Voici une définition de déterminant qui nécessiterai pour la comprendre d'introduire le groupe symétrique, les transpositions et la signature. Le bagage théorique pour comprendre cette définition étant trop conséquent et un peu hors de propos, on pourra l'oublier après l'avoir lu.
Définition
Soient \( n\in \N_{{>}0}\) et \( A\in \M_n(\R)\) . Le déterminant de la matrice \( A\) , noté \( \det(A)\) , est le nombre réel défini par
\[\det(A)=\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n}\varepsilon(\sigma)\prod_{i=1}^na_{i,\sigma(i)}\]
Proposition
Soient \( n\in \N_{{>}0}\) et \( A\in \M_n(\R)\) .
- \( \det
\begin{pmatrix}
a&b\\
c&d
\end{pmatrix}=ad-bc
\)
- \( \det(Id_n)=1\)
- \( \det(Col_1,\dots,Col_i,\dots, Col_j,\dots,Col_n)=(-1)^{i+j}det(Col_1,\dots,Col_j,\dots, Col_i,\dots,Col_n)\)
- \( \det(Col_1, \dots, \lambda Col_i, \dots, Col_n)=\lambda \det(Col_1, \dots, Col_i, \dots, Col_n)\)
- \( \det(\lambda\cdot A)=\lambda^n\det(A)\)
- On ne modifie pas la valeur du déterminant d'une matrice en ajoutant à une colonne une combinaison linéaire des autres.
Démonstration
Ces propositions découlent plus ou moins trivialement de la définition.
Théorème [Calcul du déterminant par développement]
Soient \( n\in \N_{{>}0}\) et \( A\in \M_n(\R)\) . Notons \( \hat{A}_{i,j}\) la matrice \( A\) où on a supprimer la ligne \( i\) et la colonne \( j\) . Alors
\[
\forall j\in [\![1;n]\!], \quad \det(A)=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}a_{i,j}\det(\hat{A}_{i,j})
\]
Démonstration
Se démontre par récurrence sur la dimension \( n\) en utilisant abusivement la définition.
Par exemple
calculons \( \dpl{\left|
\begin{array}{ccc}
1&2&1\\
2&0&1\\
1&1&-1
\end{array}
\right|}\) .
Le choix de la colonne a prendre est purement arbitraire, mais un œil averti remarquera que certain choix minimise les calculs...
\[
\left|
\begin{array}{ccc}
{\color{red}1}&2&1\\
{\color{red}2}&{0}&{1}\\
{\color{red}1}&1&-1
\end{array}
\right|=
\underbrace{
+(1)
\left|
\begin{array}{cc}
{0}&{1}\\
1&-1
\end{array}
\right|
}_{=-1}
\underbrace{
-(2)
\left|
\begin{array}{ccc}
2&1\\
1&-1
\end{array}
\right|
}_{=6}
\underbrace{
+(1)
\left|
\begin{array}{ccc}
2&1\\
{0}&{1}
\end{array}
\right|
}_{=2}
=7
\]
\[
\left|
\begin{array}{ccc}
{1}&{\color{red}2}&{1}\\
{2}&{\color{red}0}&{1}\\
1&{\color{red}1}&-1
\end{array}
\right|=
\underbrace{
-(2)
\left|
\begin{array}{cc}
{2}&{1}\\
1&-1
\end{array}
\right|
}_{=6}
\underbrace{
+(0)
\left|
\begin{array}{cc}
{1}&{1}\\
1&-1
\end{array}
\right|
}_{=0}
\underbrace{
-(1)
\left|
\begin{array}{cc}
{1}&{1}\\
{2}&{1}
\end{array}
\right|
}_{=1}
=7
\]
\[
\left|
\begin{array}{ccc}
{1}&{2}&{\color{red}1}\\
{2}&{0}&{\color{red}1}\\
1&1&{\color{red}{-1}}
\end{array}
\right|=
\underbrace{
+1
\left|
\begin{array}{ccc}
2&0\\
1&1
\end{array}
\right|
}_{=2}
\underbrace{
-1
\left|
\begin{array}{ccc}
1&2\\
1&1
\end{array}
\right|
}_{=1}
\underbrace{
+(-1)
\left|
\begin{array}{ccc}
1&2\\
2&0\\
\end{array}
\right|
}_{=4}
=7
\]
On remarque que la dernière méthode était plus avantageuse car l'apparition du \( 0\) a limité le calcul. En utilisant qu'un déterminant n'est pas modifier si on ajouter à une colonne une combinaison linéaire des autres, on peut faire apparaitre le plus de \( 0\) possible pour simplifier significativement les opérations à effectuer.
\[
\left|
\begin{array}{ccc}
1&2&1\\
2&0&1\\
1&1&-1
\end{array}
\right|
\underset{C_2\leftarrow C_2-2C_3}{=}
\left|
\begin{array}{ccc}
1&0&1\\
2&-2&1\\
1&3&-1
\end{array}
\right|
\underset{C_1\leftarrow C_1-C_3}{=}
\left|
\begin{array}{ccc}
0&0&1\\
1&-2&1\\
2&3&-1
\end{array}
\right|
=1
\left|
\begin{array}{cc}
1&-2\\
2&3
\end{array}
\right|=7
\]
Théorème
Soient \( n\in \N_{{>}0}\) et \( A\) , \( B\) des matrices de \( \M_n(\R)\) .
\[\det(AB)=\det(A)\det(B)\]
Démonstration
Il s'agit d'un exercice combinatoire usant sans retenue de la définition.
Proposition
Soient \( n\in \N_{{>}0}\) et \( A\in \M_n(\R)\) .
\[
\det({\vphantom{A}}^{t}{A})=\det(A)
\]
Démonstration
Cela découle de la définition
Remarque
Cette proposition implique en particulier que les propriétés du determinant sur les colonnes sont également vrai sur les lignes.
Par exemple
calculons (à nouveau) \( \dpl{\left|
\begin{array}{ccc}
1&2&1\\
2&0&1\\
1&1&-1
\end{array}
\right|}\) .
\[
\left|
\begin{array}{ccc}
1&2&1\\
{\color{red}2}&{\color{red}0}&{\color{red}1}\\
1&1&-1
\end{array}
\right|=
\underbrace{
-2
\left|
\begin{array}{ccc}
2&1\\
1&-1
\end{array}
\right|
}_{=6}
\underbrace{
+0
\left|
\begin{array}{ccc}
1&1\\
1&-1
\end{array}
\right|
}_{=0}
\underbrace{
-1
\left|
\begin{array}{ccc}
1&1\\
2&1\\
\end{array}
\right|
}_{=1}
=7
\]
\[
\left|
\begin{array}{ccc}
1&2&1\\
2&0&1\\
1&1&-1
\end{array}
\right|
\underset{L_2\leftarrow L_2-2L_1}{=}
\left|
\begin{array}{ccc}
1&2&1\\
0&-4&-1\\
1&1&-1
\end{array}
\right|
\underset{L_2\leftarrow L_3-L_1}{=}
\left|
\begin{array}{ccc}
1&2&1\\
0&-4&-1\\
0&-1&-2
\end{array}
\right|
=1
\left|
\begin{array}{cc}
-4&-1\\
-1&-2
\end{array}
\right|=7
\]
\[
\left|
\begin{array}{ccc}
1&2&1\\
2&0&1\\
1&1&-1
\end{array}
\right|
\underset{C_2\leftarrow C_2-2C_3}{=}
\left|
\begin{array}{ccc}
1&0&1\\
2&-2&1\\
1&3&-1
\end{array}
\right|
\underset{L_2\leftarrow L_2+\frac{2}{3}L_3}{=}
\left|
\begin{array}{ccc}
1&0&1\\
\frac{8}{3}&0&\frac{1}{3}\\
1&3&-1
\end{array}
\right|
=-3
\left|
\begin{array}{cc}
1&1\\
\frac{8}{3}&\frac{1}{3}
\end{array}
\right|=7
\]
Exercice
Calculer les déterminants suivants :
-
\( \det\begin{pmatrix}
1&2\\
8&16
\end{pmatrix}\)
-
\( \det\begin{pmatrix}
1&-2&0\\
1&1&0\\
199&22&7
\end{pmatrix}\)
-
\( \det\begin{pmatrix}
1&-2&3\\
1&1&1\\
2&2&2
\end{pmatrix}\)
-
\( \det\begin{pmatrix}
1&7&0\\
1&0&1\\
0&1&1
\end{pmatrix}\)
-
\( \det\begin{pmatrix}
1&-2&3\\
1&2&1\\
2&2&2
\end{pmatrix}\)
-
\( \det\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}\)
%
Exercice
%Déterminer l'inverse de \( A=\begin{pmatrix}
%6 & 2 & 2 \\
%5 & 2 & 3 \\
%5 & 3 & 2
%\end{pmatrix} \)
%
%
%
Définition
Soient \( n\in \N_{{>}0}\) et \( A\in \M_n(\R)\) . La matrice des cofacteurs de \( A\) ou comatrice de \( A\) est la matrice, notée \( \mathcal{Co}(A)\) définie pour tout \( i\) et \( j\) de \( [\![1;n]\!]\) par
\[\mathcal{Co}(A)_{i,j}=(-1)^{i+j}\det(\hat{A}_{i,j})\]
où \( \hat{A}_{i,j}\) est la matrice \( A\) où on a supprimé la ligne \( i\) et la colonne \( j\) .
Par exemple,
\[\mathcal{Co}
\begin{pmatrix}
3&4&5\\
-1&3&6\\
3&4&-5
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
-39&13&-13\\
40&-30&0\\
9&-23&13
\end{pmatrix}
\]
Théorème
Soient \( n\in \N_{{>}0}\) et \( A\in \M_n(\R)\) .
- \( (i)\) .
- La matrice \( A\) est inversible si et seulement si \( \det(A)\neq 0\) .
- \( (ii)\) .
- Si \( A\) est inversible alors son inverse est \( \dfrac{1}{\det(A)}{\vphantom{\mathcal{Co}(A)}}^{t}{\mathcal{Co}(A)}\) .
Démonstration
Supposons que \( \det(A)\neq0\) et vérifions que \( A{\vphantom{\mathcal{Co}(A)}}^{t}{\mathcal{Co}(A)}={\vphantom{\mathcal{Co}(A)}}^{t}{\mathcal{Co}(A)}A=\det(A).Id_n\) .
\begin{eqnarray*}
(A{\vphantom{\mathcal{Co}(A)}}^{t}{\mathcal{Co}(A)})_{i,j}
&=& \sum_{k=1}^nA_{i,k}{\vphantom{\mathcal{Co}(A)}}^{t}{\mathcal{Co}(A)}_{k,j}\\
&=& \sum_{k=1}^nA_{i,k}\mathcal{Co}(A)_{j,k}\\
&=& \sum_{k=1}^nA_{i,k}(-1)^{j+k}\det(\hat{A}_{j,k})
\end{eqnarray*}
Si \( i=j\) alors cette dernière égalité correspond au déterminant d'après le calcul du déterminant par développement.
Sinon, cette dernière ligne s'identifie à \( \det(A')\) où \( A'\) est la même matrice que \( A\) sauf que la ligne \( j\) à été remplacée par la ligne \( i\) . Puisque \( i\) est différent de \( j\) , la matrice \( A'\) a deux lignes identiques ce qui implique que \( \det(A')=0\) .
Remarque
l'inverse d'une matrice étant unique on la note en général \( A^{-1}\) . Ainsi le théorème précédent stipule que
\(
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}{\vphantom{Co(A)}}^{t}{Co(A)}
\) .
Par exemple
\[
\begin{pmatrix}
3&4&5\\
-1&3&6\\
3&4&-5
\end{pmatrix}^{-1}=\dfrac{1}{130}
{\vphantom{
\begin{pmatrix}
-39&13&-13\\
40&-30&0\\
9&-23&13
\end{pmatrix}
}}^{t}{
\begin{pmatrix}
-39&13&-13\\
40&-30&0\\
9&-23&13
\end{pmatrix}
}
=\dfrac{1}{130}
\begin{pmatrix}
-39&40&9\\
13&-30&-23\\
-13&0&13
\end{pmatrix}
\]
Corollaire
Soient \( n\in \N_{{>}0}\) et \( A\in \M_n(\R)\) .
- \( (i)\) .
- Si \( A\) est inversible alors \( \det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}\)
- \( (ii)\) .
- Si \( P\) est une matrice de passage alors \( \det(PAP^{-1})=\det(A)\)
Démonstration
- \( (i)\) .
- Puisque \( AA^{-1}=Id_n\) alors \( \det(A)\det(A^{-1})=\det(AA^{-1})=\det(Id_n)=1\)
- \( (ii)\) .
- \( \det(PAP^{-1})=\det(P)\det(A)\det(P^{-1})=\det(P)\det(A)\dfrac{1}{\det(P)}=\det(A)\)
Remarque
Ce dernier corollaire prouve en particulier que le déterminant d'une matrice ne dépend pas de la base dans laquelle cette matrice s'exprime. On peut donc noter \( \det(f)\) pour une application linéaire \( f\) , le déterminant se ramenant alors à un calcul sur une base choisi arbitrairement ... ou astucieusement.
Exercice
On considère la matrice
\[ A= \begin{pmatrix}1 & 4 & 0 \\ 2 & 4 & \dfrac{4}{5} \\ -5 & 1 & 5\end{pmatrix}\]
- Donner les mineurs d'ordre \( (3, 1)\) et \( (1, 2)\)
- Expliquer pourquoi
\( \det(A)=\det
\begin{pmatrix}1 & 4 & 0 \\ 0 & -4 & \dfrac{4}{5} \\ 0 & 21 & 5\end{pmatrix}
\)
- Calculer \( \det(A)\) .
- Pourquoi la matrice \( A \) est inversible.
- Donner \( B=A^{-1}\) l'inverse de la matrice \( A \) , en ne détaillant que le calcul de \( A^{-1}_{3, 3}\) .
- Donner \( B^{-1}\) l'inverse de la matrice \( B\) . Justifier.
- Résoudre le système suivant.
\( \left\{\begin{array}{*{4}{cr}}
&x&+&4y &&&=&-\dfrac{63}{8}\\
&2x&+&4y &+&\dfrac{4}{5}z &=&1\\
&-5x&+&y &+&5z &=&6\\
\end{array}
\right.
\)
- Résoudre le système suivant.
\( \left\{\begin{array}{*{4}{cr}}
&-\dfrac{12}{23}x&+&\dfrac{25}{46}y &-&\dfrac{2}{23}z &=&7\\
&\dfrac{35}{92}x&-&\dfrac{25}{184}y &+&\dfrac{1}{46}z &=&7\\
&-\dfrac{55}{92}x&+&\dfrac{105}{184}y &+&\dfrac{5}{46}z &=&9\\
\end{array}
\right.
\)
Exercice
Déterminer si les matrices suivantes sont inversibles et, si oui, calculer leur inverse.
- \( A = \beginpmatrix 4 & 7
2 & 3 \endpmatrix \)
- \( B = \beginpmatrix 1 & 2
2 & 4 \endpmatrix \)
- \( C = \beginpmatrix -3 & 2
5 & -3 \endpmatrix \)
- \( D = \beginpmatrix 2 & 0 & 1
1 & 3 & 1
0 & 1 & 2 \endpmatrix \)
- \( E = \beginpmatrix 1 & 0 & 3
2 & 1 & 6
3 & 0 & 9 \endpmatrix \)
- \( F = \beginpmatrix 1 & 4 & 7
2 & 5 & 8
3 & 6 & 10 \endpmatrix \)
