Exercice
Faisons apparaître une inéquation de signe :
\begin{eqnarray*}
\dfrac{4x-\dfrac{15}{4}}{4x+\dfrac{15}{4}}\leqslant \dfrac{4x+\dfrac{15}{4}}{4x-\dfrac{15}{4}} & \Longleftrightarrow & \dfrac{4x-\dfrac{15}{4}}{4x+\dfrac{15}{4}}-\dfrac{4x+\dfrac{15}{4}}{4x-\dfrac{15}{4}}\leqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\left(4x-\dfrac{15}{4}\right)^2}{\left(4x+\dfrac{15}{4}\right)\left(4x-\dfrac{15}{4}\right)}-\dfrac{\left(4x+\dfrac{15}{4}\right)^2}{\left(4x-\dfrac{15}{4}\right)\left(4x+\dfrac{15}{4}\right)}\leqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\left(4x-\dfrac{15}{4}\right)^2-\left(4x+\dfrac{15}{4}\right)^2}{\left(4x+\dfrac{15}{4}\right)\left(4x-\dfrac{15}{4}\right)}\leqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{-60x}{\left(4x+\dfrac{15}{4}\right)\left(4x-\dfrac{15}{4}\right)}\leqslant 0\end{eqnarray*}
Solutionnons chacun des facteurs.
Le facteur au numérateur s'annule trivialement en \( 0 \) .
Les deux facteurs aux dénominateurs s'annulent en \( -\dfrac{15}{16}\) et \( \dfrac{15}{16}\) (cela se retrouve par la résolution d'une équation au produit nul) et sont donc des valeurs interdites (puisqu'au dénominateur).
Dressons le tableau de signe :
La lecture du tableau donne :
\[
S=\left]-\dfrac{15}{16} ; 0 \right]\cup\left] \dfrac{15}{16} ; +\infty\right[
\]