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\begin{itemize}
\item Pour la ligne : le premier et dernier caractère forment $#1#2$ soit $#4$ en base 10.
\item Pour la colonne : les autres caractères du bloc forment $#3$ soit $#5$ en base 10.
\item A l'intersection de la ligne $#4+1$ et de la colonne $#5+1$ de $S_{#8}$ se trouve l'entier $#6$ qui, codé sur $4$ bits, est \textbf{\texttt{$#7$}}.
\end{itemize}
}
\)
Calculs littéraux
Expressions littérales
Voilà ça commence ! Les mathématiques où il y a plus de lettre que de chiffre. On parle d'une expression littérale (littérale = avec des lettres). Commençons avec un exemple simple :
\( E=x^2+x\) . On va rendre aux mathématiques leur lettre de noblesse (calcul littéral, lettre de noblesse... on pourrait croire que c'est fait exprès dis donc).
Les mathématiques ont de ça de difficile que pendant de nombreuse années, on faisait un peu ce qu'on voulait avec les nombres et expressions et du coup on arrivait à des résultats très étranges dont vous pourrez trouver de nombreux exemples sur le web (on parle souvent de paradoxe, mais c'est un abus de langage). On va commencer tout en douceur en précisant que dans l'expression \( E\) écrite plus haut, la variable c'est le \( x\) . Pour cela on va dire que l'expression \( E\) dépend de \( x\) pour cela on note \[E(x)=x^2+x\]
C'est une notation, il n'y a pas plus de cérémonie à faire. C'est comme ça, c'est tout. Donc que l'on écrive \( E(x)\) ou \( x^2+x\) c'est la même chose.
Ah ! Le mot est lâché ! Variable. On ne vas pas s'aventurer a essayer de définir ce qu'est une variable (c'est vraiment très difficile, pour de vrai). C'est tout de même assez intuitif : une variable est une grandeur qui varie, qui peut prendre des valeurs différentes... Donc lorsque l'on écrit \( E(x)=x^2+x\) , on précise que l'expression s'appelle \( E\) et que ce qui varie c'est \( x\) .
Evaluer
Reprenons l'exemple de l'expression \( E(x)=x^2+x\) . Que se passe-t-il si on donne à \( x\) une valeur précise comme par exemple \( 5\) . Cela reviens à se demander ce qu'est \( E(5)\) . On dit que l'on évalue l'expression en \( x=5\) . Tout simplement dans l'expression \( E(x)\) , il faut remplacer tous les \( x\) et uniquement les \( x\) par \( 5\) . On a ainsi
\( E(5)=5^2+5=25+5=30\) .
On peut aussi calculer d'autre valeur de l'expression pour d'autre valeur de \( x\) . En prenant un papier et un crayon (et une gomme), vous pourrez vérifier que \( E(1)=2\) , \( E\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{4}\) , \( E(2\sqrt{2})=8+2\sqrt{2}\) etc...
Réduire
Prenons un autre exemple et considérons l'expression \( F(x)=x^3+3x^2+x-x^2+2x-2x^3-5\) .
Avant de commencer à parler de réduction il nous faut un peu de vocabulaire. Dans cette expression tout ce qui est séparé par des \( +\) ou des \( -\) s'appelle un monôme ou terme.
Ainsi \( 3x^2\) est un monôme de \( F(x)\) comme \( -x^2\) ou \( -5\) . Attention, on se souviendra que le signe d'un terme est celui qui est devant et non derrière lui (précisons : dans le sens de lecture européen).
Lorsque l'on considère un monôme, la puissance apparaissant s'appelle le degrés du monôme. Ainsi le degré du monôme \( 3x^2\) est \( 2\) , le degrés du monôme \( 2x\) est \( 1\) (car \( x=x^1\) ) et le degrés du monôme \( -5\) est \( 0\) car \( -5=-5\times 1=-5\times x^0\) .
La réduction d'une expression littérale consiste à "ranger" les monômes en fonction de leur degrés. Dans l'exemple de \( F(x)\) , nous pouvons commencer par utiliser ce que nous avions observé lorsque nous travaillions sur l'addition et la soustraction : on peut "bouger" les termes (rappelez-vous, ç'est la commutativité).
Puis nous pouvons, lorsque les monômes sont de même degrés ne considérer que l'opération sur leur nombre.
\begin{eqnarray*}
F(x)&=&x^3+3x^2+x-x^2+2x-2x^3-5\\
&=&x^3-2x^3+3x^2-x^2+x+2x-5\\
&=&-1x^3+2x^2+3x-5\\
&=&-x^3+2x^2+3x-5\\
\end{eqnarray*}
A la seconde ligne nous avons déplacer les termes. A la troisième ligne nous avons fait les calculs sur les monômes de même degrés : \( x^3-2x^3=1x^3-2x^3=(1-2)x^3=-1x^3=-x^3\) , le monôme de degrés 2 reste tout seul (le pauvre) comme le monôme de degrés 0 tandis que pour le monôme de degrés 1 : \( x+2x=1x+2x=(1+2)x=3x\) .
Bon en fait caché derrière tout ça c'est de la factorisation mais nous n'en parlerons pas ici... pour l'instant.
On garde en mémoire que réduire reviens à ranger les monômes de même degrés. Dans la pratique, on range également les monômes par ordre décroissant de degrés. C'est à dire que l'on préférera écrire \( F(x)=-x^3+2x^2+3x-5\) plutôt que \( F(x)=3x+2x^2-5-x^3\)
Développer
Nous avons déjà un peu fait de développement lorsque nous avons réintroduit la posee de multiplication.
Commençons par des formules :
\[k(a+b)=ka+kb\]
\[(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\]
Dans ces formules vous pouvez remplacer \( k\) , \( a\) , \( b\) , \( c\) et \( d\) par a peu près n'importe quoi : nombres, variables, expressions...
La notation \( k(a+b)\) correspond à la multiplication de \( k\) par \( (a+b)\) . Nous aurions pu écrire \( k\times(a+b)\) mais cette notation peu à la longue amener à incompréhension lié à notre inconnue préférée : \( x\) (à ne pas confondre donc avec \( \times\) ). Lorsque l'on veut mettre l'accent sur la multiplication sans utiliser \( \times\) on utilise le point. Dans ce cas il faut bien faire attention entre la notation \( 2.3\) et \( 2,3\) . Pour nous, le premier correspondra à la multiplication de \( 2\) par \( 3\) et le second au nombre décimale deux virgule trois. Nous éviterons de vous embrouiller avec ces notations (enfin c'est tentant quand même hi hi).
Un petit mot de vocabulaire. Dans l'expression \( k(a+b)\) , \( k\) et \( (a+b)\) sont appelé des facteurs de l'expression.
Voici un exemple de développement : \( 67\times 99=67(100-1)=6700-67=6633\) . Cette petite opération permet d'ailleurs d'en déduire une petite astuce de calcul sur la multiplication par \( 99\) : on multiplie par \( 100\) , ce qui correspond à l'ajout de deux \( 0\) à la fin puis on soustrait par le nombre. On vérifie facilement que si on replace le \( 67\) par \( 482\) , \( 2019\) ou n'importe quel autre nombre c'est la même règle. Justement appelons ce "n'importe quel nombre" \( x\) . On a alors
\[99x=x99=x(100-1)=x100-x1=100x-x\]
(on préfère mettre la variable à la fin du monôme).
A votre avis quelle est sont possibles règles de multiplication par \( 11\) , par \( 101\) ou simplement par \( 9\) ?
Développer s'accompagne assez souvent de réduire comme dans l'exemple suivant :
\[(2x-1)(3-x)=2x.3+2x.(-x)-1.3-1.(-x)=6x-2x^2-3+x=-2x^2+7x-3\]
On peut aussi combiner les développement comme dans l'exemple suivant :
\begin{eqnarray*}
\underbrace{3x(2x-1)}(x+1)(x-1)
&=&(3x.2x-3x.1)(x+1)(x-1)\\
&=&\underbrace{(6x^2-3x)(x+1)}(x-1)\\
&=&(6x^2.x+6x^2.1-3x.x-3x.1)(x-1)\\
&=&(6x^3+6x^2-3x^2-3x)(x-1)\\
&=&\underbrace{(6x^3+3x^2-3x)(x-1)}\\
&=&6x^3.x+6x^3.(-1)+3x^2.x+3x^2.(-1)-3x.x-3x.(-1)\\
&=&6x^4-6x^3+3x^3-3x^2-3x^2+3x\\
&=&6x^4-3x^3-6x^2+3x
\end{eqnarray*}
Identités remarquables
Elles sont aux nombres de trois et formes un beau bouquet de formules :
\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]
\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]
\[(a-b)(a+b)=a^2-b^2\]
Par exemple :
\( (2x-3)^2=(2x)^2-2(2x)(3)+(3)^2\) . N'ayez pas peur de mettre des parenthèses c'est gratuit ! En réduisant cette expression on arrive à \( (2x-3)^2=4x^2-12x+9\) . De même \( (x-1)(x+1)=x^2-1\) .
Factoriser
Factoriser revient à trouver un facteur commun ou à identifier une identité remarquable. Inutile de donner des formules puisqu'il s'agit des formules précédentes à lire dans l'autre sens : au lieu de lire \( k(a+b)=ka+kb\) il faut lire \( ka+kb=k(a+b)\) .
Factorisons l'expression \( 2x^3-3x^2\) . Dans cette expression nous avons deux termes : \( 2x^3\) qui rappelons-le est \( 2.x.x.x\) et l'autre termes est \( -3x^2=-3.x.x\) . Qu'y a-t-il en commun dans chacun des termes de cette expressions : \( x.x\) c'est à dire \( x^2\) . Dans chacun des termes on va "retirer" \( x.x\) et le placer une et une seule fois tout devant
\[2x^3-3x^2=x^2(\text{exactement ce qu'il reste lorsqu'on retire }x^2)\]
Dans \( 2x^3\) lorsqu'on "retire" \( x^2\) il reste simplement \( 2x\) car \( 2x^3=2.x.x.x=(2x)x^2\) . De même \( 3x^2=(3)(x^2)\) . Donc sans les \( x^2\) on arrive à \( x^2(2x-3)\) . BOUM ! Voila une factorisation !
Autre exemple : \( x(x-1)-3x(x+1)-6x\) . Cette expression est composé de trois terme. Dans chacun des terme il y un \( x\) que l'on peut mettre en facteur. On arrive alors à la factorisation suivante :
\begin{eqnarray*}
x(x-1)-3x(x+1)-6x&=&x((x-1)-3(x+1)-6)\\
&=&x(x-1-3x-3-6)\\
&=&x(-2x-10)\\
&=&x((-1).2x+(-1).10)\\
&=&x.(-1).(2x+1\\
&=&-x.(2x+10)
\end{eqnarray*}
Factorisons \( 4x^2-9\) . Cette expression est composée de deux termes : \( 4x^2\) et \( -9\) . Il n'est pas évident de trouver un facteur commun à chacun de ces termes. il faut alors chercher du coté des identitées remarquable. On observe en effet que \( 4x^2=4.x.x=2.2.x.x=2.x.2.x=(2x)^2\) et naturellement \( 9=3^2\) ainsi \( 4x^2-9=(2x)^2-3^2\) ce qui donne, d'après la dernière identité remarquable : \( (2x)^2-3^2=(2x-3)(2x+3)\) .
