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Exercice
On donne la fonction \( g\) définie sur \( [-1 ; 3]\) dont la courbe représentative \( \mathcal{C}_g\) est donnée ci-dessous.
La droite \( T_1\) est la tangente à \( \mathcal{C}_g\) au point d'abscisse \( 1\) .
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- Déterminer \( g(1) \) et \( g'(1) \) par lecture graphique.
- En déduire une équation de la tangente \( T_1 \) .
- Dans cette question on admet que \( g(x)= x^{3} -\dfrac{9}{4} x^{2} -\dfrac{1}{2} x -\dfrac{1}{4} \) .
- Déterminer l'équation de \( T_0\) la tangente à \( \mathcal{C}_g \) en \( 0\) .
- Représenter \( T_0 \) dans le graphique ci-dessus.
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Exercice
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- On observe que \( g(1)=-2\) (trait de construction en vert sur le graphique ci dessous). Pour déterminer \( g'(1) \) il faut lire le coefficient directeur de la tangente en \( 1\) ce qui se fait sans trop de peine (trait en construction en bleu) et on obtient \( g'(1)=-2\)
- D'après le cours \( T_1 : y=g'(1)(x-1)+g(1)\) soit \( y=-2(x-1)+-2=-2x+0 \) .
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- D'après le cours \( T_0 : y=g'(0)(x-0)+g(0)\) . Calculons \( g(0) \) et \( g'(0) \) .
Par dérivation d'un polynôme on a
\( g'(x) =3 x^{2} -\dfrac{9}{2} x -\dfrac{1}{2}\) .
De sorte que l'on arrive rapidement à \( g'(0)=-\dfrac{1}{2}\) et \( g(0)=-\dfrac{1}{4}\) .
\begin{eqnarray*}
y&=&g'(0)(x-0)+g(0)\\
&=&-\dfrac{1}{2}x+-\dfrac{1}{4}
\end{eqnarray*}
- On a représenté \( T_0\) en noire sur le graphique.