Exercice
Faisons apparaître une inéquation de signe :
\begin{eqnarray*}
\dfrac{3x+\dfrac{1}{2}}{3x-\dfrac{1}{2}}\leqslant \dfrac{3x-\dfrac{1}{2}}{3x+\dfrac{1}{2}} & \Longleftrightarrow & \dfrac{3x+\dfrac{1}{2}}{3x-\dfrac{1}{2}}-\dfrac{3x-\dfrac{1}{2}}{3x+\dfrac{1}{2}}\leqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\left(3x+\dfrac{1}{2}\right)^2}{\left(3x-\dfrac{1}{2}\right)\left(3x+\dfrac{1}{2}\right)}-\dfrac{\left(3x-\dfrac{1}{2}\right)^2}{\left(3x+\dfrac{1}{2}\right)\left(3x-\dfrac{1}{2}\right)}\leqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\left(3x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\left(3x-\dfrac{1}{2}\right)^2}{\left(3x-\dfrac{1}{2}\right)\left(3x+\dfrac{1}{2}\right)}\leqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{6x}{\left(3x-\dfrac{1}{2}\right)\left(3x+\dfrac{1}{2}\right)}\leqslant 0\end{eqnarray*}
Solutionnons chacun des facteurs.
Le facteur au numérateur s'annule trivialement en \( 0 \) .
Les deux facteurs aux dénominateurs s'annulent en \( -\dfrac{1}{6}\) et \( \dfrac{1}{6}\) (cela se retrouve par la résolution d'une équation au produit nul) et sont donc des valeurs interdites (puisqu'au dénominateur).
Dressons le tableau de signe :
La lecture du tableau donne :
\[
S=\left]-\infty ; -\dfrac{1}{6} \right[\cup\left[0 ; \dfrac{1}{6}\right[
\]