Exercice
Faisons apparaître une inéquation de signe :
\begin{eqnarray*}
\dfrac{5x+\dfrac{12}{5}}{5x-\dfrac{12}{5}}\leqslant \dfrac{5x-\dfrac{12}{5}}{5x+\dfrac{12}{5}} & \Longleftrightarrow & \dfrac{5x+\dfrac{12}{5}}{5x-\dfrac{12}{5}}-\dfrac{5x-\dfrac{12}{5}}{5x+\dfrac{12}{5}}\leqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\left(5x+\dfrac{12}{5}\right)^2}{\left(5x-\dfrac{12}{5}\right)\left(5x+\dfrac{12}{5}\right)}-\dfrac{\left(5x-\dfrac{12}{5}\right)^2}{\left(5x+\dfrac{12}{5}\right)\left(5x-\dfrac{12}{5}\right)}\leqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\left(5x+\dfrac{12}{5}\right)^2-\left(5x-\dfrac{12}{5}\right)^2}{\left(5x-\dfrac{12}{5}\right)\left(5x+\dfrac{12}{5}\right)}\leqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{48x}{\left(5x-\dfrac{12}{5}\right)\left(5x+\dfrac{12}{5}\right)}\leqslant 0\end{eqnarray*}
Solutionnons chacun des facteurs.
Le facteur au numérateur s'annule trivialement en \( 0 \) .
Les deux facteurs aux dénominateurs s'annulent en \( -\dfrac{12}{25}\) et \( \dfrac{12}{25}\) (cela se retrouve par la résolution d'une équation au produit nul) et sont donc des valeurs interdites (puisqu'au dénominateur).
Dressons le tableau de signe :
La lecture du tableau donne :
\[
S=\left]-\infty ; -\dfrac{12}{25} \right[\cup\left[0 ; \dfrac{12}{25}\right[
\]