Avant de parler de ce qui nous intéresse, nous allons introduire une notation à faible rigueur apparente mais qui va nous permettre d'ajouter du confort de calcul et de rédaction.
La nature de notre recherche est, rappelons-le,
locale. On ne s'intéresse qu'a une approximation autour d'un point. Dans notre exemple introductif, nous avons approché la fonction \( f(x)=\dfrac{1}{1-x}\) par le polynôme \( P_5(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5\)
autour de \( 0\) et pour nous en convaincre nous avons comparé ces deux expressions en \( -0.01\) . Mais si nous nous éloignons de \( 0\) , comme en \( -1\) par exemple, d'un coté nous avons \( f(-1)=0.5\) et d'un autre cote \( P_5(-1)=0\) et l'approximation est très mauvaise.
Pour comprendre ce phénomène locale, regardons de plus près ce qui nous a amené à ce résultat. Nous avons \( f(x)=P_5(x)-\dfrac{x^6}{1-x}\) ce qui permet de mesurer l'erreur d'approximation commise ; c'est \( -\dfrac{x^6}{1-x}\) que nous allons préférer écrire \( x^5\left(\dfrac{-x}{1-x}\right)\) .
Le principe de
localité dont nous avons besoin est de dire que
lorsque l'on se rapproche de \( 0\) , le terme d'erreur tend vers \( 0\) . La caractérisation de la
vitesse de cette convergence vers \( 0\) est mesurée par le \( x^5\) . Dans notre exemple, on pourrait dire que le terme d'erreur tend vers \( 0\) , aussi vite que \( x^5\) .
Définition
On dira qu'une fonction \( f\) localement définie autour de \( a\in \R\) est un terme d'erreur d'ordre \( n\in \N\) , si
\[f(x)=(x-a)^n\varepsilon(x-a)\]
pour une certaine fonction \( \varepsilon\) définie autour de \( 0\) , tel que \( \lim{x\rightarrow 0}\varepsilon(x)=0\) .
Dans la suite de ce cours, pour des raisons que nous détaillerons plus tard, nous appellerons un terme d'erreur une
poubelle.
Proposition
- Toutes les poubelles d'ordre \( n\) sont des poubelles d'ordre \( 0\leqslant p\leqslant n\) .
- Une combinaison linéaire de poubelles d'ordre \( n\) est une poubelle d'ordre \( n\) .
- Le produit d'une poubelle d'ordre \( n\) par une poubelle d'ordre \( m\) est une poubelle d'ordre \( n+m\) .
Démonstration
- Simplement parce que \( (x-a)^n\varepsilon(x-a)=(x-a)^p\left((x-a)^{n-p}\varepsilon(x-a)\right)=(x-a)\eta(x-a)\) et on a bien \( \lim{\rightarrow0}\eta(x)=0\) .
- Simplement parce que \( \dpl{\sum_{i=0}^N\alpha_i(x-a)^n\varepsilon_i(x-a)=(x-a)^n\left(\sum_{i=0}^N\alpha_i\varepsilon_i(x-a)\right)=(x-a)^n\eta(x-a)}\) et \( \lim{x\rightarrow0}\eta(x)=0\) .
- Car \( (x-a)^n\varepsilon_1(x-a)(x-a)^m\varepsilon_2(x-a)=(x-a)^{n+m}\left(\varepsilon_1(x-a)\varepsilon_2(x-a)\right)=(x-a)^{n+m}\eta(x-a)\) où \( \lim{x\rightarrow0}\eta(x)=0\) .
Ces règles vont nous permettre de noter
TOUTES les poubelles par le symbole \( \varepsilon\) .
