\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Exercice


Soit \( M= \begin{pmatrix}3 & 7 \\ 0 & 3\end{pmatrix} \)
Calculs dans \( \R\) .
  1. Donnez \( \det(M)\) .
  2. Donner \( Co(M)\) la matrice des cofacteurs
    de \( M\) .
  3. Donner, en tant que matrice réelle, l'inverse de la matrice \( M\) .

Calculs dans \( \Z/26\Z\) .
  1. Expliquez pourquoi le déterminant de la matrice \( M\) est inversible modulo \( 26\) et déterminez son inverse modulaire modulo \( 26\) .
  2. En déduire, en tant que matrice modulaire, l'inverse de \( M\) modulo \( 26\) .
  3. Application : un chiffrement de Hill de clef \( M\) a été utilisé (avec le codex pédagogique \( A=0\) , ..., \( Z=25\) ), pour obtenir le cryptogramme suivant. Quelle est le message claire ? \[ LMNQGHKMCA \]
Cliquer ici pour afficher la solution

Exercice


Calculs dans \( \R\) .
  1. En appliquant la règle du gamma, on trouve \[ det(M)=3\times 3-0\times 7=9\]
  2. En appliquant la formule : \begin{eqnarray*} Co(M)&=& \begin{pmatrix} {\color{red}+} \left| \begin{array}{c} 3 \end{array} \right| & {\color{red}-} \left| \begin{array}{c} 0 \end{array} \right| \\ {\color{red}-} \left| \begin{array}{c} 7 \end{array} \right| & {\color{red}+} \left| \begin{array}{c} 3 \end{array} \right| \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix}3 & 0 \\ -7 & 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}
  3. L'inverse d'une matrice \( X\) est donné par la formule \( X=(det(X))^{-1}{^t}Co(X)\) . Dans ce cas, puisque le déterminant est non nul : \begin{eqnarray*} M^{-1}&=& \dfrac{1}{9} \begin{pmatrix}3 & -7 \\ 0 & 3\end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} & -\dfrac{7}{9} \\ 0 & \dfrac{1}{3}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}

Calculs dans \( \Z/26\Z\) .
  1. Pour que \( \det(M)=9\) soit inversible modulo \( 26\) il faut et il suffit que son PGCD avec \( 26\) soit \( 1\) (autrement : il faut et il suffit que \( 21\) et \( 26\) soient premiers entre eux). \[ \begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline a&b&r&q&u&v \\ \hline 26 & 9 & 8 & 2&-1 & 3 \\ \hline 9 & 8 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline 8 & 1 & 0 & 8&0 & 1 \\ \hline \end{array} \] L'algorithme d'Euclide appliqué ci dessus prouve que \( PGCD(9, 26)=1\) (dernière valeur dans la colonne \( b\) ). De plus l'algorithme d'Euclide étendue donner \( 9^{-1}\equiv_{26}3\) (première valeur dans la colonne de \( v\) ).
  2. Pour l'inverse d'une matrice modulaire, on raisonne de la même manière que pour les matrices réelles à ceci près qu'il faut appliquer l'inverse modulaire du déterminant que nous avons précédemment calculé. Cela donne donc \begin{eqnarray*} M^{-1}&\equiv_{26}& (9)^{-1}\begin{pmatrix}3 & -7 \\ 0 & 3\end{pmatrix}\\ &\equiv_{26}& 3\begin{pmatrix}3 & -7 \\ 0 & 3\end{pmatrix} \\ &\equiv_{26}& \begin{pmatrix}9 & -21 \\ 0 & 9\end{pmatrix}\\ &\equiv_{26}& \begin{pmatrix}9 & 5 \\ 0 & 9\end{pmatrix} \end{eqnarray*}
  3. Appliquons le processus de déchiffrement de Hill \[ \begin{array}{r|*{10}{c}} Cara & L & M & N & Q & G & H & K & M & C & A\\\hline Codex & 11 & 12 & 13 & 16 & 6 & 7 & 10 & 12 & 2 & 0\\\hline X & &{(^{11}_{12})} & &{(^{13}_{16})} & &{(^{6}_{7})} & &{(^{10}_{12})} & &{(^{2}_{0})}\\\hline M^{-1}X & &{(^{117}_{36})} & &{(^{151}_{48})} & &{(^{67}_{21})} & &{(^{114}_{36})} & &{(^{6}_{0})}\\\hline \equiv_{26} & &{(^{3}_{4})} & &{(^{15}_{14})} & &{(^{11}_{11})} & &{(^{20}_{4})} & &{(^{18}_{0})}\\\hline Depaq & 3 & 4 & 15 & 14 & 11 & 11 & 20 & 4 & 18 & 0\\\hline Cara & D & E & P & O & L & L & U & E & S & A \end{array} \] Le message claire est \( DEPOLLUESA\) (depollues).