Exercice
Faisons apparaître une inéquation de signe :
\begin{eqnarray*}
\dfrac{4x-\dfrac{5}{3}}{4x+\dfrac{5}{3}}\geqslant \dfrac{4x+\dfrac{5}{3}}{4x-\dfrac{5}{3}} & \Longleftrightarrow & \dfrac{4x-\dfrac{5}{3}}{4x+\dfrac{5}{3}}-\dfrac{4x+\dfrac{5}{3}}{4x-\dfrac{5}{3}}\geqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\left(4x-\dfrac{5}{3}\right)^2}{\left(4x+\dfrac{5}{3}\right)\left(4x-\dfrac{5}{3}\right)}-\dfrac{\left(4x+\dfrac{5}{3}\right)^2}{\left(4x-\dfrac{5}{3}\right)\left(4x+\dfrac{5}{3}\right)}\geqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\left(4x-\dfrac{5}{3}\right)^2-\left(4x+\dfrac{5}{3}\right)^2}{\left(4x+\dfrac{5}{3}\right)\left(4x-\dfrac{5}{3}\right)}\geqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{-\dfrac{80}{3}x}{\left(4x+\dfrac{5}{3}\right)\left(4x-\dfrac{5}{3}\right)}\geqslant 0\end{eqnarray*}
Solutionnons chacun des facteurs.
Le facteur au numérateur s'annule trivialement en \( 0 \) .
Les deux facteurs aux dénominateurs s'annulent en \( -\dfrac{5}{12}\) et \( \dfrac{5}{12}\) (cela se retrouve par la résolution d'une équation au produit nul) et sont donc des valeurs interdites (puisqu'au dénominateur).
Dressons le tableau de signe :
La lecture du tableau donne :
\[
S=\left]-\infty ; -\dfrac{5}{12} \right[\cup\left[0 ; \dfrac{5}{12}\right[
\]