\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Un langage sera appelé rationnel s'il découle d'un langage simple (rien, un mot, un ensemble fini de mot etc) et d'opérations sur les langages (union, concaténation, étoile de Kleene). Ce sont de ces langages dont nous allons chercher les REGEX.

Définition


Soit \( \Sigma\) un alphabet. On note \( LR(\Sigma)\) l'ensemble des langages rationnels construit de la manière suivante. \begin{eqnarray*} & &\varnothing\in LR(\Sigma)\\ & &\{\varepsilon\}\in LR(\Sigma)\\ \forall x\in \Sigma & & \{x\}\in LR(\Sigma)\\ \forall L_1, L_2\in LR(\Sigma) & & L_1\cup L_2 \in LR(\Sigma)\\ \forall L_1, L_2\in LR(\Sigma) & & L_1L_2 \in LR(\Sigma)\\ \forall L\in LR(\Sigma) & & L^* \in LR(\Sigma) \end{eqnarray*}

Remarque

Une autre manière de lire cette définition est :
  1. L'ensemble vide est un langage rationnel
  2. Le mot vide est un langage rationnel
  3. Toutes les lettres sont des langages rationnels
  4. L'union de langage rationnel est un langage rationnel
  5. La concaténation de langage rationnel est un langage rationnel
  6. L'étoile de Kleene de langage rationnel est un langage rationnel.

Remarque

ATTENTION : \( LR(\Sigma)\) est l'ensemble des langages rationnels. C'est donc un ensemble d'ensemble.

Exercice


Décrire \( LR(\varnothing)\) , \( LR(\{\varnothing\})\) et \( LR(\{a\})\) .

Proposition


Soient \( \Sigma\) un alphabet et \( m\in \Sigma^{*}\) un mot alors \( \{m\}\in LR(\Sigma)\)
L'Exercice suivant permet de réaliser la démonstration.

Exercice


Démontrer la proposition précédente par récurrence sur la taille du mot \( m\) .

Proposition


Soient \( \Sigma\) un alphabet et \( L\subseteq \Sigma^*\) un langage de cardinalité fini alors \( L\in LR(\Sigma)\)
L'Exercice suivant permet de réaliser la démonstration.

Exercice


Démontrer la proposition précédente par récurrence sur la cardinalité de \( L\) .

Exercice


La réciproque de cette proposition est-elle vraie ?