\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Exercice


On considère la matrice \[ A= \begin{pmatrix}1 & -5 & -4 & \dfrac{23}{3} & -3 \\ 3 & -\dfrac{11}{5} & -\dfrac{2}{3} & -3 & 2 \\ -\dfrac{7}{4} & 0 & -4 & 4 & 2 \\ 2 & -3 & \dfrac{23}{4} & \dfrac{12}{5} & 0 \\ -1 & -\dfrac{23}{3} & 0 & -5 & 5\end{pmatrix}\]
  1. Donner les mineurs d'ordre \( (1, 3)\) et \( (4, 2)\) : \( \widehat{A}_{1, 3}=\) \( \widehat{A}_{4, 2}=\)
  2. Expliquer pourquoi \( \det(A)=\det \begin{pmatrix}1 & -5 & -4 & \dfrac{23}{3} & -3 \\ 0 & \dfrac{64}{5} & \dfrac{34}{3} & -26 & 11 \\ 0 & -\dfrac{35}{4} & -11 & \dfrac{209}{12} & -\dfrac{13}{4} \\ 0 & 7 & \dfrac{55}{4} & -\dfrac{194}{15} & 6 \\ 0 & -\dfrac{38}{3} & -4 & \dfrac{8}{3} & 2\end{pmatrix} \)
  3. Calculer \( \det(A)\) .
  4. Pourquoi la matrice \( A \) est inversible.
  5. Donner \( B=A^{-1}\) l'inverse de la matrice \( A \) , en ne détaillant que le calcul de \( A^{-1}_{1, 5}\) .
  6. Donner \( B^{-1}\) l'inverse de la matrice \( B\) . Justifier.
  7. Résoudre le système suivant. \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &x&-&5y &-&4z &+&\dfrac{23}{3}t &-&3u &=&0\\ &3x&-&\dfrac{11}{5}y &-&\dfrac{2}{3}z &-&3t &+&2u &=&-1\\ &-\dfrac{7}{4}x&&&-&4z &+&4t &+&2u &=&5\\ &2x&-&3y &+&\dfrac{23}{4}z &+&\dfrac{12}{5}t &&&=&-6\\ &-x&-&\dfrac{23}{3}y &&&-&5t &+&5u &=&1\\ \end{array} \right. \)
  8. Résoudre le système suivant. \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &\dfrac{145512}{11075309}x&+&\dfrac{2975880}{11075309}y &+&\dfrac{8412}{582911}z &+&\dfrac{557440}{11075309}t &-&\dfrac{1166976}{11075309}u &=&-8\\ &-\dfrac{1731645}{22150618}x&+&\dfrac{418455}{11075309}y &+&\dfrac{39720}{582911}z &-&\dfrac{28800}{11075309}t &-&\dfrac{1977495}{22150618}u &=&-8\\ &-\dfrac{164454840}{3322592700}x&-&\dfrac{787764}{11075309}y &-&\dfrac{50397120}{2491944525}z &+&\dfrac{1297644}{11075309}t &+&\dfrac{22737240}{3322592700}u &=&-2\\ &\dfrac{79067880}{7974222480}x&-&\dfrac{69480}{11075309}y &+&\dfrac{70884}{582911}z &+&\dfrac{1005240}{11075309}t &-&\dfrac{106808760}{2658074160}u &=&6\\ &-\dfrac{1069808040}{9967778100}x&+&\dfrac{166761}{1582187}y &+&\dfrac{1711757880}{7475833575}z &+&\dfrac{153224}{1582187}t &+&\dfrac{12330360}{6645185400}u &=&-1\\ \end{array} \right. \)
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Exercice


  1. \( \widehat{A}_{1, 3}=\begin{pmatrix}3 & -\dfrac{11}{5} & -3 & 2 \\ -\dfrac{7}{4} & 0 & 4 & 2 \\ 2 & -3 & \dfrac{12}{5} & 0 \\ -1 & -\dfrac{23}{3} & -5 & 5\end{pmatrix}\) \( \widehat{A}_{4, 2}=\begin{pmatrix}1 & -4 & \dfrac{23}{3} & -3 \\ 3 & -\dfrac{2}{3} & -3 & 2 \\ -\dfrac{7}{4} & -4 & 4 & 2 \\ -1 & 0 & -5 & 5\end{pmatrix}\)
  2. On sait, d'après le cours, que l'on ne modifie la valeur du déterminant d'une matrice lorsqu'on ajoute à une ligne une combinaison linéaire des autres. On est donc partie de la matrice \( A\) et on a fait : \( L_{2}\leftarrow L_{2}-\left(3\right)L_1\) , \( L_{3}\leftarrow L_{3}-\left(-\dfrac{7}{4}\right)L_1\) , \( L_{4}\leftarrow L_{4}-\left(2\right)L_1\) et \( L_{5}\leftarrow L_{5}-\left(-1\right)L_1\)
  3. En développant par rapport à la première colonne, en se servant de la précédente remarque on a \begin{eqnarray*} \det(A) &=&\det\begin{pmatrix}1 & -5 & -4 & \dfrac{23}{3} & -3 \\ 0 & \dfrac{64}{5} & \dfrac{34}{3} & -26 & 11 \\ 0 & -\dfrac{35}{4} & -11 & \dfrac{209}{12} & -\dfrac{13}{4} \\ 0 & 7 & \dfrac{55}{4} & -\dfrac{194}{15} & 6 \\ 0 & -\dfrac{38}{3} & -4 & \dfrac{8}{3} & 2\end{pmatrix}\\ &=&1\times\det\begin{pmatrix}\dfrac{64}{5} & \dfrac{34}{3} & -26 & 11 \\ -\dfrac{35}{4} & -11 & \dfrac{209}{12} & -\dfrac{13}{4} \\ 7 & \dfrac{55}{4} & -\dfrac{194}{15} & 6 \\ -\dfrac{38}{3} & -4 & \dfrac{8}{3} & 2\end{pmatrix}\\ &=&-\dfrac{11075309}{1080} \end{eqnarray*}
  4. On observe que le déterminant de \( A\) est non nul. D'après le cours, cela signifie que la matrice est inversible.
  5. D'après le cours \( B=A^{-1}=\left(-\dfrac{11075309}{1080}\right)^{-1}{}^tCo\begin{pmatrix}1 & -5 & -4 & \dfrac{23}{3} & -3 \\ 3 & -\dfrac{11}{5} & -\dfrac{2}{3} & -3 & 2 \\ -\dfrac{7}{4} & 0 & -4 & 4 & 2 \\ 2 & -3 & \dfrac{23}{4} & \dfrac{12}{5} & 0 \\ -1 & -\dfrac{23}{3} & 0 & -5 & 5\end{pmatrix} =-\dfrac{1080}{11075309}\begin{pmatrix}-\dfrac{1611590363208}{11961333720} & -\dfrac{32958790546920}{11961333720} & -\dfrac{93165499308}{629543880} & -\dfrac{6173820248960}{11961333720} & \dfrac{12924619795584}{11961333720} \\ \dfrac{19178503453305}{23922667440} & -\dfrac{4634518427595}{11961333720} & -\dfrac{439911273480}{629543880} & \dfrac{318968899200}{11961333720} & \dfrac{21901368170955}{23922667440} \\ \dfrac{1821388169545560}{3588400116000} & \dfrac{8724729719076}{11961333720} & \dfrac{558163676710080}{2691300087000} & -\dfrac{14371808271996}{11961333720} & -\dfrac{251821958807160}{3588400116000} \\ -\dfrac{875701202974920}{8612160278400} & \dfrac{769512469320}{11961333720} & -\dfrac{785062203156}{629543880} & -\dfrac{11133343619160}{11961333720} & \dfrac{1182940020906840}{2870720092800} \\ \dfrac{11848454613684360}{10765200348000} & -\dfrac{1846929604149}{1708761960} & -\dfrac{18958247454184920}{8073900261000} & -\dfrac{1697003146216}{1708761960} & -\dfrac{136562547081240}{7176800232000}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{145512}{11075309} & \dfrac{2975880}{11075309} & \dfrac{8412}{582911} & \dfrac{557440}{11075309} & -\dfrac{1166976}{11075309} \\ -\dfrac{1731645}{22150618} & \dfrac{418455}{11075309} & \dfrac{39720}{582911} & -\dfrac{28800}{11075309} & -\dfrac{1977495}{22150618} \\ -\dfrac{164454840}{3322592700} & -\dfrac{787764}{11075309} & -\dfrac{50397120}{2491944525} & \dfrac{1297644}{11075309} & \dfrac{22737240}{3322592700} \\ \dfrac{79067880}{7974222480} & -\dfrac{69480}{11075309} & \dfrac{70884}{582911} & \dfrac{1005240}{11075309} & -\dfrac{106808760}{2658074160} \\ -\dfrac{1069808040}{9967778100} & \dfrac{166761}{1582187} & \dfrac{1711757880}{7475833575} & \dfrac{153224}{1582187} & \dfrac{12330360}{6645185400}\end{pmatrix}\) . Précisément on a calculé \( A^{-1}_{1, 5}=B_{1, 5}= \left(-\dfrac{11075309}{1080}\right)^{-1}Co(A)_{5, 1}= \left(-\dfrac{11075309}{1080}\right)^{-1}\times(-1)^{5+1}\det\begin{pmatrix}-5 & -4 & \dfrac{23}{3} & -3 \\ -\dfrac{11}{5} & -\dfrac{2}{3} & -3 & 2 \\ 0 & -4 & 4 & 2 \\ -3 & \dfrac{23}{4} & \dfrac{12}{5} & 0\end{pmatrix}=-\dfrac{1166976}{11075309}\) .
  6. On observe que \( B^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{-1}=A\) . Trivialement, et sans calcul, \[ B^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -5 & -4 & \dfrac{23}{3} & -3 \\ 3 & -\dfrac{11}{5} & -\dfrac{2}{3} & -3 & 2 \\ -\dfrac{7}{4} & 0 & -4 & 4 & 2 \\ 2 & -3 & \dfrac{23}{4} & \dfrac{12}{5} & 0 \\ -1 & -\dfrac{23}{3} & 0 & -5 & 5\end{pmatrix}\]
  7. Le système \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &x&-&5y &-&4z &+&\dfrac{23}{3}t &-&3u &=&0\\ &3x&-&\dfrac{11}{5}y &-&\dfrac{2}{3}z &-&3t &+&2u &=&-1\\ &-\dfrac{7}{4}x&&&-&4z &+&4t &+&2u &=&5\\ &2x&-&3y &+&\dfrac{23}{4}z &+&\dfrac{12}{5}t &&&=&-6\\ &-x&-&\dfrac{23}{3}y &&&-&5t &+&5u &=&1\\ \end{array} \right.\) est équivalent à l'équation \( AX=a\) où la matrice \( A\) est celle de l'énoncé, \( X\) la matrice colonne des indéterminés et \( a=\begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 5 \\ -6 \\ 1\end{pmatrix}\) de sorte que la solution est \( X=A^{-1}a=\begin{pmatrix}\dfrac{145512}{11075309} & \dfrac{2975880}{11075309} & \dfrac{8412}{582911} & \dfrac{557440}{11075309} & -\dfrac{1166976}{11075309} \\ -\dfrac{1731645}{22150618} & \dfrac{418455}{11075309} & \dfrac{39720}{582911} & -\dfrac{28800}{11075309} & -\dfrac{1977495}{22150618} \\ -\dfrac{164454840}{3322592700} & -\dfrac{787764}{11075309} & -\dfrac{50397120}{2491944525} & \dfrac{1297644}{11075309} & \dfrac{22737240}{3322592700} \\ \dfrac{79067880}{7974222480} & -\dfrac{69480}{11075309} & \dfrac{70884}{582911} & \dfrac{1005240}{11075309} & -\dfrac{106808760}{2658074160} \\ -\dfrac{1069808040}{9967778100} & \dfrac{166761}{1582187} & \dfrac{1711757880}{7475833575} & \dfrac{153224}{1582187} & \dfrac{12330360}{6645185400}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 5 \\ -6 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{4.7822616710151E+26}{7.9189902160335E+26} \\ \dfrac{3.6308325774086E+26}{1.5837980432067E+27} \\ -\dfrac{7.374772685929E+32}{1.0156104952063E+33} \\ \dfrac{5.611139092851E+27}{1.900557651848E+29} \\ \dfrac{5.7237945903777E+31}{1.2436046880077E+32}\end{pmatrix}\) . Ainsi \( x=\dfrac{4.7822616710151E+26}{7.9189902160335E+26}\) , \( y=\dfrac{3.6308325774086E+26}{1.5837980432067E+27}\) , \( z=\dfrac{7.374772685929E+32}{1.0156104952063E+33}\) , \( t=\dfrac{5.611139092851E+27}{1.900557651848E+29}\) et \( u=\dfrac{5.7237945903777E+31}{1.2436046880077E+32}\)
  8. Le système \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &\dfrac{145512}{11075309}x&+&\dfrac{2975880}{11075309}y &+&\dfrac{8412}{582911}z &+&\dfrac{557440}{11075309}t &-&\dfrac{1166976}{11075309}u &=&-8\\ &-\dfrac{1731645}{22150618}x&+&\dfrac{418455}{11075309}y &+&\dfrac{39720}{582911}z &-&\dfrac{28800}{11075309}t &-&\dfrac{1977495}{22150618}u &=&-8\\ &-\dfrac{164454840}{3322592700}x&-&\dfrac{787764}{11075309}y &-&\dfrac{50397120}{2491944525}z &+&\dfrac{1297644}{11075309}t &+&\dfrac{22737240}{3322592700}u &=&-2\\ &\dfrac{79067880}{7974222480}x&-&\dfrac{69480}{11075309}y &+&\dfrac{70884}{582911}z &+&\dfrac{1005240}{11075309}t &-&\dfrac{106808760}{2658074160}u &=&6\\ &-\dfrac{1069808040}{9967778100}x&+&\dfrac{166761}{1582187}y &+&\dfrac{1711757880}{7475833575}z &+&\dfrac{153224}{1582187}t &+&\dfrac{12330360}{6645185400}u &=&-1\\ \end{array} \right.\) est équivalent à l'équation \( BX=b\) où la matrice \( B=A^{-1}\) déterminée précédement, \( X\) la matrice colonne des indéterminés et \( b=\begin{pmatrix}-8 \\ -8 \\ -2 \\ 6 \\ -1\end{pmatrix}\) de sorte que la solution est \( X=B^{-1}b=Ab=\begin{pmatrix}1 & -5 & -4 & \dfrac{23}{3} & -3 \\ 3 & -\dfrac{11}{5} & -\dfrac{2}{3} & -3 & 2 \\ -\dfrac{7}{4} & 0 & -4 & 4 & 2 \\ 2 & -3 & \dfrac{23}{4} & \dfrac{12}{5} & 0 \\ -1 & -\dfrac{23}{3} & 0 & -5 & 5\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-8 \\ -8 \\ -2 \\ 6 \\ -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}89 \\ -\dfrac{376}{15} \\ 44 \\ \dfrac{109}{10} \\ \dfrac{103}{3}\end{pmatrix}\) . Ainsi \( x=89\) , \( y=\dfrac{376}{15}\) , \( z=44\) , \( t=\dfrac{109}{10}\) et \( u=\dfrac{103}{3}\)