\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Exercice


On considère la matrice \[ A= \begin{pmatrix}1 & 3 & \dfrac{19}{4} & 4 & -\dfrac{25}{4} \\ 4 & -1 & 0 & -1 & -1 \\ -2 & \dfrac{11}{2} & -\dfrac{14}{3} & -\dfrac{21}{4} & 4 \\ 4 & \dfrac{20}{3} & -3 & 0 & \dfrac{11}{2} \\ -5 & -2 & -4 & \dfrac{13}{2} & \dfrac{13}{5}\end{pmatrix}\]
  1. Donner les mineurs d'ordre \( (1, 1)\) et \( (1, 2)\) : \( \widehat{A}_{1, 1}=\) \( \widehat{A}_{1, 2}=\)
  2. Expliquer pourquoi \( \det(A)=\det \begin{pmatrix}1 & 3 & \dfrac{19}{4} & 4 & -\dfrac{25}{4} \\ 0 & -13 & -19 & -17 & 24 \\ 0 & \dfrac{23}{2} & \dfrac{29}{6} & \dfrac{11}{4} & -\dfrac{17}{2} \\ 0 & -\dfrac{16}{3} & -22 & -16 & \dfrac{61}{2} \\ 0 & 13 & \dfrac{79}{4} & \dfrac{53}{2} & -\dfrac{573}{20}\end{pmatrix} \)
  3. Calculer \( \det(A)\) .
  4. Pourquoi la matrice \( A \) est inversible.
  5. Donner \( B=A^{-1}\) l'inverse de la matrice \( A \) , en ne détaillant que le calcul de \( A^{-1}_{3, 5}\) .
  6. Donner \( B^{-1}\) l'inverse de la matrice \( B\) . Justifier.
  7. Résoudre le système suivant. \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &x&+&3y &+&\dfrac{19}{4}z &+&4t &-&\dfrac{25}{4}u &=&-7\\ &4x&-&y &&&-&t &-&u &=&2\\ &-2x&+&\dfrac{11}{2}y &-&\dfrac{14}{3}z &-&\dfrac{21}{4}t &+&4u &=&-5\\ &4x&+&\dfrac{20}{3}y &-&3z &&&+&\dfrac{11}{2}u &=&-7\\ &-5x&-&2y &-&4z &+&\dfrac{13}{2}t &+&\dfrac{13}{5}u &=&-2\\ \end{array} \right. \)
  8. Résoudre le système suivant. \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &-\dfrac{11248}{5219613}x&+&\dfrac{432759520}{2505414240}y &-&\dfrac{193174}{5219613}z &+&\dfrac{42364}{745659}t &-&\dfrac{31195}{15658839}u &=&-9\\ &\dfrac{152344}{1739871}x&-&\dfrac{240847}{5219613}y &+&\dfrac{114220}{1739871}z &+&\dfrac{11714}{248553}t &-&\dfrac{41540}{5219613}u &=&5\\ &-\dfrac{15484}{248553}x&-&\dfrac{268784}{745659}y &-&\dfrac{45832}{248553}z &+&\dfrac{18958}{248553}t &-&\dfrac{123820}{745659}u &=&0\\ &\dfrac{73712}{1739871}x&+&\dfrac{17590}{5219613}y &-&\dfrac{105172}{1739871}z &+&\dfrac{13708}{248553}t &+&\dfrac{414800}{5219613}u &=&1\\ &-\dfrac{723160}{5219613}x&-&\dfrac{4170080}{15658839}y &-&\dfrac{799840}{5219613}z &+&\dfrac{93190}{745659}t &-&\dfrac{1244560}{15658839}u &=&-4\\ \end{array} \right. \)
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Exercice


  1. \( \widehat{A}_{1, 1}=\begin{pmatrix}-1 & 0 & -1 & -1 \\ \dfrac{11}{2} & -\dfrac{14}{3} & -\dfrac{21}{4} & 4 \\ \dfrac{20}{3} & -3 & 0 & \dfrac{11}{2} \\ -2 & -4 & \dfrac{13}{2} & \dfrac{13}{5}\end{pmatrix}\) \( \widehat{A}_{1, 2}=\begin{pmatrix}4 & 0 & -1 & -1 \\ -2 & -\dfrac{14}{3} & -\dfrac{21}{4} & 4 \\ 4 & -3 & 0 & \dfrac{11}{2} \\ -5 & -4 & \dfrac{13}{2} & \dfrac{13}{5}\end{pmatrix}\)
  2. On sait, d'après le cours, que l'on ne modifie la valeur du déterminant d'une matrice lorsqu'on ajoute à une ligne une combinaison linéaire des autres. On est donc partie de la matrice \( A\) et on a fait : \( L_{2}\leftarrow L_{2}-\left(4\right)L_1\) , \( L_{3}\leftarrow L_{3}-\left(-2\right)L_1\) , \( L_{4}\leftarrow L_{4}-\left(4\right)L_1\) et \( L_{5}\leftarrow L_{5}-\left(-5\right)L_1\)
  3. En développant par rapport à la première colonne, en se servant de la précédente remarque on a \begin{eqnarray*} \det(A) &=&\det\begin{pmatrix}1 & 3 & \dfrac{19}{4} & 4 & -\dfrac{25}{4} \\ 0 & -13 & -19 & -17 & 24 \\ 0 & \dfrac{23}{2} & \dfrac{29}{6} & \dfrac{11}{4} & -\dfrac{17}{2} \\ 0 & -\dfrac{16}{3} & -22 & -16 & \dfrac{61}{2} \\ 0 & 13 & \dfrac{79}{4} & \dfrac{53}{2} & -\dfrac{573}{20}\end{pmatrix}\\ &=&1\times\det\begin{pmatrix}-13 & -19 & -17 & 24 \\ \dfrac{23}{2} & \dfrac{29}{6} & \dfrac{11}{4} & -\dfrac{17}{2} \\ -\dfrac{16}{3} & -22 & -16 & \dfrac{61}{2} \\ 13 & \dfrac{79}{4} & \dfrac{53}{2} & -\dfrac{573}{20}\end{pmatrix}\\ &=&-\dfrac{1739871}{160} \end{eqnarray*}
  4. On observe que le déterminant de \( A\) est non nul. D'après le cours, cela signifie que la matrice est inversible.
  5. D'après le cours \( B=A^{-1}=\left(-\dfrac{1739871}{160}\right)^{-1}{}^tCo\begin{pmatrix}1 & 3 & \dfrac{19}{4} & 4 & -\dfrac{25}{4} \\ 4 & -1 & 0 & -1 & -1 \\ -2 & \dfrac{11}{2} & -\dfrac{14}{3} & -\dfrac{21}{4} & 4 \\ 4 & \dfrac{20}{3} & -3 & 0 & \dfrac{11}{2} \\ -5 & -2 & -4 & \dfrac{13}{2} & \dfrac{13}{5}\end{pmatrix} =-\dfrac{160}{1739871}\begin{pmatrix}\dfrac{19570069008}{835138080} & -\dfrac{752945738821920}{400866278400} & \dfrac{336097840554}{835138080} & -\dfrac{73707895044}{119305440} & \dfrac{54275275845}{2505414240} \\ -\dfrac{265058907624}{278379360} & \dfrac{419042710737}{835138080} & -\dfrac{198728065620}{278379360} & -\dfrac{20380848894}{39768480} & \dfrac{72274241340}{835138080} \\ \dfrac{26940162564}{39768480} & \dfrac{467649486864}{119305440} & \dfrac{79741767672}{39768480} & -\dfrac{32984474418}{39768480} & \dfrac{215430827220}{119305440} \\ -\dfrac{128249371152}{278379360} & -\dfrac{30604330890}{835138080} & \dfrac{182985712812}{278379360} & -\dfrac{23850151668}{39768480} & -\dfrac{721698490800}{835138080} \\ \dfrac{1258205112360}{835138080} & \dfrac{7255401259680}{2505414240} & \dfrac{1391618420640}{835138080} & -\dfrac{162138578490}{119305440} & \dfrac{2165373851760}{2505414240}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\dfrac{11248}{5219613} & \dfrac{432759520}{2505414240} & -\dfrac{193174}{5219613} & \dfrac{42364}{745659} & -\dfrac{31195}{15658839} \\ \dfrac{152344}{1739871} & -\dfrac{240847}{5219613} & \dfrac{114220}{1739871} & \dfrac{11714}{248553} & -\dfrac{41540}{5219613} \\ -\dfrac{15484}{248553} & -\dfrac{268784}{745659} & -\dfrac{45832}{248553} & \dfrac{18958}{248553} & -\dfrac{123820}{745659} \\ \dfrac{73712}{1739871} & \dfrac{17590}{5219613} & -\dfrac{105172}{1739871} & \dfrac{13708}{248553} & \dfrac{414800}{5219613} \\ -\dfrac{723160}{5219613} & -\dfrac{4170080}{15658839} & -\dfrac{799840}{5219613} & \dfrac{93190}{745659} & -\dfrac{1244560}{15658839}\end{pmatrix}\) . Précisément on a calculé \( A^{-1}_{3, 5}=B_{3, 5}= \left(-\dfrac{1739871}{160}\right)^{-1}Co(A)_{5, 3}= \left(-\dfrac{1739871}{160}\right)^{-1}\times(-1)^{5+3}\det\begin{pmatrix}1 & 3 & 4 & -\dfrac{25}{4} \\ 4 & -1 & -1 & -1 \\ -2 & \dfrac{11}{2} & -\dfrac{21}{4} & 4 \\ 4 & \dfrac{20}{3} & 0 & \dfrac{11}{2}\end{pmatrix}=-\dfrac{123820}{745659}\) .
  6. On observe que \( B^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{-1}=A\) . Trivialement, et sans calcul, \[ B^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 3 & \dfrac{19}{4} & 4 & -\dfrac{25}{4} \\ 4 & -1 & 0 & -1 & -1 \\ -2 & \dfrac{11}{2} & -\dfrac{14}{3} & -\dfrac{21}{4} & 4 \\ 4 & \dfrac{20}{3} & -3 & 0 & \dfrac{11}{2} \\ -5 & -2 & -4 & \dfrac{13}{2} & \dfrac{13}{5}\end{pmatrix}\]
  7. Le système \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &x&+&3y &+&\dfrac{19}{4}z &+&4t &-&\dfrac{25}{4}u &=&-7\\ &4x&-&y &&&-&t &-&u &=&2\\ &-2x&+&\dfrac{11}{2}y &-&\dfrac{14}{3}z &-&\dfrac{21}{4}t &+&4u &=&-5\\ &4x&+&\dfrac{20}{3}y &-&3z &&&+&\dfrac{11}{2}u &=&-7\\ &-5x&-&2y &-&4z &+&\dfrac{13}{2}t &+&\dfrac{13}{5}u &=&-2\\ \end{array} \right.\) est équivalent à l'équation \( AX=a\) où la matrice \( A\) est celle de l'énoncé, \( X\) la matrice colonne des indéterminés et \( a=\begin{pmatrix}-7 \\ 2 \\ -5 \\ -7 \\ -2\end{pmatrix}\) de sorte que la solution est \( X=A^{-1}a=\begin{pmatrix}-\dfrac{11248}{5219613} & \dfrac{432759520}{2505414240} & -\dfrac{193174}{5219613} & \dfrac{42364}{745659} & -\dfrac{31195}{15658839} \\ \dfrac{152344}{1739871} & -\dfrac{240847}{5219613} & \dfrac{114220}{1739871} & \dfrac{11714}{248553} & -\dfrac{41540}{5219613} \\ -\dfrac{15484}{248553} & -\dfrac{268784}{745659} & -\dfrac{45832}{248553} & \dfrac{18958}{248553} & -\dfrac{123820}{745659} \\ \dfrac{73712}{1739871} & \dfrac{17590}{5219613} & -\dfrac{105172}{1739871} & \dfrac{13708}{248553} & \dfrac{414800}{5219613} \\ -\dfrac{723160}{5219613} & -\dfrac{4170080}{15658839} & -\dfrac{799840}{5219613} & \dfrac{93190}{745659} & -\dfrac{1244560}{15658839}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-7 \\ 2 \\ -5 \\ -7 \\ -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{1.7292016962874E+34}{1.1385652709868E+35} \\ -\dfrac{3.9458440584004E+30}{2.9284086187932E+30} \\ \dfrac{3.7165769735404E+27}{8.5376344571229E+27} \\ -\dfrac{1.5596155136994E+30}{2.9284086187932E+30} \\ \dfrac{3.4692051135865E+32}{7.1160329436674E+32}\end{pmatrix}\) . Ainsi \( x=\dfrac{1.7292016962874E+34}{1.1385652709868E+35}\) , \( y=\dfrac{3.9458440584004E+30}{2.9284086187932E+30}\) , \( z=\dfrac{3.7165769735404E+27}{8.5376344571229E+27}\) , \( t=\dfrac{1.5596155136994E+30}{2.9284086187932E+30}\) et \( u=\dfrac{3.4692051135865E+32}{7.1160329436674E+32}\)
  8. Le système \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &-\dfrac{11248}{5219613}x&+&\dfrac{432759520}{2505414240}y &-&\dfrac{193174}{5219613}z &+&\dfrac{42364}{745659}t &-&\dfrac{31195}{15658839}u &=&-9\\ &\dfrac{152344}{1739871}x&-&\dfrac{240847}{5219613}y &+&\dfrac{114220}{1739871}z &+&\dfrac{11714}{248553}t &-&\dfrac{41540}{5219613}u &=&5\\ &-\dfrac{15484}{248553}x&-&\dfrac{268784}{745659}y &-&\dfrac{45832}{248553}z &+&\dfrac{18958}{248553}t &-&\dfrac{123820}{745659}u &=&0\\ &\dfrac{73712}{1739871}x&+&\dfrac{17590}{5219613}y &-&\dfrac{105172}{1739871}z &+&\dfrac{13708}{248553}t &+&\dfrac{414800}{5219613}u &=&1\\ &-\dfrac{723160}{5219613}x&-&\dfrac{4170080}{15658839}y &-&\dfrac{799840}{5219613}z &+&\dfrac{93190}{745659}t &-&\dfrac{1244560}{15658839}u &=&-4\\ \end{array} \right.\) est équivalent à l'équation \( BX=b\) où la matrice \( B=A^{-1}\) déterminée précédement, \( X\) la matrice colonne des indéterminés et \( b=\begin{pmatrix}-9 \\ 5 \\ 0 \\ 1 \\ -4\end{pmatrix}\) de sorte que la solution est \( X=B^{-1}b=Ab=\begin{pmatrix}1 & 3 & \dfrac{19}{4} & 4 & -\dfrac{25}{4} \\ 4 & -1 & 0 & -1 & -1 \\ -2 & \dfrac{11}{2} & -\dfrac{14}{3} & -\dfrac{21}{4} & 4 \\ 4 & \dfrac{20}{3} & -3 & 0 & \dfrac{11}{2} \\ -5 & -2 & -4 & \dfrac{13}{2} & \dfrac{13}{5}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-9 \\ 5 \\ 0 \\ 1 \\ -4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}35 \\ -38 \\ \dfrac{97}{4} \\ -\dfrac{74}{3} \\ \dfrac{311}{10}\end{pmatrix}\) . Ainsi \( x=35\) , \( y=38\) , \( z=\dfrac{97}{4}\) , \( t=\dfrac{74}{3}\) et \( u=\dfrac{311}{10}\)