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Exercice
Soit \(
M=
\begin{pmatrix}25 & 13 \\ 0 & 3\end{pmatrix}
\)
- Calculs dans \( \R\) .
-
- Donnez \( \det(M)\) .
- Donner \( Co(M)\) la matrice des cofacteurs
de \( M\) .
- Donner, en tant que matrice réelle, l'inverse de la matrice \( M\) .
- Calculs dans \( \Z/26\Z\) .
-
-
Expliquez pourquoi le déterminant de la matrice \( M\) est inversible modulo \( 26\) et déterminez son inverse modulaire modulo \( 26\) .
- En déduire, en tant que matrice modulaire, l'inverse de \( M\) modulo \( 26\) .
- Application : un chiffrement de Hill de clef \( M\) a été utilisé (avec le codex pédagogique \( A=0\) , ..., \( Z=25\) ), pour obtenir le cryptogramme suivant. Quelle est le message claire ?
\[ YIOIPMJA \]
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Exercice
- Calculs dans \( \R\) .
-
- En appliquant la règle du gamma, on trouve
\[ det(M)=25\times 3-0\times 13=75\]
- En appliquant la formule :
\begin{eqnarray*}
Co(M)&=&
\begin{pmatrix}
{\color{red}+}
\left|
\begin{array}{c}
3
\end{array}
\right|
&
{\color{red}-}
\left|
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\right|
\\
{\color{red}-}
\left|
\begin{array}{c}
13
\end{array}
\right|
&
{\color{red}+}
\left|
\begin{array}{c}
25
\end{array}
\right|
\end{pmatrix}\\
&=&
\begin{pmatrix}3 & 0 \\ -13 & 25\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
- L'inverse d'une matrice \( X\) est donné par la formule \( X=(det(X))^{-1}{^t}Co(X)\) . Dans ce cas, puisque le déterminant est non nul :
\begin{eqnarray*}
M^{-1}&=&
\dfrac{1}{75}
\begin{pmatrix}3 & -13 \\ 0 & 25\end{pmatrix}\\
&=&
\begin{pmatrix}\dfrac{1}{25} & -\dfrac{13}{75} \\ 0 & \dfrac{1}{3}\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
- Calculs dans \( \Z/26\Z\) .
-
- Pour que \( \det(M)=75\) soit inversible modulo \( 26\) il faut et il suffit que son PGCD avec \( 26\) soit \( 1\) (autrement : il faut et il suffit que \( 21\) et \( 26\) soient premiers entre eux).
\[
\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
26 & 75 & 26 & 0&26 & -9 \\ \hline
75 & 26 & 23 & 2&-9 & 26 \\ \hline
26 & 23 & 3 & 1&8 & -9 \\ \hline
23 & 3 & 2 & 7&-1 & 8 \\ \hline
3 & 2 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
2 & 1 & 0 & 2&0 & 1 \\ \hline
\end{array}
\]
L'algorithme d'Euclide appliqué ci dessus prouve que \( PGCD(75, 26)=1\) (dernière valeur dans la colonne \( b\) ). De plus l'algorithme d'Euclide étendue donner \( 75^{-1}\equiv_{26}-9\) (première valeur dans la colonne de \( v\) ).
- Pour l'inverse d'une matrice modulaire, on raisonne de la même manière que pour les matrices réelles à ceci près qu'il faut appliquer l'inverse modulaire du déterminant que nous avons précédemment calculé. Cela donne donc
\begin{eqnarray*}
M^{-1}&\equiv_{26}&
(75)^{-1}\begin{pmatrix}3 & -13 \\ 0 & 25\end{pmatrix}\\
&\equiv_{26}&
-9\begin{pmatrix}3 & -13 \\ 0 & 25\end{pmatrix}
\\
&\equiv_{26}&
\begin{pmatrix}-27 & 117 \\ 0 & -225\end{pmatrix}\\
&\equiv_{26}&
\begin{pmatrix}25 & 13 \\ 0 & 9\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
- Appliquons le processus de déchiffrement de Hill
\[
\begin{array}{r|*{8}{c}}
Cara & Y & I & O & I & P & M & J & A\\\hline
Codex & 24 & 8 & 14 & 8 & 15 & 12 & 9 & 0\\\hline
X & &{(^{24}_{8})} & &{(^{14}_{8})} & &{(^{15}_{12})} & &{(^{9}_{0})}\\\hline
M^{-1}X & &{(^{704}_{24})} & &{(^{454}_{24})} & &{(^{531}_{36})} & &{(^{225}_{0})}\\\hline
\equiv_{26} & &{(^{2}_{20})} & &{(^{12}_{20})} & &{(^{11}_{4})} & &{(^{17}_{0})}\\\hline
Depaq & 2 & 20 & 12 & 20 & 11 & 4 & 17 & 0\\\hline
Cara & C & U & M & U & L & E & R & A
\end{array}
\]
Le message claire est \( CUMULERA\) (cumulera).
