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Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 2503\) modulo \( 2526\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}996 & 307 & 268 \\ 159 & 1647 & 998 \\ 1172 & 511 & 1787\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 2526\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
A cette fin, on pourra considérer le produit de la matrice \( A\) par la matrice \( B =\begin{pmatrix}2433211 & -411661 & -135010 \\ 885523 & 1465756 & -951396 \\ -1849035 & -149152 & 1591599\end{pmatrix}\) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 2 de clef \( A \) : \[2065-1453-1044-424-2328-868\]
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Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
2526 & 2503 & 23 & 1&653 & -659 \\ \hline
2503 & 23 & 19 & 108&-6 & 653 \\ \hline
23 & 19 & 4 & 1&5 & -6 \\ \hline
19 & 4 & 3 & 4&-1 & 5 \\ \hline
4 & 3 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
3 & 1 & 0 & 3&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 2503\) est \( 1867\) .
- D'après le cours \( det(A)= 2199792337\equiv_{2526}2503\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 2526\) .
- Réalisation le produit suggéré par l'énoncé :
\begin{eqnarray*}
A\times B
&=& \begin{pmatrix}996 & 307 & 268 \\ 159 & 1647 & 998 \\ 1172 & 511 & 1787\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2433211 & -411661 & -135010 \\ 885523 & 1465756 & -951396 \\ -1849035 & -149152 & 1591599\end{pmatrix}\\
&=& \begin{pmatrix}2199792337 & 0 & 0 \\ 0 & 2199792337 & 0 \\ 0 & 0 & 2199792337\end{pmatrix}\\
&=&2199792337\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\
&\equiv_{2526}&2503\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
Ainsi \( A\times B\equiv_{2526}2503Id_{3}\) . Puisque \( 1867\) est l'inverse de \( 2503\) modulo \( 2526\) , on en déduit que \( A\times (1867B)\equiv_{2526} Id_{3}\) et donc que \( 1867B\equiv_{2526}A^{-1}\) . En conclusion :
\[ A^{-1}\equiv_{2526}1867\begin{pmatrix}2433211 & -411661 & -135010 \\ 885523 & 1465756 & -951396 \\ -1849035 & -149152 & 1591599\end{pmatrix}\equiv_{2526}\begin{pmatrix}1069 & -223 & -1708 \\ 1915 & 1618 & -918 \\ -549 & -544 & 2187\end{pmatrix}\]
- \[\begin{array}{r|*{6}{|c}} Cryptogramme & 2065 & 1453 & 1044 & 424 & 2328 & 868\\\hline Vecteurs & &&{ \begin{pmatrix}2065 \\ 1453 \\ 1044\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}424 \\ 2328 \\ 868\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}1069 & -223 & -1708 \\ 1915 & 1618 & -918 \\ -549 & -544 & 2187\end{pmatrix} & &&{ \begin{pmatrix}100314 \\ 5347037 \\ 359111\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}-1548432 \\ 3781840 \\ 399108\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{2526} & &&{ \begin{pmatrix}1800 \\ 2021 \\ 419\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}6 \\ 418 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 1800 & 2021 & 419 & 6 & 418 & 0\\\hline Message & SA & UV & ET & AG & ES & AA\end{array}\]Le message claire est \( SAUVETAGESAA \) .