\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Exercice


On considère la matrice \[ A= \begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 5 & 2 \\ -1 & -\dfrac{2}{3} & -4 & 4 & \dfrac{11}{5} \\ -5 & 4 & -2 & 3 & 2 \\ -5 & -5 & \dfrac{23}{2} & -1 & 5 \\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{18}{5} & -2 & -\dfrac{25}{2} & 0\end{pmatrix}\]
  1. Donner les mineurs d'ordre \( (5, 3)\) et \( (5, 5)\) : \( \widehat{A}_{5, 3}=\) \( \widehat{A}_{5, 5}=\)
  2. Expliquer pourquoi \( \det(A)=\det \begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & \dfrac{4}{3} & -4 & 9 & \dfrac{21}{5} \\ 0 & 14 & -2 & 28 & 12 \\ 0 & 5 & \dfrac{23}{2} & 24 & 15 \\ 0 & \dfrac{13}{5} & -2 & -15 & -1\end{pmatrix} \)
  3. Calculer \( \det(A)\) .
  4. Pourquoi la matrice \( A \) est inversible.
  5. Donner \( B=A^{-1}\) l'inverse de la matrice \( A \) , en ne détaillant que le calcul de \( A^{-1}_{4, 5}\) .
  6. Donner \( B^{-1}\) l'inverse de la matrice \( B\) . Justifier.
  7. Résoudre le système suivant. \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &x&+&2y &&&+&5t &+&2u &=&\dfrac{44}{7}\\ &-x&-&\dfrac{2}{3}y &-&4z &+&4t &+&\dfrac{11}{5}u &=&-1\\ &-5x&+&4y &-&2z &+&3t &+&2u &=&7\\ &-5x&-&5y &+&\dfrac{23}{2}z &-&t &+&5u &=&-4\\ &\dfrac{1}{2}x&+&\dfrac{18}{5}y &-&2z &-&\dfrac{25}{2}t &&&=&-3\\ \end{array} \right. \)
  8. Résoudre le système suivant. \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &\dfrac{22547}{125752}x&+&\dfrac{1455}{251504}y &-&\dfrac{72959}{503008}z &-&\dfrac{2043}{125752}t &+&\dfrac{10075}{251504}u &=&-2\\ &\dfrac{8865}{62876}x&-&\dfrac{18105}{125752}y &+&\dfrac{22401}{251504}z &-&\dfrac{1803}{62876}t &+&\dfrac{4275}{125752}u &=&-5\\ &\dfrac{4141}{62876}x&-&\dfrac{17979}{125752}y &+&\dfrac{6519}{1257520}z &+&\dfrac{10843}{314380}t &-&\dfrac{2631}{125752}u &=&-1\\ &\dfrac{4683}{125752}x&-&\dfrac{4617}{251504}y &+&\dfrac{47837}{2515040}z &-&\dfrac{9071}{628760}t &-&\dfrac{16413}{251504}u &=&5\\ &\dfrac{2015}{11432}x&+&\dfrac{4275}{22864}y &-&\dfrac{2931}{45728}z &+&\dfrac{833}{11432}t &+&\dfrac{2495}{22864}u &=&9\\ \end{array} \right. \)
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Exercice


  1. \( \widehat{A}_{5, 3}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 5 & 2 \\ -1 & -\dfrac{2}{3} & 4 & \dfrac{11}{5} \\ -5 & 4 & 3 & 2 \\ -5 & -5 & -1 & 5\end{pmatrix}\) \( \widehat{A}_{5, 5}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 5 \\ -1 & -\dfrac{2}{3} & -4 & 4 \\ -5 & 4 & -2 & 3 \\ -5 & -5 & \dfrac{23}{2} & -1\end{pmatrix}\)
  2. On sait, d'après le cours, que l'on ne modifie la valeur du déterminant d'une matrice lorsqu'on ajoute à une ligne une combinaison linéaire des autres. On est donc partie de la matrice \( A\) et on a fait : \( L_{2}\leftarrow L_{2}-\left(-1\right)L_1\) , \( L_{3}\leftarrow L_{3}-\left(-5\right)L_1\) , \( L_{4}\leftarrow L_{4}-\left(-5\right)L_1\) et \( L_{5}\leftarrow L_{5}-\left(\dfrac{1}{2}\right)L_1\)
  3. En développant par rapport à la première colonne, en se servant de la précédente remarque on a \begin{eqnarray*} \det(A) &=&\det\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & \dfrac{4}{3} & -4 & 9 & \dfrac{21}{5} \\ 0 & 14 & -2 & 28 & 12 \\ 0 & 5 & \dfrac{23}{2} & 24 & 15 \\ 0 & \dfrac{13}{5} & -2 & -15 & -1\end{pmatrix}\\ &=&1\times\det\begin{pmatrix}\dfrac{4}{3} & -4 & 9 & \dfrac{21}{5} \\ 14 & -2 & 28 & 12 \\ 5 & \dfrac{23}{2} & 24 & 15 \\ \dfrac{13}{5} & -2 & -15 & -1\end{pmatrix}\\ &=&\dfrac{251504}{15} \end{eqnarray*}
  4. On observe que le déterminant de \( A\) est non nul. D'après le cours, cela signifie que la matrice est inversible.
  5. D'après le cours \( B=A^{-1}=\left(\dfrac{251504}{15}\right)^{-1}{}^tCo\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 5 & 2 \\ -1 & -\dfrac{2}{3} & -4 & 4 & \dfrac{11}{5} \\ -5 & 4 & -2 & 3 & 2 \\ -5 & -5 & \dfrac{23}{2} & -1 & 5 \\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{18}{5} & -2 & -\dfrac{25}{2} & 0\end{pmatrix} =\dfrac{15}{251504}\begin{pmatrix}\dfrac{5670660688}{1886280} & 97 & -\dfrac{18349480336}{7545120} & -\dfrac{1362}{5} & \dfrac{2533902800}{3772560} \\ \dfrac{2229582960}{943140} & -\dfrac{4553479920}{1886280} & \dfrac{5633941104}{3772560} & -\dfrac{2404}{5} & 570 \\ \dfrac{16564}{15} & -\dfrac{4521790416}{1886280} & \dfrac{2173}{25} & \dfrac{2727057872}{4715700} & -\dfrac{1754}{5} \\ \dfrac{3122}{5} & -\dfrac{1539}{5} & \dfrac{12031196848}{37725600} & -\dfrac{2281392784}{9431400} & -\dfrac{4127935152}{3772560} \\ \dfrac{8866}{3} & 3135 & -\dfrac{10747}{10} & \dfrac{18326}{15} & \dfrac{5489}{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{22547}{125752} & \dfrac{1455}{251504} & -\dfrac{72959}{503008} & -\dfrac{2043}{125752} & \dfrac{10075}{251504} \\ \dfrac{8865}{62876} & -\dfrac{18105}{125752} & \dfrac{22401}{251504} & -\dfrac{1803}{62876} & \dfrac{4275}{125752} \\ \dfrac{4141}{62876} & -\dfrac{17979}{125752} & \dfrac{6519}{1257520} & \dfrac{10843}{314380} & -\dfrac{2631}{125752} \\ \dfrac{4683}{125752} & -\dfrac{4617}{251504} & \dfrac{47837}{2515040} & -\dfrac{9071}{628760} & -\dfrac{16413}{251504} \\ \dfrac{2015}{11432} & \dfrac{4275}{22864} & -\dfrac{2931}{45728} & \dfrac{833}{11432} & \dfrac{2495}{22864}\end{pmatrix}\) . Précisément on a calculé \( A^{-1}_{4, 5}=B_{4, 5}= \left(\dfrac{251504}{15}\right)^{-1}Co(A)_{5, 4}= \left(\dfrac{251504}{15}\right)^{-1}\times(-1)^{5+4}\det\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 2 \\ -1 & -\dfrac{2}{3} & -4 & \dfrac{11}{5} \\ -5 & 4 & -2 & 2 \\ -5 & -5 & \dfrac{23}{2} & 5\end{pmatrix}=-\dfrac{16413}{251504}\) .
  6. On observe que \( B^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{-1}=A\) . Trivialement, et sans calcul, \[ B^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 5 & 2 \\ -1 & -\dfrac{2}{3} & -4 & 4 & \dfrac{11}{5} \\ -5 & 4 & -2 & 3 & 2 \\ -5 & -5 & \dfrac{23}{2} & -1 & 5 \\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{18}{5} & -2 & -\dfrac{25}{2} & 0\end{pmatrix}\]
  7. Le système \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &x&+&2y &&&+&5t &+&2u &=&\dfrac{44}{7}\\ &-x&-&\dfrac{2}{3}y &-&4z &+&4t &+&\dfrac{11}{5}u &=&-1\\ &-5x&+&4y &-&2z &+&3t &+&2u &=&7\\ &-5x&-&5y &+&\dfrac{23}{2}z &-&t &+&5u &=&-4\\ &\dfrac{1}{2}x&+&\dfrac{18}{5}y &-&2z &-&\dfrac{25}{2}t &&&=&-3\\ \end{array} \right.\) est équivalent à l'équation \( AX=a\) où la matrice \( A\) est celle de l'énoncé, \( X\) la matrice colonne des indéterminés et \( a=\begin{pmatrix}\dfrac{44}{7} \\ -1 \\ 7 \\ -4 \\ -3\end{pmatrix}\) de sorte que la solution est \( X=A^{-1}a=\begin{pmatrix}\dfrac{22547}{125752} & \dfrac{1455}{251504} & -\dfrac{72959}{503008} & -\dfrac{2043}{125752} & \dfrac{10075}{251504} \\ \dfrac{8865}{62876} & -\dfrac{18105}{125752} & \dfrac{22401}{251504} & -\dfrac{1803}{62876} & \dfrac{4275}{125752} \\ \dfrac{4141}{62876} & -\dfrac{17979}{125752} & \dfrac{6519}{1257520} & \dfrac{10843}{314380} & -\dfrac{2631}{125752} \\ \dfrac{4683}{125752} & -\dfrac{4617}{251504} & \dfrac{47837}{2515040} & -\dfrac{9071}{628760} & -\dfrac{16413}{251504} \\ \dfrac{2015}{11432} & \dfrac{4275}{22864} & -\dfrac{2931}{45728} & \dfrac{833}{11432} & \dfrac{2495}{22864}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\dfrac{44}{7} \\ -1 \\ 7 \\ -4 \\ -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{5.0730855438487E+19}{1.0002754157972E+21} \\ \dfrac{7.2925107545952E+20}{4.3762049441127E+20} \\ \dfrac{5.6676421314576E+21}{1.0940512360282E+22} \\ \dfrac{1.5981034783994E+22}{2.500688539493E+22} \\ -\dfrac{70093600344542720}{478241097642262528}\end{pmatrix}\) . Ainsi \( x=\dfrac{5.0730855438487E+19}{1.0002754157972E+21}\) , \( y=\dfrac{7.2925107545952E+20}{4.3762049441127E+20}\) , \( z=\dfrac{5.6676421314576E+21}{1.0940512360282E+22}\) , \( t=\dfrac{1.5981034783994E+22}{2.500688539493E+22}\) et \( u=\dfrac{70093600344542720}{478241097642262528}\)
  8. Le système \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &\dfrac{22547}{125752}x&+&\dfrac{1455}{251504}y &-&\dfrac{72959}{503008}z &-&\dfrac{2043}{125752}t &+&\dfrac{10075}{251504}u &=&-2\\ &\dfrac{8865}{62876}x&-&\dfrac{18105}{125752}y &+&\dfrac{22401}{251504}z &-&\dfrac{1803}{62876}t &+&\dfrac{4275}{125752}u &=&-5\\ &\dfrac{4141}{62876}x&-&\dfrac{17979}{125752}y &+&\dfrac{6519}{1257520}z &+&\dfrac{10843}{314380}t &-&\dfrac{2631}{125752}u &=&-1\\ &\dfrac{4683}{125752}x&-&\dfrac{4617}{251504}y &+&\dfrac{47837}{2515040}z &-&\dfrac{9071}{628760}t &-&\dfrac{16413}{251504}u &=&5\\ &\dfrac{2015}{11432}x&+&\dfrac{4275}{22864}y &-&\dfrac{2931}{45728}z &+&\dfrac{833}{11432}t &+&\dfrac{2495}{22864}u &=&9\\ \end{array} \right.\) est équivalent à l'équation \( BX=b\) où la matrice \( B=A^{-1}\) déterminée précédement, \( X\) la matrice colonne des indéterminés et \( b=\begin{pmatrix}-2 \\ -5 \\ -1 \\ 5 \\ 9\end{pmatrix}\) de sorte que la solution est \( X=B^{-1}b=Ab=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 5 & 2 \\ -1 & -\dfrac{2}{3} & -4 & 4 & \dfrac{11}{5} \\ -5 & 4 & -2 & 3 & 2 \\ -5 & -5 & \dfrac{23}{2} & -1 & 5 \\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{18}{5} & -2 & -\dfrac{25}{2} & 0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-2 \\ -5 \\ -1 \\ 5 \\ 9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}31 \\ \dfrac{737}{15} \\ 25 \\ \dfrac{127}{2} \\ -\dfrac{159}{2}\end{pmatrix}\) . Ainsi \( x=31\) , \( y=\dfrac{737}{15}\) , \( z=25\) , \( t=\dfrac{127}{2}\) et \( u=\dfrac{159}{2}\)