Exercice
Faisons apparaître une inéquation de signe :
\begin{eqnarray*}
\dfrac{2x+\dfrac{19}{4}}{2x-\dfrac{19}{4}}\leqslant \dfrac{2x-\dfrac{19}{4}}{2x+\dfrac{19}{4}} & \Longleftrightarrow & \dfrac{2x+\dfrac{19}{4}}{2x-\dfrac{19}{4}}-\dfrac{2x-\dfrac{19}{4}}{2x+\dfrac{19}{4}}\leqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\left(2x+\dfrac{19}{4}\right)^2}{\left(2x-\dfrac{19}{4}\right)\left(2x+\dfrac{19}{4}\right)}-\dfrac{\left(2x-\dfrac{19}{4}\right)^2}{\left(2x+\dfrac{19}{4}\right)\left(2x-\dfrac{19}{4}\right)}\leqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\left(2x+\dfrac{19}{4}\right)^2-\left(2x-\dfrac{19}{4}\right)^2}{\left(2x-\dfrac{19}{4}\right)\left(2x+\dfrac{19}{4}\right)}\leqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{38x}{\left(2x-\dfrac{19}{4}\right)\left(2x+\dfrac{19}{4}\right)}\leqslant 0\end{eqnarray*}
Solutionnons chacun des facteurs.
Le facteur au numérateur s'annule trivialement en \( 0 \) .
Les deux facteurs aux dénominateurs s'annulent en \( -\dfrac{19}{8}\) et \( \dfrac{19}{8}\) (cela se retrouve par la résolution d'une équation au produit nul) et sont donc des valeurs interdites (puisqu'au dénominateur).
Dressons le tableau de signe :
La lecture du tableau donne :
\[
S=\left]-\infty ; -\dfrac{19}{8} \right[\cup\left[0 ; \dfrac{19}{8}\right[
\]