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Logarithme

Définition et premières propriétés

Définition

Soit $ a$ un nombre réel strictement positif. On note $ ln(a)$ appelé le logarithme népérien de $ a$ , l'aire comprise entre l'axe des abscisses, la droite $ x=1$ , $ x=a$ et la courbe représentative de la fonction inverse.

En dessin cela donne :

L'aire dont on parle est une aire algébrique c'est à dire avec un signe : on regarde toujours l'aire entre $ x=1$ et $ x=a$ dans cet ordre de sorte que si $ a{<}1$ alors l'aire sera considérée négative.

Proposition

Le nombre réel $ ln(a)$ n'est défini que si $ a\in ]0 ; +\infty[$ .
Si $ 0{<}a{<}1$ alors $ ln(a){<}0$ .
$ ln(1)=0$ .
Si $ a{>}1$ alors $ ln(a){>}0$ .

Ces propriétés se déduisent trivialement d'une lecture géométrique du logarithme.

Croissances comparées

Théorème

Soient $ a$ et $ b$ deux nombres réelles strictement positifs alors \[ln(ab)=ln(a)+ln(b)\]

Démonstration

Admise

Corollaire

Soient $ a$ et $ b$ deux nombres réels strictement positifs.

$ ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=ln(a)-ln(b)$ .
$ ln\left(\dfrac{1}{a}\right)=-ln(a)$ .
$ ln\left(\sqrt{a}\right)=\dfrac{1}{2}ln(a)$ .
$ ln\left(a^n\right)=nln(a)$ .

Démonstration

$ ln(a)=ln\left(\dfrac{a}{b}\times b\right)=ln\left(\dfrac{a}{b}\right)+ln(b)$ .
C'est la formule précédente pour $ a=1$ (sachant que $ ln(1)=0$ ).
$ 2ln(\sqrt{a})=ln(\sqrt{a}^2)=ln(a)$
$ ln(a^n)=ln(\underbrace{a\times\cdots\times a}_{n})=\underbrace{ln(a)+\cdots+ln(a)}_{n}$

Ce qu'il faut retenir

$ \mathscr{D}=]0 ; +\infty[$
Si $ x\in]0, 1[, ln(x){<}0$
$ ln(1)=0$
Si $ x\in]1, +\infty[, ln(x){>}0$
$ ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
$ ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=ln(a)-ln(b)$
$ ln\left(a^n\right)=nln(a)$
$ ln\left(\sqrt{a}\right)=\dfrac{1}{2}ln(a)$

Trailer : Exponentielle

La fonction logarithme est strictement croissante et prend toutes les valeurs de $ \mathbb{R}$ (car ses limites sont $ -\infty$ et $ +\infty$ ). Elle est aussi continue par construction (en tant qu'aire). On peut donc lui appliquer le théorème des valeurs intermédiaires. D'après ce théorème l'équation $ ln(x)=0$ admet une unique solution, d'ailleurs on la connait : c'est $ 1$ . Grâce à ce théorème on peut en déduire que si $ ln(a)=ln(b)$ alors nécessairement $ a=b$ . L'équation $ ln(x)=1$ admet aussi une unique solution. A l'aide de la calculatrice on trouve que $ x=2.71828$ . On note ce nombre $ e$ . Qu'en est-il de l'équation $ ln(x)=2$ . Elle admet aussi une unique solution dont on peut déterminer une approximation numérique... mais on peut procéder autrement : \begin{eqnarray*} ln(x)=2&\Leftrightarrow& ln(x)=2\times 1\\ &\Leftrightarrow& ln(x)=2\times ln(e)\\ &\Leftrightarrow& ln(x)=ln(e^2)\qquad \text{Propriété du logarithme}\\ &\Leftrightarrow& x=e^2 \end{eqnarray*} Et si on remplaçait le $ 2$ par un $ 3$ , un $ -1$ ou n'importe quel nombre réel... Tiens tiens... Il se passe quelque chose de marrant.