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Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 1667\) modulo \( 2526\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}9 & 248 \\ 599 & 1535\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 2526\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 2 de clef \( A \) : \[1100-1975-1839-1477-306-1000\]
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Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
2526 & 1667 & 859 & 1&-621 & 941 \\ \hline
1667 & 859 & 808 & 1&320 & -621 \\ \hline
859 & 808 & 51 & 1&-301 & 320 \\ \hline
808 & 51 & 43 & 15&19 & -301 \\ \hline
51 & 43 & 8 & 1&-16 & 19 \\ \hline
43 & 8 & 3 & 5&3 & -16 \\ \hline
8 & 3 & 2 & 2&-1 & 3 \\ \hline
3 & 2 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
2 & 1 & 0 & 2&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 1667\) est \( 941\) .
- D'après le cours \( det(A)= -134737\equiv_{2526}1667\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 2526\) .
- D'après le cours :
\[ \begin{pmatrix}9 & 248 \\ 599 & 1535\end{pmatrix}^{-1} \equiv_{2526} 941\begin{pmatrix}1535 & -248 \\ -599 & 9\end{pmatrix}
\equiv_{2526}\begin{pmatrix}1444435 & -233368 \\ -563659 & 8469\end{pmatrix}
\equiv_{2526}\begin{pmatrix}2089 & -976 \\ -361 & 891\end{pmatrix}
\]
- \[\begin{array}{r|*{6}{|c}} Cryptogramme & 1100 & 1975 & 1839 & 1477 & 306 & 1000\\\hline Vecteurs & &{ \begin{pmatrix}1100 \\ 1975\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}1839 \\ 1477\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}306 \\ 1000\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}2089 & -976 \\ -361 & 891\end{pmatrix} & &{ \begin{pmatrix}370300 \\ 1362625\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}2400119 \\ 652128\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}-336766 \\ 780534\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{2526} & &{ \begin{pmatrix}1504 \\ 1111\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}419 \\ 420\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}1718 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 1504 & 1111 & 419 & 420 & 1718 & 0\\\hline Message & PE & LL & ET & EU & RS & AA\end{array}\]Le message claire est \( PELLETEURSAA \) .