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Exercice
Soit \(
M=
\begin{pmatrix}5 & 11 \\ 0 & 23\end{pmatrix}
\)
- Calculs dans \( \R\) .
-
- Donnez \( \det(M)\) .
- Donner \( Co(M)\) la matrice des cofacteurs
de \( M\) .
- Donner, en tant que matrice réelle, l'inverse de la matrice \( M\) .
- Calculs dans \( \Z/26\Z\) .
-
-
Expliquez pourquoi le déterminant de la matrice \( M\) est inversible modulo \( 26\) et déterminez son inverse modulaire modulo \( 26\) .
- En déduire, en tant que matrice modulaire, l'inverse de \( M\) modulo \( 26\) .
- Application : un chiffrement de Hill de clef \( M\) a été utilisé (avec le codex pédagogique \( A=0\) , ..., \( Z=25\) ), pour obtenir le cryptogramme suivant. Quelle est le message claire ?
\[ NJWBWQKY \]
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Exercice
- Calculs dans \( \R\) .
-
- En appliquant la règle du gamma, on trouve
\[ det(M)=5\times 23-0\times 11=115\]
- En appliquant la formule :
\begin{eqnarray*}
Co(M)&=&
\begin{pmatrix}
{\color{red}+}
\left|
\begin{array}{c}
23
\end{array}
\right|
&
{\color{red}-}
\left|
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\right|
\\
{\color{red}-}
\left|
\begin{array}{c}
11
\end{array}
\right|
&
{\color{red}+}
\left|
\begin{array}{c}
5
\end{array}
\right|
\end{pmatrix}\\
&=&
\begin{pmatrix}23 & 0 \\ -11 & 5\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
- L'inverse d'une matrice \( X\) est donné par la formule \( X=(det(X))^{-1}{^t}Co(X)\) . Dans ce cas, puisque le déterminant est non nul :
\begin{eqnarray*}
M^{-1}&=&
\dfrac{1}{115}
\begin{pmatrix}23 & -11 \\ 0 & 5\end{pmatrix}\\
&=&
\begin{pmatrix}\dfrac{1}{5} & -\dfrac{11}{115} \\ 0 & \dfrac{1}{23}\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
- Calculs dans \( \Z/26\Z\) .
-
- Pour que \( \det(M)=115\) soit inversible modulo \( 26\) il faut et il suffit que son PGCD avec \( 26\) soit \( 1\) (autrement : il faut et il suffit que \( 21\) et \( 26\) soient premiers entre eux).
\[
\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
26 & 115 & 26 & 0&31 & -7 \\ \hline
115 & 26 & 11 & 4&-7 & 31 \\ \hline
26 & 11 & 4 & 2&3 & -7 \\ \hline
11 & 4 & 3 & 2&-1 & 3 \\ \hline
4 & 3 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
3 & 1 & 0 & 3&0 & 1 \\ \hline
\end{array}
\]
L'algorithme d'Euclide appliqué ci dessus prouve que \( PGCD(115, 26)=1\) (dernière valeur dans la colonne \( b\) ). De plus l'algorithme d'Euclide étendue donner \( 115^{-1}\equiv_{26}-7\) (première valeur dans la colonne de \( v\) ).
- Pour l'inverse d'une matrice modulaire, on raisonne de la même manière que pour les matrices réelles à ceci près qu'il faut appliquer l'inverse modulaire du déterminant que nous avons précédemment calculé. Cela donne donc
\begin{eqnarray*}
M^{-1}&\equiv_{26}&
(115)^{-1}\begin{pmatrix}23 & -11 \\ 0 & 5\end{pmatrix}\\
&\equiv_{26}&
-7\begin{pmatrix}23 & -11 \\ 0 & 5\end{pmatrix}
\\
&\equiv_{26}&
\begin{pmatrix}-161 & 77 \\ 0 & -35\end{pmatrix}\\
&\equiv_{26}&
\begin{pmatrix}21 & 25 \\ 0 & 17\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
- Appliquons le processus de déchiffrement de Hill
\[
\begin{array}{r|*{8}{c}}
Cara & N & J & W & B & W & Q & K & Y\\\hline
Codex & 13 & 9 & 22 & 1 & 22 & 16 & 10 & 24\\\hline
X & &{(^{13}_{9})} & &{(^{22}_{1})} & &{(^{22}_{16})} & &{(^{10}_{24})}\\\hline
M^{-1}X & &{(^{164}_{207})} & &{(^{121}_{23})} & &{(^{286}_{368})} & &{(^{314}_{552})}\\\hline
\equiv_{26} & &{(^{4}_{23})} & &{(^{19}_{17})} & &{(^{4}_{12})} & &{(^{4}_{18})}\\\hline
Depaq & 4 & 23 & 19 & 17 & 4 & 12 & 4 & 18\\\hline
Cara & E & X & T & R & E & M & E & S
\end{array}
\]
Le message claire est \( EXTREMES\) (extremes).
