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Exercice
Soit \(
M=
\begin{pmatrix}17 & 7 \\ 0 & 11\end{pmatrix}
\)
- Calculs dans \( \R\) .
-
- Donnez \( \det(M)\) .
- Donner \( Co(M)\) la matrice des cofacteurs
de \( M\) .
- Donner, en tant que matrice réelle, l'inverse de la matrice \( M\) .
- Calculs dans \( \Z/26\Z\) .
-
-
Expliquez pourquoi le déterminant de la matrice \( M\) est inversible modulo \( 26\) et déterminez son inverse modulaire modulo \( 26\) .
- En déduire, en tant que matrice modulaire, l'inverse de \( M\) modulo \( 26\) .
- Application : un chiffrement de Hill de clef \( M\) a été utilisé (avec le codex pédagogique \( A=0\) , ..., \( Z=25\) ), pour obtenir le cryptogramme suivant. Quelle est le message claire ?
\[ PFOWCNSSJQ \]
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Exercice
- Calculs dans \( \R\) .
-
- En appliquant la règle du gamma, on trouve
\[ det(M)=17\times 11-0\times 7=187\]
- En appliquant la formule :
\begin{eqnarray*}
Co(M)&=&
\begin{pmatrix}
{\color{red}+}
\left|
\begin{array}{c}
11
\end{array}
\right|
&
{\color{red}-}
\left|
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\right|
\\
{\color{red}-}
\left|
\begin{array}{c}
7
\end{array}
\right|
&
{\color{red}+}
\left|
\begin{array}{c}
17
\end{array}
\right|
\end{pmatrix}\\
&=&
\begin{pmatrix}11 & 0 \\ -7 & 17\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
- L'inverse d'une matrice \( X\) est donné par la formule \( X=(det(X))^{-1}{^t}Co(X)\) . Dans ce cas, puisque le déterminant est non nul :
\begin{eqnarray*}
M^{-1}&=&
\dfrac{1}{187}
\begin{pmatrix}11 & -7 \\ 0 & 17\end{pmatrix}\\
&=&
\begin{pmatrix}\dfrac{1}{17} & -\dfrac{7}{187} \\ 0 & \dfrac{1}{11}\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
- Calculs dans \( \Z/26\Z\) .
-
- Pour que \( \det(M)=187\) soit inversible modulo \( 26\) il faut et il suffit que son PGCD avec \( 26\) soit \( 1\) (autrement : il faut et il suffit que \( 21\) et \( 26\) soient premiers entre eux).
\[
\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
26 & 187 & 26 & 0&36 & -5 \\ \hline
187 & 26 & 5 & 7&-5 & 36 \\ \hline
26 & 5 & 1 & 5&1 & -5 \\ \hline
5 & 1 & 0 & 5&0 & 1 \\ \hline
\end{array}
\]
L'algorithme d'Euclide appliqué ci dessus prouve que \( PGCD(187, 26)=1\) (dernière valeur dans la colonne \( b\) ). De plus l'algorithme d'Euclide étendue donner \( 187^{-1}\equiv_{26}-5\) (première valeur dans la colonne de \( v\) ).
- Pour l'inverse d'une matrice modulaire, on raisonne de la même manière que pour les matrices réelles à ceci près qu'il faut appliquer l'inverse modulaire du déterminant que nous avons précédemment calculé. Cela donne donc
\begin{eqnarray*}
M^{-1}&\equiv_{26}&
(187)^{-1}\begin{pmatrix}11 & -7 \\ 0 & 17\end{pmatrix}\\
&\equiv_{26}&
-5\begin{pmatrix}11 & -7 \\ 0 & 17\end{pmatrix}
\\
&\equiv_{26}&
\begin{pmatrix}-55 & 35 \\ 0 & -85\end{pmatrix}\\
&\equiv_{26}&
\begin{pmatrix}23 & 9 \\ 0 & 19\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
- Appliquons le processus de déchiffrement de Hill
\[
\begin{array}{r|*{10}{c}}
Cara & P & F & O & W & C & N & S & S & J & Q\\\hline
Codex & 15 & 5 & 14 & 22 & 2 & 13 & 18 & 18 & 9 & 16\\\hline
X & &{(^{15}_{5})} & &{(^{14}_{22})} & &{(^{2}_{13})} & &{(^{18}_{18})} & &{(^{9}_{16})}\\\hline
M^{-1}X & &{(^{290}_{55})} & &{(^{392}_{242})} & &{(^{125}_{143})} & &{(^{432}_{198})} & &{(^{265}_{176})}\\\hline
\equiv_{26} & &{(^{0}_{17})} & &{(^{0}_{2})} & &{(^{7}_{13})} & &{(^{4}_{4})} & &{(^{13}_{18})}\\\hline
Depaq & 0 & 17 & 0 & 2 & 7 & 13 & 4 & 4 & 13 & 18\\\hline
Cara & A & R & A & C & H & N & E & E & N & S
\end{array}
\]
Le message claire est \( ARACHNEENS\) (arachneens).