\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; #2\right]\!\right]} \newcommand{\intEFO}[2]{\left[\!\left[#1 ; #2\right[\!\right[} \newcommand{\intEOF}[2]{\left]\!\left]#1 ; #2\right]\!\right]} \newcommand{\intEOO}[2]{\left]\!\left]#1 ; #2\right[\!\right[} \newcommand{\ou}{\vee} \newcommand{\et}{\wedge} \newcommand{\non}{\neg} \newcommand{\implique}{\Rightarrow} \newcommand{\equivalent}{\Leftrightarrow} \newcommand{\Ab}{\overline{A}} \newcommand{\Bb}{\overline{B}} \newcommand{\Cb}{\overline{C}} \newcommand{\Cl}{\texttt{Cl}} \newcommand{\ab}{\overline{a}} \newcommand{\bb}{\overline{b}} \newcommand{\cb}{\overline{c}} \newcommand{\Rel}{\mathcal{R}} \newcommand{\superepsilon}{\varepsilon\!\!\varepsilon} \newcommand{\supere}{e\!\!e} \makeatletter \newenvironment{console}{\noindent\color{white}\begin{lrbox}{\@tempboxa}\begin{minipage}{\columnwidth} \ttfamily \bfseries\vspace*{0.5cm}} {\vspace*{0.5cm}\end{minipage}\end{lrbox}\colorbox{black}{\usebox{\@tempboxa}} } \makeatother \def\ie{\textit{i.e. }} \def\cf{\textit{c.f. }} \def\vide{ { $ {\text{ }} $ } } %Commande pour les vecteurs \newcommand{\grad}{\overrightarrow{Grad}} \newcommand{\Vv}{\overrightarrow{v}} \newcommand{\Vu}{\overrightarrow{u}} \newcommand{\Vw}{\overrightarrow{w}} \newcommand{\Vup}{\overrightarrow{u'}} \newcommand{\Zero}{\overrightarrow{0}} \newcommand{\Vx}{\overrightarrow{x}} \newcommand{\Vy}{\overrightarrow{y}} \newcommand{\Vz}{\overrightarrow{z}} \newcommand{\Vt}{\overrightarrow{t}} \newcommand{\Va}{\overrightarrow{a}} \newcommand{\Vb}{\overrightarrow{b}} \newcommand{\Vc}{\overrightarrow{c}} \newcommand{\Vd}{\overrightarrow{d}} \newcommand{\Ve}[1]{\overrightarrow{e_{#1}}} \newcommand{\Vf}[1]{\overrightarrow{f_{#1}}} \newcommand{\Vn}{\overrightarrow{0}} \newcommand{\Mat}{Mat} \newcommand{\Pass}{Pass} \newcommand{\mkF}{\mathfrak{F}} \renewcommand{\sp}{Sp} \newcommand{\Co}{Co} \newcommand{\vect}[1]{\texttt{Vect}\dpl{\left( #1\right)}} \newcommand{\prodscal}[2]{\dpl{\left\langle #1\left|\vphantom{#1 #2}\right. #2\right\rangle}} \newcommand{\trans}[1]{{\vphantom{#1}}^{t}{#1}} \newcommand{\ortho}[1]{{#1}^{\bot}} \newcommand{\oplusbot}{\overset{\bot}{\oplus}} \SelectTips{cm}{12}%Change le bout des flèches dans un xymatrix \newcommand{\pourDES}[8]{ \begin{itemize} \item Pour la ligne : le premier et dernier caractère forment $#1#2$ soit $#4$ en base 10. \item Pour la colonne : les autres caractères du bloc forment $#3$ soit $#5$ en base 10. \item A l'intersection de la ligne $#4+1$ et de la colonne $#5+1$ de $S_{#8}$ se trouve l'entier $#6$ qui, codé sur $4$ bits, est \textbf{\texttt{$#7$}}. \end{itemize} } \)
Accueil
Accueil
Connexion
Connexion
Liste des cours
Liste des cours
Exercices
Exercices
Projets
Projets
Département SD
Département SD
How To
How To
Exercice

L'exercice suivant est automatiquement et aléatoirement généré par ataraXy.
Si vous regénérez la page (F5) les valeurs seront changées.
La correction se trouve en bas de page.

Exercice


On considère la matrice \[ A= \begin{pmatrix}1 & \dfrac{19}{4} & 4 & -5 & -2 \\ 3 & 4 & 5 & -\dfrac{11}{4} & 0 \\ \dfrac{12}{5} & -5 & -\dfrac{2}{3} & -2 & 4 \\ -4 & \dfrac{23}{2} & -5 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & -\dfrac{17}{2} & -\dfrac{13}{2} & \dfrac{6}{5}\end{pmatrix}\]
  1. Donner les mineurs d'ordre \( (3, 3)\) et \( (3, 1)\) : \( \widehat{A}_{3, 3}=\) \( \widehat{A}_{3, 1}=\)
  2. Expliquer pourquoi \( \det(A)=\det \begin{pmatrix}1 & \dfrac{19}{4} & 4 & -5 & -2 \\ 0 & -\dfrac{41}{4} & -7 & \dfrac{49}{4} & 6 \\ 0 & -\dfrac{82}{5} & -\dfrac{154}{15} & 10 & \dfrac{44}{5} \\ 0 & \dfrac{61}{2} & 11 & -18 & -5 \\ 0 & -\dfrac{3}{4} & -\dfrac{25}{2} & -\dfrac{3}{2} & \dfrac{16}{5}\end{pmatrix} \)
  3. Calculer \( \det(A)\) .
  4. Pourquoi la matrice \( A \) est inversible.
  5. Donner \( B=A^{-1}\) l'inverse de la matrice \( A \) , en ne détaillant que le calcul de \( A^{-1}_{3, 2}\) .
  6. Donner \( B^{-1}\) l'inverse de la matrice \( B\) . Justifier.
  7. Résoudre le système suivant. \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &x&+&\dfrac{19}{4}y &+&4z &-&5t &-&2u &=&6\\ &3x&+&4y &+&5z &-&\dfrac{11}{4}t &&&=&8\\ &\dfrac{12}{5}x&-&5y &-&\dfrac{2}{3}z &-&2t &+&4u &=&-7\\ &-4x&+&\dfrac{23}{2}y &-&5z &+&2t &+&3u &=&8\\ &x&+&4y &-&\dfrac{17}{2}z &-&\dfrac{13}{2}t &+&\dfrac{6}{5}u &=&-6\\ \end{array} \right. \)
  8. Résoudre le système suivant. \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &-\dfrac{2516505}{6760133}x&+&\dfrac{2727700}{6760133}y &-&\dfrac{4105845}{27040532}z &-&\dfrac{666105}{6760133}t &+&\dfrac{892625}{6760133}u &=&0\\ &-\dfrac{324600}{6760133}x&+&\dfrac{710304}{6760133}y &-&\dfrac{395325}{6760133}z &+&\dfrac{251428}{6760133}t &+&\dfrac{148180}{6760133}u &=&-5\\ &\dfrac{866802}{6760133}x&-&\dfrac{235356}{6760133}y &+&\dfrac{1005465}{13520266}z &+&\dfrac{174798}{6760133}t &-&\dfrac{668100}{6760133}u &=&5\\ &-\dfrac{1641420}{6760133}x&+&\dfrac{1122692}{6760133}y &-&\dfrac{780735}{6760133}z &-&\dfrac{43132}{6760133}t &-&\dfrac{25420}{6760133}u &=&-3\\ &\dfrac{427910}{6760133}x&-&\dfrac{226620}{6760133}y &+&\dfrac{1505175}{6760133}z &+&\dfrac{721515}{6760133}t &-&\dfrac{474410}{6760133}u &=&9\\ \end{array} \right. \)
Cliquer ici pour afficher la solution

Exercice


  1. \( \widehat{A}_{3, 3}=\begin{pmatrix}1 & \dfrac{19}{4} & -5 & -2 \\ 3 & 4 & -\dfrac{11}{4} & 0 \\ -4 & \dfrac{23}{2} & 2 & 3 \\ 1 & 4 & -\dfrac{13}{2} & \dfrac{6}{5}\end{pmatrix}\) \( \widehat{A}_{3, 1}=\begin{pmatrix}\dfrac{19}{4} & 4 & -5 & -2 \\ 4 & 5 & -\dfrac{11}{4} & 0 \\ \dfrac{23}{2} & -5 & 2 & 3 \\ 4 & -\dfrac{17}{2} & -\dfrac{13}{2} & \dfrac{6}{5}\end{pmatrix}\)
  2. On sait, d'après le cours, que l'on ne modifie la valeur du déterminant d'une matrice lorsqu'on ajoute à une ligne une combinaison linéaire des autres. On est donc partie de la matrice \( A\) et on a fait : \( L_{2}\leftarrow L_{2}-\left(3\right)L_1\) , \( L_{3}\leftarrow L_{3}-\left(\dfrac{12}{5}\right)L_1\) , \( L_{4}\leftarrow L_{4}-\left(-4\right)L_1\) et \( L_{5}\leftarrow L_{5}-\left(1\right)L_1\)
  3. En développant par rapport à la première colonne, en se servant de la précédente remarque on a \begin{eqnarray*} \det(A) &=&\det\begin{pmatrix}1 & \dfrac{19}{4} & 4 & -5 & -2 \\ 0 & -\dfrac{41}{4} & -7 & \dfrac{49}{4} & 6 \\ 0 & -\dfrac{82}{5} & -\dfrac{154}{15} & 10 & \dfrac{44}{5} \\ 0 & \dfrac{61}{2} & 11 & -18 & -5 \\ 0 & -\dfrac{3}{4} & -\dfrac{25}{2} & -\dfrac{3}{2} & \dfrac{16}{5}\end{pmatrix}\\ &=&1\times\det\begin{pmatrix}-\dfrac{41}{4} & -7 & \dfrac{49}{4} & 6 \\ -\dfrac{82}{5} & -\dfrac{154}{15} & 10 & \dfrac{44}{5} \\ \dfrac{61}{2} & 11 & -18 & -5 \\ -\dfrac{3}{4} & -\dfrac{25}{2} & -\dfrac{3}{2} & \dfrac{16}{5}\end{pmatrix}\\ &=&-\dfrac{6760133}{600} \end{eqnarray*}
  4. On observe que le déterminant de \( A\) est non nul. D'après le cours, cela signifie que la matrice est inversible.
  5. D'après le cours \( B=A^{-1}=\left(-\dfrac{6760133}{600}\right)^{-1}{}^tCo\begin{pmatrix}1 & \dfrac{19}{4} & 4 & -5 & -2 \\ 3 & 4 & 5 & -\dfrac{11}{4} & 0 \\ \dfrac{12}{5} & -5 & -\dfrac{2}{3} & -2 & 4 \\ -4 & \dfrac{23}{2} & -5 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & -\dfrac{17}{2} & -\dfrac{13}{2} & \dfrac{6}{5}\end{pmatrix} =-\dfrac{600}{6760133}\begin{pmatrix}\dfrac{17011908495165}{4056079800} & -\dfrac{18439614784100}{4056079800} & \dfrac{27756058277385}{16224319200} & \dfrac{4502958391965}{4056079800} & -\dfrac{6034263719125}{4056079800} \\ \dfrac{2194339171800}{4056079800} & -\dfrac{4801749510432}{4056079800} & \dfrac{2672449578225}{4056079800} & -\dfrac{1699686719924}{4056079800} & -\dfrac{1001716507940}{4056079800} \\ -\dfrac{5859696804666}{4056079800} & \dfrac{1591037862348}{4056079800} & -\dfrac{6797077126845}{8112159600} & -\dfrac{1181657728134}{4056079800} & \dfrac{4516444857300}{4056079800} \\ \dfrac{11096217508860}{4056079800} & -\dfrac{7589547238036}{4056079800} & \dfrac{5277872437755}{4056079800} & \dfrac{291578056556}{4056079800} & \dfrac{171842580860}{4056079800} \\ -\dfrac{2892728512030}{4056079800} & \dfrac{1531981340460}{4056079800} & -\dfrac{10175183188275}{4056079800} & -\dfrac{4877537361495}{4056079800} & \dfrac{3207074696530}{4056079800}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\dfrac{2516505}{6760133} & \dfrac{2727700}{6760133} & -\dfrac{4105845}{27040532} & -\dfrac{666105}{6760133} & \dfrac{892625}{6760133} \\ -\dfrac{324600}{6760133} & \dfrac{710304}{6760133} & -\dfrac{395325}{6760133} & \dfrac{251428}{6760133} & \dfrac{148180}{6760133} \\ \dfrac{866802}{6760133} & -\dfrac{235356}{6760133} & \dfrac{1005465}{13520266} & \dfrac{174798}{6760133} & -\dfrac{668100}{6760133} \\ -\dfrac{1641420}{6760133} & \dfrac{1122692}{6760133} & -\dfrac{780735}{6760133} & -\dfrac{43132}{6760133} & -\dfrac{25420}{6760133} \\ \dfrac{427910}{6760133} & -\dfrac{226620}{6760133} & \dfrac{1505175}{6760133} & \dfrac{721515}{6760133} & -\dfrac{474410}{6760133}\end{pmatrix}\) . Précisément on a calculé \( A^{-1}_{3, 2}=B_{3, 2}= \left(-\dfrac{6760133}{600}\right)^{-1}Co(A)_{2, 3}= \left(-\dfrac{6760133}{600}\right)^{-1}\times(-1)^{2+3}\det\begin{pmatrix}1 & \dfrac{19}{4} & -5 & -2 \\ \dfrac{12}{5} & -5 & -2 & 4 \\ -4 & \dfrac{23}{2} & 2 & 3 \\ 1 & 4 & -\dfrac{13}{2} & \dfrac{6}{5}\end{pmatrix}=-\dfrac{235356}{6760133}\) .
  6. On observe que \( B^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{-1}=A\) . Trivialement, et sans calcul, \[ B^{-1}=\begin{pmatrix}1 & \dfrac{19}{4} & 4 & -5 & -2 \\ 3 & 4 & 5 & -\dfrac{11}{4} & 0 \\ \dfrac{12}{5} & -5 & -\dfrac{2}{3} & -2 & 4 \\ -4 & \dfrac{23}{2} & -5 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & -\dfrac{17}{2} & -\dfrac{13}{2} & \dfrac{6}{5}\end{pmatrix}\]
  7. Le système \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &x&+&\dfrac{19}{4}y &+&4z &-&5t &-&2u &=&6\\ &3x&+&4y &+&5z &-&\dfrac{11}{4}t &&&=&8\\ &\dfrac{12}{5}x&-&5y &-&\dfrac{2}{3}z &-&2t &+&4u &=&-7\\ &-4x&+&\dfrac{23}{2}y &-&5z &+&2t &+&3u &=&8\\ &x&+&4y &-&\dfrac{17}{2}z &-&\dfrac{13}{2}t &+&\dfrac{6}{5}u &=&-6\\ \end{array} \right.\) est équivalent à l'équation \( AX=a\) où la matrice \( A\) est celle de l'énoncé, \( X\) la matrice colonne des indéterminés et \( a=\begin{pmatrix}6 \\ 8 \\ -7 \\ 8 \\ -6\end{pmatrix}\) de sorte que la solution est \( X=A^{-1}a=\begin{pmatrix}-\dfrac{2516505}{6760133} & \dfrac{2727700}{6760133} & -\dfrac{4105845}{27040532} & -\dfrac{666105}{6760133} & \dfrac{892625}{6760133} \\ -\dfrac{324600}{6760133} & \dfrac{710304}{6760133} & -\dfrac{395325}{6760133} & \dfrac{251428}{6760133} & \dfrac{148180}{6760133} \\ \dfrac{866802}{6760133} & -\dfrac{235356}{6760133} & \dfrac{1005465}{13520266} & \dfrac{174798}{6760133} & -\dfrac{668100}{6760133} \\ -\dfrac{1641420}{6760133} & \dfrac{1122692}{6760133} & -\dfrac{780735}{6760133} & -\dfrac{43132}{6760133} & -\dfrac{25420}{6760133} \\ \dfrac{427910}{6760133} & -\dfrac{226620}{6760133} & \dfrac{1505175}{6760133} & \dfrac{721515}{6760133} & -\dfrac{474410}{6760133}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}6 \\ 8 \\ -7 \\ 8 \\ -6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{2.6925847783328E+34}{5.6472393279849E+34} \\ \dfrac{1.5923170276936E+34}{1.4118098319962E+34} \\ \dfrac{2.1744035407314E+34}{2.8236196639924E+34} \\ \dfrac{9.2008614195732E+33}{1.4118098319962E+34} \\ -\dfrac{2.4291527208669E+33}{1.4118098319962E+34}\end{pmatrix}\) . Ainsi \( x=\dfrac{2.6925847783328E+34}{5.6472393279849E+34}\) , \( y=\dfrac{1.5923170276936E+34}{1.4118098319962E+34}\) , \( z=\dfrac{2.1744035407314E+34}{2.8236196639924E+34}\) , \( t=\dfrac{9.2008614195732E+33}{1.4118098319962E+34}\) et \( u=\dfrac{2.4291527208669E+33}{1.4118098319962E+34}\)
  8. Le système \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &-\dfrac{2516505}{6760133}x&+&\dfrac{2727700}{6760133}y &-&\dfrac{4105845}{27040532}z &-&\dfrac{666105}{6760133}t &+&\dfrac{892625}{6760133}u &=&0\\ &-\dfrac{324600}{6760133}x&+&\dfrac{710304}{6760133}y &-&\dfrac{395325}{6760133}z &+&\dfrac{251428}{6760133}t &+&\dfrac{148180}{6760133}u &=&-5\\ &\dfrac{866802}{6760133}x&-&\dfrac{235356}{6760133}y &+&\dfrac{1005465}{13520266}z &+&\dfrac{174798}{6760133}t &-&\dfrac{668100}{6760133}u &=&5\\ &-\dfrac{1641420}{6760133}x&+&\dfrac{1122692}{6760133}y &-&\dfrac{780735}{6760133}z &-&\dfrac{43132}{6760133}t &-&\dfrac{25420}{6760133}u &=&-3\\ &\dfrac{427910}{6760133}x&-&\dfrac{226620}{6760133}y &+&\dfrac{1505175}{6760133}z &+&\dfrac{721515}{6760133}t &-&\dfrac{474410}{6760133}u &=&9\\ \end{array} \right.\) est équivalent à l'équation \( BX=b\) où la matrice \( B=A^{-1}\) déterminée précédement, \( X\) la matrice colonne des indéterminés et \( b=\begin{pmatrix}0 \\ -5 \\ 5 \\ -3 \\ 9\end{pmatrix}\) de sorte que la solution est \( X=B^{-1}b=Ab=\begin{pmatrix}1 & \dfrac{19}{4} & 4 & -5 & -2 \\ 3 & 4 & 5 & -\dfrac{11}{4} & 0 \\ \dfrac{12}{5} & -5 & -\dfrac{2}{3} & -2 & 4 \\ -4 & \dfrac{23}{2} & -5 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & -\dfrac{17}{2} & -\dfrac{13}{2} & \dfrac{6}{5}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0 \\ -5 \\ 5 \\ -3 \\ 9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{27}{4} \\ \dfrac{53}{4} \\ \dfrac{191}{3} \\ -\dfrac{123}{2} \\ -\dfrac{161}{5}\end{pmatrix}\) . Ainsi \( x=\dfrac{27}{4}\) , \( y=\dfrac{53}{4}\) , \( z=\dfrac{191}{3}\) , \( t=\dfrac{123}{2}\) et \( u=\dfrac{161}{5}\)