Équations
Un problème
Vous êtes le gérant d'un petit commerce de chaussure et vous voulez "profiter" des soldes en vendant pendant les soldes une paire de chaussure à \( 30\) € en faisant croire que le prix à bénéficier d'une réduction de \( 15\) %. A quel prix doit être affichée la paire de chaussure non soldée pour que sa valeur soldée de \( 15\) % soit de \( 30\) € ?
Tous les problèmes se résolvent en suivant le schéma suivant :
- Identifier et nommer la ou les inconues.
- Modéliser le problème pour mettre en équation.
- Résoudre le problème.
- Conclure en répondant à la question posée.
Suivons ce schéma pour notre problème.
- Notons \( x\) le prix de la paire de chaussure non soldée.
- Une baisse de \( 15\) % d'un prix de \( x\) euros correspond à l'opération \( x-\dfrac{15}{100}x\) . Suite à cette diminution, la paire coûte \( 30\) € ainsi \( x-\dfrac{15}{100}x=30\) .
-
\begin{eqnarray*}
x-\dfrac{15}{100}x=30
&\Longleftrightarrow& x\left(1-\dfrac{15}{100}\right)=30\\
&\Longleftrightarrow& x\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{15}{100}\right)=30\\
&\Longleftrightarrow& x\left(\dfrac{1\times 100}{1\times 100}-\dfrac{15}{100}\right)=30\\
&\Longleftrightarrow& x\left(\dfrac{100}{100}-\dfrac{15}{100}\right)=30\\
&\Longleftrightarrow& x\left(\dfrac{100}{100}-\dfrac{15}{100}\right)=30\\
&\Longleftrightarrow& x\left(\dfrac{100-15}{100}\right)=30\\
&\Longleftrightarrow& x.\dfrac{85}{100}=30\\
&\Longleftrightarrow& x\dfrac{17}{20}=30\\
&\Longleftrightarrow& x\dfrac{17}{20}\times\dfrac{20}{17}=30\times\dfrac{20}{17}\\
&\Longleftrightarrow& x\dfrac{17\times 20}{17\times 20}=30\times\dfrac{20}{17}\\
&\Longleftrightarrow& x\dfrac{1}{1}=30\times\dfrac{20}{17}\\
&\Longleftrightarrow& x.1=30\times\dfrac{20}{17}\\
&\Longleftrightarrow& x=30\times\dfrac{20}{17}\\
&\Longleftrightarrow& x=\dfrac{30}{1}\times\dfrac{20}{17}\\
&\Longleftrightarrow& x=\dfrac{30\times 20}{1\times 17}\\
&\Longleftrightarrow& x=\dfrac{600}{17}
\end{eqnarray*}
- Le prix de vente non soldé à afficher est de \( \dfrac{600}{17}\) €, ce qui correpond à environ \( 35,30\) €.
Bon alors dans cet exemple on a vraiment pris notre temps pour détailler toutes les étapes du calcul, il est bien évidement permis d'aller plus vite et de sauter des étapes. Quelques informations supplémentaires :
- La double flèche \( \Longleftrightarrow\) est un symbole mathématiques pour dire est pareil que ou plus savament si et seulement.
- Résoudre une équation c'est trouver toutes les valeurs possibles de la ou des inconnues faisant que l'égalité soit vrai. Cela signifie dans notre exemple que si on évalue l'expression \( x-\dfrac{15}{100}x=30\) pour \( x=18\) alors cette égalité sera fausse (ça fini par \( 15,3=30\) ce qui est bien sûre faux). Tandis que si l'on évalue pour \( x=\dfrac{600}{17}\) alors on a bien \( 30\) à gauche et à droite de l'égalité.
- Lorsque l'on fait une opération d'un coté de l'égalité, on doit la faire de l'autre coté. Comme dans l'exemple lorsque nous avons multiplié par \( \dfrac{20}{17}\) ; nous l'avons fait des deux cotés.
Plus de problème, juste une équation
Considérons l'équation \( 3x-4=19\) . La résoudre c'est trouver l'inconnue qui est ici \( x\) .
Trouver l'inconnue c'est l'isoler seul d'un coté de l'égalité. On garde en mémoire la règle fondamentale de la résolution de tel équation : si on fait une opération d'un coté de l'égalité on la fait ausi de l'aure coté et on arrive alors :
\begin{eqnarray*}
3x-4=19
&\Longleftrightarrow& 3x-4+4=19+4\\
&\Longleftrightarrow& 3x=23\\
&\Longleftrightarrow& \dfrac{3x}{3}=\dfrac{23}{3}\\
&\Longleftrightarrow& \dfrac{x}{1}=\dfrac{23}{3}\\
&\Longleftrightarrow& x=\dfrac{23}{3}
\end{eqnarray*}
Et voilà, la solution de l'équation est \( \dfrac{23}{3}\) .
Encore un exemple où l'on va développer et réduire avant de résoudre :
\begin{eqnarray*}
x(x-1)+x^2=2x^2+x+1
&\Longleftrightarrow& x^2-x+x^2=2x^2+x+1\\
&\Longleftrightarrow& x^2-x+x^2-2x^2-x=2x^2+x+1-2x^2-x\\
&\Longleftrightarrow& -2x=1\\
&\Longleftrightarrow& \dfrac{-2x}{-2}=\dfrac{1}{-2}\\
&\Longleftrightarrow& \dfrac{x}{1}=\dfrac{1}{-2}\\
&\Longleftrightarrow& x=\dfrac{1}{-2}\\
&\Longleftrightarrow& x=-\dfrac{1}{2}\\
\end{eqnarray*}
L'unique solution de cette équation est \( -\dfrac{1}{2}\) .
Juste une équation bizarre
Résolvons l'équation \( x(x+2)+x^2+2=2x^2+2x+2\) .
\begin{eqnarray*}
x(x+2)+x^2+2=2x^2+2x+2
&\Longleftrightarrow& x^2+2x+x^2+2=2x^2+2x+2 \\
&\Longleftrightarrow& 2x^2+2x+2=2x^2+2x+2 \\
&\Longleftrightarrow& 2x^2+2x+2-2x^2-2x=2x^2+2x+2-2x^2-2x \\
&\Longleftrightarrow& 2=2
\end{eqnarray*}
Ah ! L'inconue à disparu... mais qu'à cela ne tienne. Résoudre une équation revient à trouver tous les \( x\) tel que \( 2=2\) . Si \( x=18\) est-ce que \( 2=2\) ? Oui ! Si \( x=\dfrac{2019}{\sqrt{1+\sqrt{2020}}}\) est-ce que \( 2=2\) ? Oui ! Bref quelque soit la valeur que l'on prend pour \( x\) alors \( 2=2\) . Donc pour n'importe quelle valeur de \( x\) nous avons bien que \( 2=2\) . C'est à dire que pour n'importe quelle valeur de \( x\) nous avons bien \( x(x+2)+x^2+2=2x^2+2x+2\) . Evaluons cette expression pour par exemple, \( x=5\) . On a à gauche de l'égalité \( 5(5+2)+5^2+2=5.7+25+2=35+25+2=62\) . Tandis qu'à droite de l'égalité on arrive à \( 2.5^2+2.5+2=2.25+10+2=50+10+2=62\) . Incroyable !
Du coup tous les nombres réels sont solutions. On dit que \( \mathbb{R}\) est l'ensemble solution de cette équation.
Une autre équation bizarre
Résolvons l'équation \( x(x+2)+x^2+1=2x^2+2x+2\) .
\begin{eqnarray*}
x(x+2)+x^2+1=2x^2+2x+2
&\Longleftrightarrow& x^2+2x+x^2+1=2x^2+2x+2 \\
&\Longleftrightarrow& 2x^2+2x+1=2x^2+2x+2 \\
&\Longleftrightarrow& 2x^2+2x+1-2x^2-2x=2x^2+2x+2-2x^2-2x \\
&\Longleftrightarrow& 1=2
\end{eqnarray*}
Bon, l'inconnue a encore disparue... Mais c'est la même question qui se pose : si \( x=18\) est-ce que \( 1=2\) ? Non ! Si \( x=\dfrac{2019}{\sqrt{1+\sqrt{2020}}}\) est-ce que \( 1=2\) ? Non ! Bref quelque soit la valeur que l'on prend pour \( x\) il ne sera jamais vrai que \( 1=2\) . Cette équation n'a pas de solution. On dit que son ensemble solution est vide. On note \( \varnothing\) l'ensemble vide.
Équation au produit nul
Les équations qui font peur comme \( (x-1)(2x+4)=0\) on une faiblesse remarquable : elles sont des facteurs de \( 0\) . Lorsque l'on regarde les tables de multiplication le seul moyen qu'un résultat donne \( 0\) c'est que l'un de ses facteurs soit lui même \( 0\) .
Cela signifie que \( (x-1)(2x+4)=0\) est équivalent à soit \( x-1=0\) soit \( 2x+4=0\) . On vérifie sans trop souffrir que la première équation a pour solution \( 1\) et la seconde \( -2\) . Du coup l'équation \( (x-1)(2x+4)=0\) a deux solutions \( 1\) et \( -2\) . On note \( \{-2 ; 1\}\) l'ensemble solution.
De la même manière résolvons l'équation \( 4x-x(2x+4)=x\) . Commençons pas faire apparaitre un \( 0\) en faisant \( -x\) des deux cotés de l'égalité pour arriver à \( 4x-x(2x+4)-x=0\) . Mettons un peu d'ordre en réglant le cas des \( x\) pour aboutir à \( 3x-x(2x+4)=0\) . Il ne s'agit pas encore d'une équation produit nul. On a bien le "nul" avec l'apparition du \( 0\) mais pas le "produit". Pour y arriver nous allons mettre \( x\) en facteur dans l'expression de droite. On arrive donc à \( x(3-(2x+4))=0\) ce qui équivaut à \( x(-2x-1)=0\) . A présent il s'agit d'une équation produit nul qui se résout en soit \( x=0\) soit \( -2x-1=0\) c'est à dire \( x=-\dfrac{1}{2}\) .
Bref, la factorisation est un outil très puissant de la résolution des équations.
Traitons un dernier exemple :
\begin{eqnarray*}
(6x-3)(x+18)-(6x-3)(7x+1)+2(x+1)(6x-3)=0
&\Longleftrightarrow&
\underbrace{(6x-3)}(x+18)-\underbrace{(6x-3)}(7x+1)+2(x+1)\underbrace{(6x-3)}=0\\
&\Longleftrightarrow& (6x-3)\left((x+18)-(7x+1)+2(x+1)\right)=0 \\
&\Longleftrightarrow& (6x-3)\left(x+18-7x-1+2x+2\right)=0 \\
&\Longleftrightarrow& (6x-3)\left(-4x+19\right)=0
\end{eqnarray*}
Ce qui équivaut à soit \( 6x-3=0\) c'est à dire \( x=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\) , soit \( -4x+19=0\) c'est à dire \( x=\dfrac{-19}{-4}=\dfrac{19}{4}\) . En conclusion l'ensemble solution de cette équation est \( \left\{\dfrac{1}{2} ; \dfrac{19}{4}\right\}\) .