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Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 1289\) modulo \( 2526\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}1889 & 145 & 1541 \\ 214 & 561 & 249 \\ 1802 & 1814 & 2171\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 2526\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
A cette fin, on pourra considérer le produit de la matrice \( A\) par la matrice \( B =\begin{pmatrix}766245 & 2480579 & -828396 \\ -15896 & 1324137 & -140587 \\ -622726 & -3165356 & 1028699\end{pmatrix}\) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 2 de clef \( A \) : \[1824-2160-1672\]
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Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
2526 & 1289 & 1237 & 1&-471 & 923 \\ \hline
1289 & 1237 & 52 & 1&452 & -471 \\ \hline
1237 & 52 & 41 & 23&-19 & 452 \\ \hline
52 & 41 & 11 & 1&15 & -19 \\ \hline
41 & 11 & 8 & 3&-4 & 15 \\ \hline
11 & 8 & 3 & 1&3 & -4 \\ \hline
8 & 3 & 2 & 2&-1 & 3 \\ \hline
3 & 2 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
2 & 1 & 0 & 2&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 1289\) est \( 923\) .
- D'après le cours \( det(A)= 485511119\equiv_{2526}1289\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 2526\) .
- Réalisation le produit suggéré par l'énoncé :
\begin{eqnarray*}
A\times B
&=& \begin{pmatrix}1889 & 145 & 1541 \\ 214 & 561 & 249 \\ 1802 & 1814 & 2171\end{pmatrix}\begin{pmatrix}766245 & 2480579 & -828396 \\ -15896 & 1324137 & -140587 \\ -622726 & -3165356 & 1028699\end{pmatrix}\\
&=& \begin{pmatrix}485511119 & 0 & 0 \\ 0 & 485511119 & 0 \\ 0 & 0 & 485511119\end{pmatrix}\\
&=&485511119\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\
&\equiv_{2526}&1289\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
Ainsi \( A\times B\equiv_{2526}1289Id_{3}\) . Puisque \( 923\) est l'inverse de \( 1289\) modulo \( 2526\) , on en déduit que \( A\times (923B)\equiv_{2526} Id_{3}\) et donc que \( 923B\equiv_{2526}A^{-1}\) . En conclusion :
\[ A^{-1}\equiv_{2526}923\begin{pmatrix}766245 & 2480579 & -828396 \\ -15896 & 1324137 & -140587 \\ -622726 & -3165356 & 1028699\end{pmatrix}\equiv_{2526}\begin{pmatrix}2025 & 439 & -1938 \\ -1000 & 1137 & -1181 \\ -2480 & -1468 & 1141\end{pmatrix}\]
- \[\begin{array}{r|*{3}{|c}} Cryptogramme & 1824 & 2160 & 1672\\\hline Vecteurs & &&{ \begin{pmatrix}1824 \\ 2160 \\ 1672\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}2025 & 439 & -1938 \\ -1000 & 1137 & -1181 \\ -2480 & -1468 & 1141\end{pmatrix} & &&{ \begin{pmatrix}1401504 \\ -1342712 \\ -5786648\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{2526} & &&{ \begin{pmatrix}2100 \\ 1120 \\ 418\end{pmatrix} }\\\hline & 2100 & 1120 & 418\\\hline Message & VA & LU & ES\end{array}\]Le message claire est \( VALUES \) .