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Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 21\) modulo \( 26\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}0 & 23 \\ 7 & 15\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 26\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 1 de clef \( A \) : \[CQODAW\]
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Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
26 & 21 & 5 & 1&-4 & 5 \\ \hline
21 & 5 & 1 & 4&1 & -4 \\ \hline
5 & 1 & 0 & 5&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 21\) est \( 5\) .
- D'après le cours \( det(A)= -161\equiv_{26}21\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 26\) .
- D'après le cours :
\[ \begin{pmatrix}0 & 23 \\ 7 & 15\end{pmatrix}^{-1} \equiv_{26} 5\begin{pmatrix}15 & -23 \\ -7 & 0\end{pmatrix}
\equiv_{26}\begin{pmatrix}75 & -115 \\ -35 & 0\end{pmatrix}
\equiv_{26}\begin{pmatrix}23 & -11 \\ -9 & 0\end{pmatrix}
\]
- \[\begin{array}{r|*{6}{|c}} Cryptogramme & C & Q & O & D & A & W\\\hline Codex & 2 & 16 & 14 & 3 & 0 & 22\\\hline Vecteurs & &{ \begin{pmatrix}2 \\ 16\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}14 \\ 3\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}0 \\ 22\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}23 & -11 \\ -9 & 0\end{pmatrix} & &{ \begin{pmatrix}-130 \\ -18\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}289 \\ -126\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}-242 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{26} & &{ \begin{pmatrix}0 \\ 8\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}18 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 0 & 8 & 3 & 4 & 18 & 0\\\hline Message & A & I & D & E & S & A\end{array}\]Le message claire est \( AIDESA \) .
