Définition
Un
espace vectoriel sur \( \R\) , ou \( \R\) -espace vectoriel, abrégé par \( \R\) -ev, est la donné d'un triplet \( (E, +, \cdot)\) où
- \( \bullet\)
- \( E\) est un ensemble, dont les éléments sont appelés vecteurs et noté avec une flèche (par exemple \( \overrightarrow{x}\) ),
- \( \bullet\)
- \( +: E\times E\mapsto E\) est une application appelé loi de composition interne, dont on simplifiera la notation \( +(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y})\) par \( \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\)
- \( \bullet\)
- \( \cdot: \R\times E\mapsto E\) est une application appelé loi de composition externe, dont on simplifiera la notation \( \cdot(\lambda, \overrightarrow{x})\) par \( \lambda\cdot\overrightarrow{x}\) .
Ces données satisfaisants les règles "
CANSADU" :
- Commutativité.
- \( \forall \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}\in E,\ \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=\overrightarrow{y}+\overrightarrow{x}\)
- Associativité.
- \( \forall \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z}\in E,\ (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})+\overrightarrow{z}=\overrightarrow{x}+(\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z})\)
- Neutre.
- \( \exists \overrightarrow{0}\in E, \forall \overrightarrow{x}\in E,\ \overrightarrow{x}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{x}\)
- Symétrie.
- \( \forall \overrightarrow{x}\in E,\ \exists \overrightarrow{y}\in E, \ \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=\overrightarrow{0}\)
- Associativité.
- \( \forall \lambda, \mu\in \R, \forall\overrightarrow{x}\in E,\ \lambda\cdot(\mu\cdot\overrightarrow{x})=(\lambda\mu)\cdot \overrightarrow{x}\)
- Distributivité.
- \( \forall \lambda, \mu\in \R, \forall\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}\in E, \Big(\lambda\cdot(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda\cdot\overrightarrow{x}+\lambda\cdot\overrightarrow{y}\Big)\wedge\Big((\lambda+\mu)\cdot\overrightarrow{x}=\lambda\cdot\overrightarrow{x}+\mu\cdot\overrightarrow{y}\Big)\)
- Unité.
- \( \forall \overrightarrow{x} \in E, \ 1\cdot\overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}\)
Par exemple considérons le plan réel \( \dpl{\R^2=\left\{\overrightarrow{a} =(^x_y)\Big|x, y\in \R\right\}}\) munit des opérations suivantes :
- Loi de composition interne :
- \( (^x_y)+(^a_b)=(^{a+x}_{b+y})\)
- Loi de composition externe :
- \( \lambda\cdot(^x_y)=(^{\lambda x}_{\lambda y})\)
est un \( \R\) -ev.
On peut de même définir le \( \R\) -ev \( \R^n\) formé des vecteurs de la forme \(
\begin{pmatrix}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix}
\)
où l'addition et la multiplication scalaire est semblable à celle précédemment introduite.
Remarque
On pourrait replacer \( \R\) par \( \C\) voir même \( \Q\) ou par n'importe quel ensemble portant une structure algébrique particulière : être un corps.
Remarque
On prendra garde aux notations, \( \lambda\cdot\overrightarrow{x}\) correspond à la lois de composition externe tandis que \( \lambda\mu\) est la multiplication de \( \R\) . On aura la même vigilance pour le \( +\) .
Proposition
Soit \( E\) un \( \R\) -ev, \( \overrightarrow{y}\in E\) et \( \lambda\in \R\) .
- \( (i)\) .
- L'élément neutre est unique.
- \( (ii)\) .
- \( 0\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}\)
- \( (iii)\) .
- \( \lambda \cdot \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}\)
- \( (iv)\) .
- \( \lambda \overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}\Rightarrow (\lambda = 0) \ou (\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0})\)
- \( (v)\) .
- Le symétrique de \( \overrightarrow{x}\) est unique. On le note \( -\overrightarrow{x}\)
- \( (vi)\) .
- \( -1\cdot \overrightarrow{x}=-\overrightarrow{x}\) .
Démonstration
- \( (i)\) .
- Soit \( \overrightarrow{0}_1\) et \( \overrightarrow{0}_2\) deux éléments neutre. Par définition \( \overrightarrow{0}_1=\overrightarrow{0}_1+\overrightarrow{0}_2=\overrightarrow{0}_2\) .
- \( (ii)\) .
- \( \overrightarrow{x}+0\cdot\overrightarrow{x}=1\cdot\overrightarrow{x}+0\cdot\overrightarrow{x}=(1+0)\cdot \overrightarrow{x}=1\cdot\overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}\) . Par définition et unicité de \( \overrightarrow{0}\) , cela implique que \( 0\cdot\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}.\)
- \( (iii)\) .
- \( \lambda\cdot\overrightarrow{0}=\lambda\cdot(0\cdot\overrightarrow{x})=(\lambda 0)\cdot \overrightarrow{x}=0\cdot\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}\)
- \( (iv)\) .
- Supposons que \( \lambda\cdot\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}\) et que \( \lambda\neq0\) . Dans ce cas, il existe \( \frac{1}{\lambda}\in\R\) . Ainsi, \( \overrightarrow{0}=\frac{1}{\lambda}\cdot\overrightarrow{0}=\frac{1}{\lambda}\cdot(\lambda\cdot\overrightarrow{x})=(\frac{1}{\lambda}\lambda)\cdot\overrightarrow{x}=1\cdot\overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}\) .
- \( (v)+(vi)\) .
- Soient \( \overrightarrow{y}_1\) et \( \overrightarrow{y}_2\) deux symétriques de \( \overrightarrow{x}\) . Alors \( \overrightarrow{y}_1=\overrightarrow{y}_1+\overrightarrow{x}+(-1)\cdot\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}+(-1)\cdot\overrightarrow{x}\) . En faisant le même raisonnement avec \( \overrightarrow{y}_2\) , on conclut que \( \overrightarrow{y}_1=\overrightarrow{y}_2=-1\cdot\overrightarrow{x}\) .
Définition
Soient \( E\) un \( \R\) -ev et \( F\subset E\) . On dira que \( F\) est un
sous-\( \R\) -espace vectoriel de \( E\) , en abrégé sev, si
- \( (i)\) .
- \( F\neq\varnothing\)
- \( (ii)\) .
- \( \forall \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}\in F,\ \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\in F\)
- \( (iii)\) .
- \( \forall \overrightarrow{x}\in F, \forall \lambda\in \R, \ \lambda\cdot \overrightarrow{x}\in F\)
Proposition [Vérification rapide]
Un sous ensemble \( F\) de \( E\) est un sev si et seulement si
- \( (i)\) .
- \( F\neq \varnothing\)
- \( (ii)\) .
- \( \forall \overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in F, \forall \lambda\in \R, \ \overrightarrow{x}+\lambda\cdot\overrightarrow{y}\in F\)
Démonstration
Si \( F\) est un sev alors \( \overrightarrow{x}+\lambda\cdot\overrightarrow{y}\in F\) par définition. Inversement, supposons que \( \overrightarrow{x}+\lambda\cdot\overrightarrow{y}\in F\) alors en prenant \( \lambda=1\) on prouve la stabilité pour la loi de composition interne et en prenant \( \overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}\) on prouve la stabilité pour la loi de composition externe.
Par exemple \( \dpl{F=\left\{(^x_y)\in \R^2\Big| 3x+2y=0\right\}}\) est un sev de \( \R^2\) . En effet, soit \( (^x_y)\in F\) et \( (^a_b)\in F\) . Par définition de \( F\) on a \( 3x+2y=0\) et \( 3a+2b=0\) . Si on utilise la vérification rapide, il faut observer que \( (^{x+\lambda a}_{y+\lambda b})=(^x_y)+\lambda\cdot(^a_b)\) est bien un élément de \( F\) . Mais \( 3(x+\lambda a)+2(y+\lambda b)=(3x+2y)+\lambda(3a+2b)\) . Les deux termes de cette expression étant nul, \( F\) est bien un sev de \( \R^2\) .
Proposition
Tout sev est un ev.
Démonstration
Soit \( F\) un sev d'un \( \R\) -ev \( E\) . Par définition, CANSADU est satisfait pour tous les vecteurs de \( E\) donc en particulier pour tous les vecteurs de \( F\) . Il n'y a rien à ajouter puisque ce dernier est stable pour les lois interne et externe.
Définition
Soient \( n\in \N_{{>}0}\) et \( \mathfrak{F}=\{\overrightarrow{e}_{1}, \ldots, \overrightarrow{e}_{n}\}\) une famille de vecteur d'un \( \R\) -ev \( E\) .
- \( (i)\) .
-
On dira que \( \overrightarrow{x}\) est une combinaison linéaire de \( \mathfrak{F}\) si il existe des nombres réels \( (\lambda_i)_{i\in [\![1;n]\!]}\) tel que \[\overrightarrow{x}=\sum_{i=1}^n\lambda_i\cdot \overrightarrow{e}_{i}\]
- \( (ii)\) .
- On note \( {\texttt{Vect}}\left(\mathfrak{F} \right)\) le plus petit sev (au sens de l'inclusion) de \( E\) contenant la famille \( \mathfrak{F}\) .
Proposition
Avec les notations de la définition précédente, \( {\texttt{Vect}}\left(\mathfrak{F} \right)\) est composé des combinaisons linéaires des éléments de \( \mathfrak{F}\) . Autrement dit :
\[{\texttt{Vect}}\left(\mathfrak{F} \right)=\left\{\sum_{i=1}^n \lambda_i\cdot \overrightarrow{e}_{i}\Big|\forall i \in [\![1; n]\!], \ \lambda_i\in \R\right\}\]
Démonstration
Notons \( F\) l'ensemble des combinaisons linéaires de la famille \( \mathfrak{F}\) . Il s'agit de voir que \( F={\texttt{Vect}}\left(\mathfrak{F} \right)\) . On laisse le soin au lecteur de vérifier que \( F\) est bien un sev. Pour démontrer une égalité entre ensemble, on montre que l'un est inclut dans l'autre et réciproquement.
- \( F\subset {\texttt{Vect}}\left(\mathfrak{F} \right)\) :
- par définition de sev, \( {\texttt{Vect}}\left(\mathfrak{F} \right)\) est stable pour les lois de composition interne et externe. Ainsi toutes combinaisons linéaires de vecteur de \( \mathfrak{F}\) sont des éléments de \( {\texttt{Vect}}\left(\mathfrak{F} \right)\) . Autrement dit \( F\subset {\texttt{Vect}}\left(\mathfrak{F} \right)\) .
- \( {\texttt{Vect}}\left(\mathfrak{F} \right)\subset F\) :
- on observe que \( \mathfrak{F}\subset F\) mais par définition \( {\texttt{Vect}}\left(\mathfrak{F} \right)\) est le plus petit sev au sens de l'inclusion contenant \( \mathfrak{F}\) donc par minimalité \( {\texttt{Vect}}\left(\mathfrak{F} \right)\subset F\) .
Par exemple \( {\texttt{Vect}}\left((^1_1) \right)\subset\R^2\) est le sev représentant la droite d'équation \( y=x\) dans le plan.
Définition
Soient \( A\) et \( B\) deux sev d'un \( \R\) -ev \( E\) . On défini
\[A+B=\left\{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\Big|\overrightarrow{a}\in A, \overrightarrow{b}\in B\right\}\]
Proposition
Soient \( A\) et \( B\) deux sev d'un \( \R\) -ev \( E\) alors \( A+B\) est un sev de \( E\) .
Démonstration
Effectuons une vérification rapide. Soient \( \lambda\in \R\) , \( \overrightarrow{x}\in A+B\) et \( \overrightarrow{x}' \in A+B\) . Par définition, il existe \( \overrightarrow{a}, \overrightarrow{a}'\in A\) et \( \overrightarrow{b}, \overrightarrow{b}' \in B\) tel que \( \overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) et \( \overrightarrow{x}'=\overrightarrow{a}'+\overrightarrow{b}'\) . Dans ce cas \( \overrightarrow{x}+\lambda\cdot\overrightarrow{x}'=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\lambda\cdot(\overrightarrow{a}'+\overrightarrow{b}')=(\overrightarrow{a}+\lambda\cdot\overrightarrow{a}')+(\overrightarrow{b}+\lambda\cdot\overrightarrow{b}')\) . Puisque \( A\) et \( B\) sont des sev on en déduit que \( \overrightarrow{a}+\lambda\cdot\overrightarrow{a}'\in A\) et \( \overrightarrow{b}+\lambda\cdot\overrightarrow{b}'\in B\) ce que prouve que \( \overrightarrow{x}+\lambda\cdot\overrightarrow{x}'\) s'écrit bien comme la somme d'un élément de \( A\) et d'un élément de \( B\) .
Définition
Soient \( A\) et \( B\) deux sev d'un \( \R\) -ev \( E\) .
- \( (i)\) .
- On dira que \( A\) et \( B\) sont supplémentaires si \( A\cap B=\{\overrightarrow{0}\}\) .
- \( (ii)\) .
- On note dans ce cas la somme \( A+B\) par \( A\oplus B\) et on dit que \( A\) et \( B\) sont en somme directe.
Proposition
Soient \( A\) et \( B\) deux sev supplémentaires d'un \( \R\) -ev \( E\) .
\[\forall \overrightarrow{x}\in A\oplus B,\ \exists ! \overrightarrow{a}\in A,\ \exists! \overrightarrow{b}\in B,\ \overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\]
Démonstration
Il s'agit de démontrer que la décomposition \( \overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) est unique. Pour cela considérons deux décompositions \( \overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}_1+\overrightarrow{b}_1=\overrightarrow{a}_2+\overrightarrow{b}_2\) . En manipulant les termes on arrive à \( \overrightarrow{a}_1-\overrightarrow{a}_2=\overrightarrow{b}_2-\overrightarrow{b}_1\) . Mais le terme de droite est un élément de \( A\) et celui de gauche de \( B\) . L'égalité implique donc que ces éléments sont dans \( A\cap B\) qui est réduit à \( \overrightarrow{0}\) . Donc \( \overrightarrow{a}_1-\overrightarrow{a}_2=\overrightarrow{0}\) et \( \overrightarrow{b}_2-\overrightarrow{b}_1=\overrightarrow{0}\) ce qui prouve l'unicité.
Par exemple dans \( \R^2\) , considérons \( A={\texttt{Vect}}\left((^1_1) \right)\) et \( B={\texttt{Vect}}\left((^1_{-1}) \right)\) . Ces deux espaces sont supplémentaires. En effet si \( \overrightarrow{x}\in A\cap B\) alors par définition, \( \overrightarrow{x}=\lambda\cdot(^1_1)=\mu(^1_{-1})\) . La lecture de la première ligne implique de \( \lambda=\mu\) , la lecture de la seconde ligne implique que \( \lambda=-\mu\) . Ce système de deux équations à deux inconnues se résout sans peine. On trouve \( \lambda=\mu=0\) . Ainsi le seul élément de \( A\cap B\) est \( \overrightarrow{0}\) .
Définition
Soient \( n\in \N_{{>}0}\) et \( \mathfrak{F}=\{\overrightarrow{e}_{1}, \ldots, \overrightarrow{e}_{n}\}\) une famille de vecteur d'un \( \R\) -ev \( E\) .
- \( (i)\) .
- On dira que \( \mathfrak{F}\) est une famille génératrice de \( E\) si \( {\texttt{Vect}}\left(\mathfrak{F} \right)=E\) .
- \( (ii)\) .
- On dira que \( \mathfrak{F}\) est une famille libre de \( E\) si on a l'implication
\[\sum_{i=1}^n\lambda_i\cdot \overrightarrow{e}_{i}=\overrightarrow{0}\Longrightarrow \Big(\forall i \in [\![1;n]\!], \ \lambda_i=0\Big)\]
- \( (iii)\) .
- On dira que \( \mathfrak{F}\) est une base si c'est à la fois une famille libre et une famille génératrice.
Par exemple \( \mathfrak{F}=\{(^1_0), (^1_1), (^1_{-1}) \}\) est une famille génératrice \( \R^2\) mais n'est pas une famille libre et à fortiori pas un base. Vérifions qu'il ne s'agit pas d'une famille libre. Considérons une combinaison linaire
\[\lambda\cdot(^1_0)+\mu\cdot(^1_1)+\nu(^1_{-1})=\overrightarrow{0}\]
En identifiant chacune des lignes on arrive au système
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\lambda+\mu+\nu&=&0\\
\mu-\nu&=&0
\end{array}
\right.
\]
Or ce système admet une infinité de solution et \( (\lambda, \mu, \nu)=(-2,1,1)\) en est une non triviale. Donc le système n'est pas libre.
Théorème [Théorème de la base incomplète]
Toute famille libre et non génératrice d'un espace vectoriel \( E\) peut être compléter par un vecteur de \( E\) de telle sorte que la nouvelle famille ainsi construite reste libre.
Démonstration
Soit \( \mathfrak{F}=\{\overrightarrow{e}_{1},\ldots, \overrightarrow{e}_{n}\}\) une famille de vecteur libre de \( E\) mais non génératrice. Cela signifie qu'il existe un vecteur \( \overrightarrow{a}\in E\) tel que \( \overrightarrow{a}\notin{\texttt{Vect}}\left(\mathfrak{F} \right)\) ; en particulier \( \overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}\) . Considérons dans ce cas \( \mathfrak{F}'=\mathfrak{F}\cup\{\overrightarrow{a}\}\) . Montrons que \( \mathfrak{F}'\) est toujours libre ; pour cela considérons une combinaison linéaire nulle de \( \mathfrak{F}'\) :
\[\sum_{i=1}^n\lambda_i\cdot \overrightarrow{e}_{i}+\lambda_{n+1} \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\]
Si \( \lambda_{n+1}\neq 0\) alors \( \dpl{\overrightarrow{a} = -\sum_{i=1}^n\dfrac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}}\cdot \overrightarrow{e}_{i}}\) et donc \( \overrightarrow{a}\in {\texttt{Vect}}\left(\mathfrak{F} \right)\) ce qui n'est pas possible par choix de \( \overrightarrow{a}\) . Nécessairement \( \lambda_{n+1}=0\) . Mais dans ce cas \( \dpl{\sum_{i=1}^n\lambda_i\cdot \overrightarrow{e}_{i}=\overrightarrow{0}}\) ; puisque \( \mathfrak{F}\) est libre cela implique que tous les \( \lambda_i\) sont nulles. Nous avons ainsi prouvé que \( \mathfrak{F}'\) est libre.
Corollaire
Soient \( \mathfrak{F}\) et \( \mathfrak{F}'\) deux ensembles de cardinalité finie, étant chacun une base d'un même \( \R\) -ev. Alors
\[\Card(\mathfrak{F})=\Card(\mathfrak{F}')\]
Démonstration
Il s'agit d'une version adaptée du
lemme de Steinitz.
Posons \( \mathfrak{F}=\{\overrightarrow{e}_{1},\ldots,\overrightarrow{e}_{s}\}\) et \( \mathfrak{F}'=\{\overrightarrow{e}_{1}',\ldots,\overrightarrow{e}_{t}'\}\) . Il s'agit de voir que \( s=t\) .
Raisonnons par l'absurde et supposons que \( s\neq t\) , par exemple \( s{<}t\) (si \( s{>}t\) il suffit d'inverser le rôle de \( \mathfrak{F}\) et \( \mathfrak{F}'\) ).
- \( \bullet\)
- Puisque \( \mathfrak{F}'\) est une base, c'est une famille génératrice. En particulier \( \overrightarrow{e}_{1}\in {\texttt{Vect}}\left(\mathfrak{F}' \right)\) . Ce qui implique qu'il existe des constantes \( \lambda_i\in \R\) tel que
\[\overrightarrow{e}_{1}=\sum_{i=1}^t\lambda_i\cdot\overrightarrow{e}_{i}'\]
Puisque \( \overrightarrow{e}_{1}\neq\overrightarrow{0}\) (car \( \mathfrak{F}\) est une famille libre) il existe un \( \lambda_i\) non nul. Quitte à réordonner les vecteurs de \( \mathfrak{F}'\) on peut supposer que \( \lambda_1\neq0\) . Dans ce cas
\[\overrightarrow{e}_{1}'=\dfrac{1}{\lambda_1}\overrightarrow{e}_{1}-\sum_{i=2}^t\dfrac{\lambda_i}{\lambda_1}\overrightarrow{e}_{i}'\]
Ceci permet d'affirmer que \( \mathfrak{F}_1=\{\overrightarrow{e}_{1}, \overrightarrow{e}_{2}',\ldots,\overrightarrow{e}_{t}'\}\) est une base.
- \( \bullet\)
- \( \overrightarrow{e}_{2}\in {\texttt{Vect}}\left(\mathfrak{F}_1 \right)\) . Ce qui implique qu'il existe des constantes \( \lambda_i\in \R\) tel que
\[\overrightarrow{e}_{2}=\lambda_1\overrightarrow{e}_{1}+\sum_{i=2}^t\lambda_i\cdot\overrightarrow{e}_{i}'\]
Puisque \( \overrightarrow{e}_{1}\) et \( \overrightarrow{e}_{2}\) forment une famille libre (car \( \mathfrak{F}\) est une base)
les \( \lambda_{i}\) pour \( i\in [\![2;t]\!]\) ne sont pas tous nuls. Quitte à réordonner les vecteurs de \( \mathfrak{F}_1\) on peut supposer que \( \lambda_2\neq0\) . Dans ce cas
\[\overrightarrow{e}_{2}'=\dfrac{1}{\lambda_2}\overrightarrow{e}_{2}-\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}\overrightarrow{e}_{1}-\sum_{i=3}^t\dfrac{\lambda_i}{\lambda_1}\overrightarrow{e}_{i}'\]
Ceci permet d'affirmer que \( \mathfrak{F}_2=\{\overrightarrow{e}_{1}, \overrightarrow{e}_{2}, \overrightarrow{e}_{3}',\ldots,\overrightarrow{e}_{t}'\}\) est une base.
- \( \bullet\)
- On continue comme ça et on se prend bien la tête avec des constantes, et des sommations dans tous les sens
- \( \bullet\)
- A la dernière itération on arrive à montrer que la famille \( \mathfrak{F}_s=\{\overrightarrow{e}_{1},\ldots, \overrightarrow{e}_{s},\overrightarrow{e}_{s+1}',\ldots,\overrightarrow{e}_{t}'\}\) est une base. Or \( \mathfrak{F}_s=\mathfrak{F}\cup\{\overrightarrow{e}_{s+1}',\ldots,\overrightarrow{e}_{t}'\}\) . En particulier \( \overrightarrow{e}_{t}'\) est combinaison linéaire des vecteurs de \( \mathfrak{F}\) ce qui implique que la famille \( \mathfrak{F}_s\) n'est pas libre ce qui contredit le fait d'être une base.
%Montrer qu'une famille libre ne contient pas le vecteur nul
Définition
Soit \( \mathfrak{F}\) une base d'un \( \R\) -ev. On note \( \dim(E)\) la dimension de \( E\) , définie comme la cardinalité de \( \mathfrak{F}\) .
Remarque
D'après le corollaire du théorème de la base incomplète, peut importe la base, le nombre de vecteur présent est invariant.
Par exemple \( \mathfrak{F}=\{(^1_0),(^0_1)\}\) est une base de \( \R^2\) tout comme \( \mathfrak{F}'=\{(^1_1), (^1_2)\}\) . Les bases sont distinctes mais pas leur cardinalité.
Définition
Soit \( n\in \N_{{>}0}\) . On définit la base canonique de \( \R^n\) comme la base \( \{\overrightarrow{e}_{i}| i\in [\![1;n]\!]\}\) où
\[\overrightarrow{e}_{i}=
\begin{pmatrix}
0\\
\vdots\\
0\\
1\\
0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}
\]
le \( 1\) étant situé sur la \( i\) -ème ligne.
Proposition
Soient \( E\) et \( F\) des \( \R\) -espace vectorielle.
- \( (i)\) .
- \( \dim(E\times F)=\dim(E)\times\dim(F)\)
- \( (ii)\) .
- Si \( F\subseteq E\) et \( \dim(E)=\dim(F)\) alors \( E=F\) .
- \( (iii)\) .
- \( \dim(E\oplus F)=\dim(E)+\dim(F)\)
- \( (iv)\) .
- \( \dim(E+F)=\dim(E)+\dim(F)-\dim(E\cap F)\)
Démonstration
Admise.
Corollaire
Toute famille de \( n\) vecteurs libre dans un espace de dimension \( n\) est une base.
