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Exercice
- Déterminer \( PGCD(13, 2526)\) . Justifier.
- Expliquer pourquoi \( (13, 722)\) est une clef de chiffrement du cryptosystème affine.
- Déterminer l'inverse de \( 13\) modulo \( 2526\) . Vous pourrez vous servir de la première question. Justifier.
- Par un chiffrement affine de clef \( (13, 722)\) on a obtenu le message 1492-2200-1130-2518-414-1635-826-357-956-1161-2170-1501-88-1265-2496-213-1039-214-88. Quel est le message clair ? Justifier.
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Exercice
- D'après l'algorithme d'Euclide on a \( PGCD(13, 2526)=1\) :
\[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
13 & 2526 & 13 & 0&583 & -3 \\ \hline
2526 & 13 & 4 & 194&-3 & 583 \\ \hline
13 & 4 & 1 & 3&1 & -3 \\ \hline
4 & 1 & 0 & 4&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
- Puisque le PGCD entre \( 13\) et \( 2526\) est \( 1\) alors \( (13, 722)\) est une clef de chiffrement valide du cryptosystème affine.
- D'apres l'algorithme d'Euclide étendu (voir plus haut), on a \( 13^{-1}\equiv_{2526}583\) .
- Pour déchiffrer on fait \( 583(x-722) \) .
Message : SIDIEUNEXISTAITPASILFAUDRAITLINVENTER
\[
\begin{array}{c|*{9}{c}}&1492&2200&1130&2518&414&1635&826&357&956
\\\hline x-b&770&1478&408&1796&-308&913&104&-365&234
\\\hline a^{-1}(x-b)&448910&861674&237864&1047068&-179564&532279&60632&-212795&136422
\\\hline \%2526&1808&308&420&1304&2308&1819&8&1915&18
\\\hline Décodage&SI&DI&EU&NE&XI&ST&AI&TP&AS
\end{array}\]
\[
\begin{array}{c|*{10}{c}}&1161&2170&1501&88&1265&2496&213&1039&214&88
\\\hline x-b&439&1448&779&-634&543&1774&-509&317&-508&-634
\\\hline a^{-1}(x-b)&255937&844184&454157&-369622&316569&1034242&-296747&184811&-296164&-369622
\\\hline \%2526&811&500&2003&1700&819&1108&1321&413&1904&1700
\\\hline Décodage&IL&FA&UD&RA&IT&LI&NV&EN&TE&RA
\end{array}\]