L'objectif de ce cours est d'étudier les fonctions. Mais contrairement à faire une étude globale comme cela est exploré en terminale (dérivé, tableau de variation etc), on s'intéresse ici à faire une étude locale. C'est à dire à
comprendre simplement ce qu'est une fonction.
Prenons par exemple la fonction \( f(x)=\dfrac{1}{1-x}\) . Cette élégante fonction est définie sur \( \mathbb{R}-\{1\}\) .
Comme nous l'avons signalé, nous cherchons à développer des outils pour comprendre cette fonction localement. Prenons par exemple en \( a=0\) .
La problématique est d'essayer de trouver, localement, une forme simple à cette fonction. Une
forme simple, pour les penseurs de l'époque, étaient les polynômes. En effet, l'univers des polynômes est bien connue et sans (presque) aucun mystère : on sait les dériver, les intégrer, les calculer, les transformer... bref ! Lorsqu'un mathématicien travaille avec un polynôme, il est en terrain conquit.
Les étudiants se rappelant de leur cours de terminale devrait déjà un voir une prémisse aux solutions : la tangente !
En effet la tangente en un point de la courbe représentative d'une fonction est une droite. Plus savamment dis : c'est un polynôme de degrés 1 et la formule permettant de la calculer est bien connue
lorsque la fonction est dérivable. L'équation de la tangente à \( f\) en un point \( a\) est
\[T_a : \qquad y=f(a)+f'(a)(x-a)\]
Dans notre exemple, la tangente en \( 0\) donne \( y=1+x\)
Mais la fonction \( x\mapsto \dfrac{1}{1-x}\) a une autre vertu.
On se rappel que la somme des termes d'une suite géométrique de raison \( x\) est \[\sum_{k=0}^nx^k=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n = \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x} = \dfrac{1}{1-x}-\dfrac{x^{n+1}}{1-x} = f(x)-\dfrac{x^{n+1}}{1-x}\] Puisque nous somme
local autour de \( 0\) , on peut dire que \( \dfrac{x^{n+1}}{1-x}\) est négligeable devant \( \dfrac{1}{1-x}=f(x)\) . Plus précisément \( \lim{x\rightarrow0}\dfrac{x^{n+1}}{1-x}=0\) .
Autrement dis le polynôme \( P_n(x)=\dpl{\sum_{k=0}^nx^k}\) approche bien la fonction \( f\) .
\[n=0\]
\[n=1\]
\[n=2\]
\[n=3\]
\[n=4\]
\[n=5\]
Cette dernière approximation nous donne que,
localement autour de \( 0\) , la fonction \( f(x)=\dfrac{1}{1-x}\) est proche de \( P_5(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5\) . On peut d'ailleurs s'en convaincre en prenant une valeur de \( x\) , autour de \( 0\) , comme par exemple \( -0.01\) . D'un coté \( f(-0.01)\simeq 0.9900990099009\) d'autre part \( P_5(-0.01) = 0.9900990099\) . Dix décimales correctes !
Mais y a-t-il mieux ? Comment faire pour trouver la
meilleure approximation polynômiale ? C'est ce que nous allons explorer.
