Nombres complexes appliqués à la géométrie
Vecteurs
Nous commençons par quelques rappels, qui peuvent ne pas en être, de géométrie plane. Nous sommes volontairement sibyllin, l'objectif de ce cours n'étant pas d'introduire des éléments de géométrie mais plutôt de voir comment les nombres complexes s'utilisent dans ce cadre. L'un des outils les plus fameux est le
vecteur. C'est un objet de la géométrie caractérisé par :
- une direction,
- un sens,
- une norme (taille).
Ces objets existent à peu près partout en géométrie. Nous nous cantonnerons à donner les détails uniquement dans le plan (qui deviendra plus tard le plan complexe, mais qui pourra être vu dans ce paragraphe comme le repère classique). Gardons en tête qu'en dimension 3, les vecteurs existent aussi. L'objectif de rester dans le plan et de faire le lien entre les éléments de géométrie et la construction
géométrique des nombres complexes.
Détaillons les 3 caractères qui définissent un vecteurs. Il faut penser les vecteurs comme des flèches inflexibles mais que l'on peut déplacer.
Dans la représentation ci-contre
- \( \bullet\)
- \( {\color{blue}{\overrightarrow{x}}}={\color{green}{\overrightarrow{y}}}\) car les vecteurs sont orientés dans la même direction, ont le même sens et la même taille.
- \( \bullet\)
- \( {\color{blue}{\overrightarrow{x}}}\neq{\color{red}{\overrightarrow{z}}}\) car bien que ces vecteurs aient la même taille et la même direction ils ne sont pas orienté dans le même sens. Dans cas on a alors \( {\color{blue}{\overrightarrow{x}}}=-{\color{red}{\overrightarrow{z}}}\)
- \( \bullet\)
- \( {\color{blue}{\overrightarrow{x}}}\neq{\color{black}{\overrightarrow{t}}}\) car ces deux vecteurs n'ont ni la même taille ni la même direction.
Dans la pratique, si \( A\) et \( B\) deux points du plan de coordonnées cartésiennes respectives \( (x_A, y_A)\) et \( (x_B, y_B)\) . Alors le vecteur \( \overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées \( (x_B-x_A, y_B-y_A)\) . On note \( ||\overrightarrow{AB}||\) sa norme et le théorème de Pythagore permet de montrer que \[||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\]
Un outils fameux du calcul vectoriel est la relation de Chasles (que nous avons déjà vu dans le cadre du calcul intégrale) :
\[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\]
Précisons à présent le liens avec les nombres complexes.
Affixe
Définition
Soit \( z\in \C\) . On note \( M\) le point du plan (d'origine \( O\) ) de coordonnée cartésienne \( (\Re(z), \Im(z))\) . On dit que \( z\) est l'affixe du point \( M\) et également l'affixe du vecteur \( \overrightarrow{OM}\) .
Proposition
Soient \( A\) et \( B\) des points du plan complexe d'affixe respective \( a\) et \( b\) alors \( b-a\) est l'affixe du vecteur \( \overrightarrow{AB}\) .
Démonstration
Cela découle de la relation de Chasles puisque
\( \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\)
En particulier, toutes les opérations connues sur les vecteurs se transposent avec le langage des affixes.
Corollaire
Soit \( \overrightarrow{u}\) et \( \overrightarrow{u'}\) des vecteurs du plan complexe d'affixe respective \( z\) et \( z'\) .
- L'affixe de \( \overrightarrow{u}\pm\overrightarrow{u'}\) est \( z\pm z'\) .
- Soit \( \lambda\in \R\) alors l'affixe de \( \lambda\overrightarrow{u}\) est \( \lambda z\)
- En particulier (\( \lambda=-1\) ), l'affixe de \( -\overrightarrow{u}\) est \( -z\) .
- En particulier (\( \lambda=0\) ), l'affixe de \( \overrightarrow{0}\) est \( 0\) .
- \( ||\overrightarrow{u}||=|z|\) .
- L'angle entre \( \overrightarrow{u}\) et l'axe des abscisse est \( arg(z)\) .
Transformation affine du plan complexe
On s'intéresse dans ce chapitre aux transformations du plan complexe. En d'autre terme aux fonctions \( f:\C\to \C\) . Elles sont très nombreuses et parfois assez difficile à appréhender. Ici on ne s'intéressera qu'au transformation affine, c'est à dire à définir et étudier toutes les transformation
\begin{eqnarray*}
f: \C&\longrightarrow&\C\\
z&\longmapsto& az+b
\end{eqnarray*}
pour deux nombres complexes \( a\) et \( b\) .
De la même manière que dans le cas réelle les droites \( f(x)=ax+b\) sont dirigées par \( a\) (le coefficient directeur), les valeurs de \( a\) de la transformation \( f(z)=az+b\) dirigent la nature de la transformation. Dans la suite de ce paragraphe on va discuter suivant les valeurs du nombre complexe \( a\) la nature de \( f(z)=az+b\) .
- Les translations.
-
Définition
Si \( a=1\) alors la transformation \( f(z)=az+b\) du plan complexe est appelée une translation.
Si \( f\) est une translation alors elle est de la forme \( f(z)=z+b\) . Le vecteur de translation a pour affixe \( b\) .
Par exemple \( f(z)=z+\dfrac{1}{2}+i\) est une translation de vecteur \( \overrightarrow{v}\) d'affixe \( \dfrac{1}{2}+i\) . Le point \( A\) d'affixe \( 1+i\) est transformé en \( B\) d'affixe \( \dfrac{3}{2}+2i\)
- Les homothéties.
-
Définition
Si \( a\in \R-\{1\}\) alors la transformation \( f(z)=az+b\) du plan complexe est appelée une homothétie.
Si \( f\) est une homothétie alors elle est de la forme \( f(z)=az+b\) pour un certain réel \( a\neq 1\) (\( b\) pouvant être complexe). Le rapport de l'homothétie est le nombre \( a\) et le centre de l'homothétie est l'unique point fixe de \( f\) . Précisément c'est le point \( C\) d'affixe \( c=\dfrac{b}{1-a}\) (obtenu en résolvant l'équation \( f(z)=z\) ).
Par exemple \( f(z)=2z-\dfrac{1}{2}-i\) est une homothétie de rapport \( 2\) et de centre \( C\) d'affixe \( \dfrac{1}{2}+i\) .
Géométriquement pour n'importe quelle point \( M\) d'affixe \( z\) , le point \( M'\) d'affixe \( f(z)\) est caractérisé par la relation \( \overrightarrow{CM'}=k\overrightarrow{CM}\)
- Les rotations.
-
Définition
Si \( a\in \C-\{1\}\) tel que \( |a|=1\) alors la transformation \( f(z)=az+b\) du plan complexe est appelée une rotation.
En passant par la forme polaire des nombres complexe, on observe qu'un nombre complexe de module \( 1\) est de la forme \( e^{i\vartheta}\) . Si \( f\) est une rotation alors elle est de la forme \( f(z)=e^{i\vartheta}z+b\) . L'angle de la rotation est le nombre \( \vartheta\) (modulo \( 2\pi\) ) et le centre de la rotation est l'unique point fixe de \( f\) . Précisément c'est le point \( C\) d'affixe \( c=\dfrac{b}{1-e^{i\vartheta}}\) (obtenu en résolvant l'équation \( f(z)=z\) ).
Par exemple \( f(z)=iz+1\) est une rotation d'angle \( \dfrac{\pi}{2}\) (car \( i=e^{i\frac{\pi}{2}}\) ) et de centre \( C\) d'affixe \( \dfrac{1}{1-i}=\dfrac{1+i}{|1+i|^2}=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{1}{2}\) .
- Les similitudes.
-
Définition
Si \( a\in \C-\{1\}\) tel que \( |a|\neq 1\) alors la transformation \( f(z)=az+b\) du plan complexe est appelée une similitude.
En passant par la forme polaire des nombres complexe, on observe que \( a=re^{i\vartheta}\) . Si \( f\) est une similitude alors elle est de la forme \( f(z)=re^{i\vartheta}z+b\) . L'angle de la similitude est le nombre \( \vartheta\) (modulo \( 2\pi\) ), le rapport de la similitude est le nombre \( r\) et le centre de la similitude est l'unique point fixe de \( f\) . Précisément c'est le point \( C\) d'affixe \( c=\dfrac{b}{1-a}\) (obtenu en résolvant l'équation \( f(z)=z\) ).
On peut voir toute similitude comme une rotation (d'angle \( \vartheta\) ) suivit d'une homothétie (de rapport \( r\) ).
Par exemple \( f(z)=(1+i)z+1\) est une similitude puisque \( 1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\) . Son rapport est \( \sqrt{2}\) , son angle est \( \dfrac{\pi}{4}\) et son centre est \( C\) d'affixe \( c=\dfrac{1}{1-(1+i)}=\dfrac{1}{-i}=i\)
