L'exercice suivant est automatiquement et aléatoirement généré par ataraXy.
Si vous regénérez la page (F5) les valeurs seront changées.
La correction se trouve en bas de page.
Exercice
Soit \(
M=
\begin{pmatrix}1 & 24 \\ 0 & 23\end{pmatrix}
\)
- Calculs dans \( \R\) .
-
- Donnez \( \det(M)\) .
- Donner \( Co(M)\) la matrice des cofacteurs
de \( M\) .
- Donner, en tant que matrice réelle, l'inverse de la matrice \( M\) .
- Calculs dans \( \Z/26\Z\) .
-
-
Expliquez pourquoi le déterminant de la matrice \( M\) est inversible modulo \( 26\) et déterminez son inverse modulaire modulo \( 26\) .
- En déduire, en tant que matrice modulaire, l'inverse de \( M\) modulo \( 26\) .
- Application : un chiffrement de Hill de clef \( M\) a été utilisé (avec le codex pédagogique \( A=0\) , ..., \( Z=25\) ), pour obtenir le cryptogramme suivant. Quelle est le message claire ?
\[ AHASKOMB \]
Cliquer ici pour afficher la solution
Exercice
- Calculs dans \( \R\) .
-
- En appliquant la règle du gamma, on trouve
\[ det(M)=1\times 23-0\times 24=23\]
- En appliquant la formule :
\begin{eqnarray*}
Co(M)&=&
\begin{pmatrix}
{\color{red}+}
\left|
\begin{array}{c}
23
\end{array}
\right|
&
{\color{red}-}
\left|
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\right|
\\
{\color{red}-}
\left|
\begin{array}{c}
24
\end{array}
\right|
&
{\color{red}+}
\left|
\begin{array}{c}
1
\end{array}
\right|
\end{pmatrix}\\
&=&
\begin{pmatrix}23 & 0 \\ -24 & 1\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
- L'inverse d'une matrice \( X\) est donné par la formule \( X=(det(X))^{-1}{^t}Co(X)\) . Dans ce cas, puisque le déterminant est non nul :
\begin{eqnarray*}
M^{-1}&=&
\dfrac{1}{23}
\begin{pmatrix}23 & -24 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\\
&=&
\begin{pmatrix}1 & -\dfrac{24}{23} \\ 0 & \dfrac{1}{23}\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
- Calculs dans \( \Z/26\Z\) .
-
- Pour que \( \det(M)=23\) soit inversible modulo \( 26\) il faut et il suffit que son PGCD avec \( 26\) soit \( 1\) (autrement : il faut et il suffit que \( 21\) et \( 26\) soient premiers entre eux).
\[
\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
26 & 23 & 3 & 1&8 & -9 \\ \hline
23 & 3 & 2 & 7&-1 & 8 \\ \hline
3 & 2 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
2 & 1 & 0 & 2&0 & 1 \\ \hline
\end{array}
\]
L'algorithme d'Euclide appliqué ci dessus prouve que \( PGCD(23, 26)=1\) (dernière valeur dans la colonne \( b\) ). De plus l'algorithme d'Euclide étendue donner \( 23^{-1}\equiv_{26}-9\) (première valeur dans la colonne de \( v\) ).
- Pour l'inverse d'une matrice modulaire, on raisonne de la même manière que pour les matrices réelles à ceci près qu'il faut appliquer l'inverse modulaire du déterminant que nous avons précédemment calculé. Cela donne donc
\begin{eqnarray*}
M^{-1}&\equiv_{26}&
(23)^{-1}\begin{pmatrix}23 & -24 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\\
&\equiv_{26}&
-9\begin{pmatrix}23 & -24 \\ 0 & 1\end{pmatrix}
\\
&\equiv_{26}&
\begin{pmatrix}-207 & 216 \\ 0 & -9\end{pmatrix}\\
&\equiv_{26}&
\begin{pmatrix}1 & 8 \\ 0 & 17\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
- Appliquons le processus de déchiffrement de Hill
\[
\begin{array}{r|*{8}{c}}
Cara & A & H & A & S & K & O & M & B\\\hline
Codex & 0 & 7 & 0 & 18 & 10 & 14 & 12 & 1\\\hline
X & &{(^{0}_{7})} & &{(^{0}_{18})} & &{(^{10}_{14})} & &{(^{12}_{1})}\\\hline
M^{-1}X & &{(^{168}_{161})} & &{(^{432}_{414})} & &{(^{346}_{322})} & &{(^{36}_{23})}\\\hline
\equiv_{26} & &{(^{4}_{15})} & &{(^{14}_{20})} & &{(^{18}_{4})} & &{(^{20}_{17})}\\\hline
Depaq & 4 & 15 & 14 & 20 & 18 & 4 & 20 & 17\\\hline
Cara & E & P & O & U & S & E & U & R
\end{array}
\]
Le message claire est \( EPOUSEUR\) (epouseur).
