Exercice
Faisons apparaître une inéquation de signe :
\begin{eqnarray*}
\dfrac{3x+\dfrac{5}{4}}{3x-\dfrac{5}{4}}\leqslant \dfrac{3x-\dfrac{5}{4}}{3x+\dfrac{5}{4}} & \Longleftrightarrow & \dfrac{3x+\dfrac{5}{4}}{3x-\dfrac{5}{4}}-\dfrac{3x-\dfrac{5}{4}}{3x+\dfrac{5}{4}}\leqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\left(3x+\dfrac{5}{4}\right)^2}{\left(3x-\dfrac{5}{4}\right)\left(3x+\dfrac{5}{4}\right)}-\dfrac{\left(3x-\dfrac{5}{4}\right)^2}{\left(3x+\dfrac{5}{4}\right)\left(3x-\dfrac{5}{4}\right)}\leqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\left(3x+\dfrac{5}{4}\right)^2-\left(3x-\dfrac{5}{4}\right)^2}{\left(3x-\dfrac{5}{4}\right)\left(3x+\dfrac{5}{4}\right)}\leqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{15x}{\left(3x-\dfrac{5}{4}\right)\left(3x+\dfrac{5}{4}\right)}\leqslant 0\end{eqnarray*}
Solutionnons chacun des facteurs.
Le facteur au numérateur s'annule trivialement en \( 0 \) .
Les deux facteurs aux dénominateurs s'annulent en \( -\dfrac{5}{12}\) et \( \dfrac{5}{12}\) (cela se retrouve par la résolution d'une équation au produit nul) et sont donc des valeurs interdites (puisqu'au dénominateur).
Dressons le tableau de signe :
La lecture du tableau donne :
\[
S=\left]-\infty ; -\dfrac{5}{12} \right[\cup\left[0 ; \dfrac{5}{12}\right[
\]