ -21 & 17\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
- L'inverse d'une matrice \( X\) est donné par la formule \( X=(det(X))^{-1}{^t}Co(X)\) . Dans ce cas, puisque le déterminant est non nul :
\begin{eqnarray*}
M^{-1}&=&
\dfrac{1}{51}
\begin{pmatrix}3 & -21 \\ 0 & 17\end{pmatrix}\\
&=&
\begin{pmatrix}\dfrac{1}{17} & -\dfrac{7}{17} \\ 0 & \dfrac{1}{3}\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
- Calculs dans \( \Z/26\Z\) .
-
- Pour que \( \det(M)=51\) soit inversible modulo \( 26\) il faut et il suffit que son PGCD avec \( 26\) soit \( 1\) (autrement : il faut et il suffit que \( 21\) et \( 26\) soient premiers entre eux).
\[
\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
26 & 51 & 26 & 0&2 & -1 \\ \hline
51 & 26 & 25 & 1&-1 & 2 \\ \hline
26 & 25 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
25 & 1 & 0 & 25&0 & 1 \\ \hline
\end{array}
\]
L'algorithme d'Euclide appliqué ci dessus prouve que \( PGCD(51, 26)=1\) (dernière valeur dans la colonne \( b\) ). De plus l'algorithme d'Euclide étendue donner \( 51^{-1}\equiv_{26}-1\) (première valeur dans la colonne de \( v\) ).
- Pour l'inverse d'une matrice modulaire, on raisonne de la même manière que pour les matrices réelles à ceci près qu'il faut appliquer l'inverse modulaire du déterminant que nous avons précédemment calculé. Cela donne donc
\begin{eqnarray*}
M^{-1}&\equiv_{26}&
(51)^{-1}\begin{pmatrix}3 & -21 \\ 0 & 17\end{pmatrix}\\
&\equiv_{26}&
-1\begin{pmatrix}3 & -21 \\ 0 & 17\end{pmatrix}
\\
&\equiv_{26}&
\begin{pmatrix}-3 & 21 \\ 0 & -17\end{pmatrix}\\
&\equiv_{26}&
\begin{pmatrix}23 & 21 \\ 0 & 9\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
- Appliquons le processus de déchiffrement de Hill
\[
\begin{array}{r|*{8}{c}}
Cara & D & A & Z & T & R & N & U & A\\\hline
Codex & 3 & 0 & 25 & 19 & 17 & 13 & 20 & 0\\\hline
X & &{(^{3}_{0})} & &{(^{25}_{19})} & &{(^{17}_{13})} & &{(^{20}_{0})}\\\hline
M^{-1}X & &{(^{51}_{0})} & &{(^{824}_{57})} & &{(^{562}_{39})} & &{(^{340}_{0})}\\\hline
\equiv_{26} & &{(^{17}_{0})} & &{(^{12}_{15})} & &{(^{14}_{13})} & &{(^{18}_{0})}\\\hline
Depaq & 17 & 0 & 12 & 15 & 14 & 13 & 18 & 0\\\hline
Cara & R & A & M & P & O & N & S & A
\end{array}
\]
Le message claire est \( RAMPONSA\) (rampons).
