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Exercice
- Déterminer \( PGCD(97, 2526)\) . Justifier.
- Expliquer pourquoi \( (97, 995)\) est une clef de chiffrement du cryptosystème affine.
- Déterminer l'inverse de \( 97\) modulo \( 2526\) . Vous pourrez vous servir de la première question. Justifier.
- Par un chiffrement affine de clef \( (97, 995)\) on a obtenu le message 2077-273-1754-1125-1689-1301-89-2132-2077-865-155-144-1125-1689-1345-4-1771-897. Quel est le message clair ? Justifier.
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Exercice
- D'après l'algorithme d'Euclide on a \( PGCD(97, 2526)=1\) :
\[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
97 & 2526 & 97 & 0&625 & -24 \\ \hline
2526 & 97 & 4 & 26&-24 & 625 \\ \hline
97 & 4 & 1 & 24&1 & -24 \\ \hline
4 & 1 & 0 & 4&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
- Puisque le PGCD entre \( 97\) et \( 2526\) est \( 1\) alors \( (97, 995)\) est une clef de chiffrement valide du cryptosystème affine.
- D'apres l'algorithme d'Euclide étendu (voir plus haut), on a \( 97^{-1}\equiv_{2526}625\) .
- Pour déchiffrer on fait \( 625(x-995) \) .
Message : SIJEUNESSESAVAITSIVIEILLESSEPOUVAIT
\[
\begin{array}{c|*{9}{c}}&2077&273&1754&1125&1689&1301&89&2132&2077
\\\hline x-b&1082&-722&759&130&694&306&-906&1137&1082
\\\hline a^{-1}(x-b)&676250&-451250&474375&81250&433750&191250&-566250&710625&676250
\\\hline \%2526&1808&904&2013&418&1804&1800&2100&819&1808
\\\hline Décodage&SI&JE&UN&ES&SE&SA&VA&IT&SI
\end{array}\]
\[
\begin{array}{c|*{9}{c}}&865&155&144&1125&1689&1345&4&1771&897
\\\hline x-b&-130&-840&-851&130&694&350&-991&776&-98
\\\hline a^{-1}(x-b)&-81250&-525000&-531875&81250&433750&218750&-619375&485000&-61250
\\\hline \%2526&2108&408&1111&418&1804&1514&2021&8&1900
\\\hline Décodage&VI&EI&LL&ES&SE&PO&UV&AI&TA
\end{array}\]