Exercice
Faisons apparaître une inéquation de signe :
\begin{eqnarray*}
\dfrac{2x-\dfrac{7}{3}}{2x+\dfrac{7}{3}}\leqslant \dfrac{2x+\dfrac{7}{3}}{2x-\dfrac{7}{3}} & \Longleftrightarrow & \dfrac{2x-\dfrac{7}{3}}{2x+\dfrac{7}{3}}-\dfrac{2x+\dfrac{7}{3}}{2x-\dfrac{7}{3}}\leqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\left(2x-\dfrac{7}{3}\right)^2}{\left(2x+\dfrac{7}{3}\right)\left(2x-\dfrac{7}{3}\right)}-\dfrac{\left(2x+\dfrac{7}{3}\right)^2}{\left(2x-\dfrac{7}{3}\right)\left(2x+\dfrac{7}{3}\right)}\leqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\left(2x-\dfrac{7}{3}\right)^2-\left(2x+\dfrac{7}{3}\right)^2}{\left(2x+\dfrac{7}{3}\right)\left(2x-\dfrac{7}{3}\right)}\leqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{-\dfrac{56}{3}x}{\left(2x+\dfrac{7}{3}\right)\left(2x-\dfrac{7}{3}\right)}\leqslant 0\end{eqnarray*}
Solutionnons chacun des facteurs.
Le facteur au numérateur s'annule trivialement en \( 0 \) .
Les deux facteurs aux dénominateurs s'annulent en \( -\dfrac{7}{6}\) et \( \dfrac{7}{6}\) (cela se retrouve par la résolution d'une équation au produit nul) et sont donc des valeurs interdites (puisqu'au dénominateur).
Dressons le tableau de signe :
La lecture du tableau donne :
\[
S=\left]-\dfrac{7}{6} ; 0 \right]\cup\left] \dfrac{7}{6} ; +\infty\right[
\]