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Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 5\) modulo \( 26\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}3 & 6 \\ 22 & 11\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 26\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 1 de clef \( A \) : \[MHCSEMDUCG\]
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Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
26 & 5 & 1 & 5&1 & -5 \\ \hline
5 & 1 & 0 & 5&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 5\) est \( 21\) .
- D'après le cours \( det(A)= -99\equiv_{26}5\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 26\) .
- D'après le cours :
\[ \begin{pmatrix}3 & 6 \\ 22 & 11\end{pmatrix}^{-1} \equiv_{26} 21\begin{pmatrix}11 & -6 \\ -22 & 3\end{pmatrix}
\equiv_{26}\begin{pmatrix}231 & -126 \\ -462 & 63\end{pmatrix}
\equiv_{26}\begin{pmatrix}23 & -22 \\ -20 & 11\end{pmatrix}
\]
- \[\begin{array}{r|*{10}{|c}} Cryptogramme & M & H & C & S & E & M & D & U & C & G\\\hline Codex & 12 & 7 & 2 & 18 & 4 & 12 & 3 & 20 & 2 & 6\\\hline Vecteurs & &{ \begin{pmatrix}12 \\ 7\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}2 \\ 18\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}4 \\ 12\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}3 \\ 20\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}2 \\ 6\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}23 & -22 \\ -20 & 11\end{pmatrix} & &{ \begin{pmatrix}122 \\ -163\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}-350 \\ 158\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}-172 \\ 52\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}-371 \\ 160\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}-86 \\ 26\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{26} & &{ \begin{pmatrix}18 \\ 19\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}14 \\ 2\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}10 \\ 0\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}19 \\ 4\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}18 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 18 & 19 & 14 & 2 & 10 & 0 & 19 & 4 & 18 & 0\\\hline Message & S & T & O & C & K & A & T & E & S & A\end{array}\]Le message claire est \( STOCKATESA \) .