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Exercice

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Exercice


On considère l'expression \[ E(x)=\left(x-2\right)\left(x^2+8x+12\right)- \left(x-2\right)\left(4x+8\right)\]
  1. Développer et réduire l'expression \( E(x)\) .
  2. Factoriser l'expression \( E(x)\) .
  3. A l'aide des résultats précédent, résoudre les équations suivantes.
    1. \( E(x)=0\) .
    2. \( E(x)=x^3\) .
    3. \( E(x)=-8\) .
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Exercice


  1. On a \( \boxed{E(x)=x^3 +2x^2 -4x -8}\) . En détails : \begin{eqnarray*} E(x) &=&\left(x-2\right)\left(x^2+8x+12\right)- \left(x-2\right)\left(4x+8\right) \\ &=& \left(x^3+8x^2+12x-2x^2-16x-24\right) \\ & &-\left(4x^2+8x-8x-16\right) \\ &=&x^3 +2x^2 -4x -8 \end{eqnarray*}
  2. On a \( \boxed{E(x)=\left(x-2\right)\left( x^2 +4x +4 \right)}\) . En détails : \begin{eqnarray*} E(x) &=&\left(x-2\right)\left(x^2+8x+12\right)- \left(x-2\right)\left(4x+8\right) \\ &=&\left(x-2\right)\left[\left(x^2+8x+12\right)- \left(4x+8\right)\right] \\ &=&\left(x-2\right)\left( x^2 +4x +4 \right) \end{eqnarray*}
    1. Prenons la forme factorisée. L'équation \( E(x)=0 \) est donc équivalente à l'équation \[ \left(x-2\right)\left( x^2 +4x +4 \right)=0 \] Il s'agit d'une équation au produit nule. Ainsi soit \( x-2=0\) soit \( x^2 +4x +4=0 \) . La première équation équivaut trivialement à \( x=2\) . Le discriminant de la seconde équation est \( \Delta = \left(4\right)^2-4\left(1\right)\left(4\right)=0\) . Le polynôme admet donc une racine réelle double. D'après le cours, cette racine est \( x_0=-\dfrac{4}{2\times1}=-2\) . En conclusion, l'ensemble solution de l'équation \( E(x)=0\) est \[\boxed{\mathscr{S}=\left\{2, -2\right\}}\]
    2. Considérons la forme développée de l'expression. \begin{eqnarray*} E(x)=x^3 & \Longleftrightarrow & x^3 +2x^2 -4x -8=x^3\\ & \Longleftrightarrow & 2x^2 -4x -8=0 \end{eqnarray*} Calculons le discriminant de ce polynôme : \( \Delta=\left(-4\right)^2-4\left(2\right)\left(-8\right)=80=\left(4\sqrt{5}\right)^2{>}0\) . Il existe donc deux racines simples : \[ x_1 =\dfrac{-\left(-4\right)+\sqrt{\left(4\sqrt{5}\right)^2}}{2\times\left(2\right)} =\dfrac{4+4\sqrt{5}}{4} =1+1\sqrt{5} \] \[ x_2 =\dfrac{-\left(-4\right)-\sqrt{\left(4\sqrt{5}\right)^2}}{2\times\left(2\right)} =\dfrac{4-4\sqrt{5}}{4} =1-1\sqrt{5} \] En conclusion l'ensemble solution de l'équation \( E(x)=x^3 \) est \[\boxed{\mathscr{S}=\left\{ 1+1\sqrt{5}, 1-1\sqrt{5}\right\}}\]
    3. Considérons la forme développée de l'expression. \begin{eqnarray*} E(x)=-8 & \Longleftrightarrow & x^3 +2x^2 -4x -8 =-8\\ & \Longleftrightarrow & x^3 +2x^2 -4x =0 \\ & \Longleftrightarrow & x\left( x^2 +2x -4 \right)=0 \end{eqnarray*} Il s'agit d'une équation au produit nul. Soit \( x=0\) , soit \( x^2 +2x -4=0\) . Calculons le discriminant de ce polynôme : \( \Delta=\left(+2\right)^2-4\left(\right)\left(-4\right) =20=\left(2\sqrt{5}\right)^2{>}0\) . Il existe donc deux racines simples : \[ x_1 =\dfrac{-\left(2\right)+\sqrt{\left(2\sqrt{5}\right)^2}}{2\times\left(1\right)} =\dfrac{-2+2\sqrt{5}}{2} =-1+1\sqrt{5} \] \[ x_1 =\dfrac{-\left(2\right)-\sqrt{\left(2\sqrt{5}\right)^2}}{2\times\left(1\right)} =\dfrac{-2-2\sqrt{5}}{2} =-1-1\sqrt{5} \] En conclusion, l'ensemble solution de l'équation \( E(x)=-8\) est \[\boxed{\mathscr{S}=\left\{0, -1+1\sqrt{5}, -1-1\sqrt{5}\right\}}\]