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Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 3\) modulo \( 26\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}23 & 4 \\ 24 & 19\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 26\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 1 de clef \( A \) : \[AGVWYXIXED\]
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Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
26 & 3 & 2 & 8&-1 & 9 \\ \hline
3 & 2 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
2 & 1 & 0 & 2&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 3\) est \( 9\) .
- D'après le cours \( det(A)= 341\equiv_{26}3\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 26\) .
- D'après le cours :
\[ \begin{pmatrix}23 & 4 \\ 24 & 19\end{pmatrix}^{-1} \equiv_{26} 9\begin{pmatrix}19 & -4 \\ -24 & 23\end{pmatrix}
\equiv_{26}\begin{pmatrix}171 & -36 \\ -216 & 207\end{pmatrix}
\equiv_{26}\begin{pmatrix}15 & -10 \\ -8 & 25\end{pmatrix}
\]
- \[\begin{array}{r|*{10}{|c}} Cryptogramme & A & G & V & W & Y & X & I & X & E & D\\\hline Codex & 0 & 6 & 21 & 22 & 24 & 23 & 8 & 23 & 4 & 3\\\hline Vecteurs & &{ \begin{pmatrix}0 \\ 6\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}21 \\ 22\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}24 \\ 23\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}8 \\ 23\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}4 \\ 3\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}15 & -10 \\ -8 & 25\end{pmatrix} & &{ \begin{pmatrix}-60 \\ 150\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}95 \\ 382\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}130 \\ 383\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}-110 \\ 511\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}30 \\ 43\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{26} & &{ \begin{pmatrix}18 \\ 20\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}17 \\ 18\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}0 \\ 19\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}20 \\ 17\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}4 \\ 17\end{pmatrix} }\\\hline & 18 & 20 & 17 & 18 & 0 & 19 & 20 & 17 & 4 & 17\\\hline Message & S & U & R & S & A & T & U & R & E & R\end{array}\]Le message claire est \( SURSATURER \) .
