Exponentielle
Définition et premières propriétés
Il est indispensable d'avoir assimiler le cours sur les logarithmes pour pouvoir suivre ce cours sur les exponentielles. Ici tout sera beaucoup plus rapide que le précédent chapitre. Pas que nous souhaitons bâcler le travail mais plutôt que nous allons entièrement nous appuyer sur la fonction logarithme, raison pour laquelle nous insistons sur son assimilation.
D'ailleurs à la fin du cours sur le logarithme, avec l'aide du théorème des valeurs intermédiaire, nous avions observer que l'équation \( ln(x)=1\) admettait une unique solution que l'on note \( e\) et dont la valeur approchée, estimée à l'aide d'un ordinateur, est \( 2.71828\) .
Qu'en est-il de manière générale de l'équation \( ln(x)=a\) pour n'importe quelle nombre réel \( a\) ? D'après le théorème des valeurs intermédiaire, il existe une unique solution.
Définition
Pour tout nombre réel \( a\) on note \( exp(a)\) l'unique solution de l'équation \( ln(x)=a\) . On l'appel exponentielle de \( a\) . C'est la fonction réciproque du logarithme népérien.
On a immédiatement les propriétés suivantes.
Proposition
- Quelque soit le réel \( a\) , \( exp(a){>}0\) .
- \( exp(0)=1\) .
- Si \( a{<}0\) alors \( exp(a){<}1\) .
- Si \( a{>}0\) alors \( exp(a){>}1\) .
- Pour tout \( x{>}0\) alors \( exp(ln(x))=x\) .
- Pour tout \( x\in\R\) alors \( ln(exp(x))=x\) .
Démonstration
- Puisque \( ln(exp(a))=a\) , le nombre \( exp(a)\) appartient au domaine de définition de \( ln\) qui est \( ]0 ; +\infty[\) . Dis autrement \( exp(a){>}0\) .
- Puisque \( ln(1)=0=ln(exp(0))\) alors \( exp(0)=1\) .
- Si \( a{<}0\) alors \( ln(exp(a))=a{<}0=ln(1)\) donc \( exp(a){<}1\) .
- Si \( a{>}0\) alors \( ln(exp(a))=a{>}0=ln(1)\) donc \( exp(a){>}1\) .
- C'est une conséquence de la réciprocité entre le \( ln\) et le \( exp\) .
- C'est une conséquence de la réciprocité entre le \( ln\) et le \( exp\) .
Croissances comparées
Théorème
Quelque soit les nombres réels \( a\) et \( b\) :
\[exp(a+b)=exp(a)\times exp(b)\]
Démonstration
\begin{eqnarray*}
ln(exp(a+b))&=&a+b\\
&=&ln(exp(a))+ln(exp(b))\\
&=&ln(exp(a)\times exp(b))\quad\text{Propriété du logarithme}
\end{eqnarray*}
Puisque \( ln(exp(a+b))=ln(exp(a)\times exp(b))\) alors \( exp(a+b)=exp(a)\times exp(b)\)
Corollaire
Soient \( a\) et \( b\) deux nombres réels.
- \( exp(a-b)=\dfrac{exp(a)}{exp(b)}\)
- \( exp(-a)=\dfrac{1}{exp(a)}\)
- \( exp\left(\frac{a}{2}\right)=\sqrt{exp(a)}\)
- \( \left(exp(a)\right)^n=exp(na)\)
Démonstration
Il suffit, encore une fois de repasser par la fonction logarithme.
De \( exp(x)\) à \( e^x\)
Tout est dans le titre. On observe que les formules et propriétés de l'exponentielle sont étrangement similaire à celle des puissances. Par exemple d'un coté on \( exp(a+b)=exp(a)\times exp(b)\) et d'un autre coté \( 10^{n+m}=10^n10^m\) ... du coup on se demande si il n'y a pas un liens entre nos familières puissances et l'exponentielle. La réponse est oui par une très simple observation : \[ln(exp(x))=x=x\times 1=x\times ln(e)=ln(e^x)\]
d'après les règles de calcul sur le logarithme.
Cette égalité implique donc que \( exp(x)=e^x\) et ce pour tous les \( x\) réel. Autant \( 10^n\) n'était définie que pour des \( n\) entiers autant \( e^x=exp(x)\) est définie pour tous les nombres réels !
D'ailleurs on pourrait s'amuser à définir \( 10^x\) pour n'importe quel \( x\) réelle. Tenté ? Allez on y va !
Grâce à cette formule de réciprocité entre \( ln\) et \( exp\) , on peut écrire que \( 10^x=exp(ln(10^x))\) sauf que le logarithme gère très bien les puissances : \( ln(10^x)=xln(10)\) . On a \( 10^x=exp(xln(10))\) et l'exponentielle ne soufre d'aucun problème de définition. Ca y est ! On a défini \( 10^x\) . Pourquoi s'arrêterait-on en si bon chemin ?
Définition
Soit \( a{>}0\) et \( b\in\R\) . On défini \( a^b\) par la formule :
\[a^b=exp(b ln(a))=e^{b ln(a)}\]
Le calcul quant à lui se fait à l'aide d'une calculatrice, mais à présent des expressions comme \( 2^{\sqrt{2}}\) ont un sens.
Ce qu'il faut retenir
- \( \mathscr{D}=\R\)
- Si \( x{<}0, exp(x){<}1\)
- \( exp(0)=1\)
- Si \( x{>}0, exp(x){>}1\)
- \( exp(a+b)=exp(a)\times exp(b)\)
- \( \dfrac{exp(a)}{exp(b)}=exp(a-b)\)
- \( exp(a)^n=exp(na)\)
- \( \sqrt{exp(a)}=exp\left(\dfrac{1}{2}a\right)\)
