Nombres complexes
Un nombre ... imaginaire
On pourrait donner plein d'histoire racontant la naissance des nombres complexes qui s'utilisent presque partout (mécanique classique, quantique ou céleste etc). On peut aussi et plus simplement rester dans un univers mathématico-mathématique et poser une définition, base de travail.
Définition
On note \( i\) le nombre vérifiant \( i^2=-1\) .
Cette définition suffit ! Mais
en vrai, il faudrait, pour ne pas créer de faille spatio-temporelle dans l'univers des mathématiques, le définir plus proprement ou plutôt nous assurer que cette définition est cohérente. L'un des premiers penseurs de cet étrange nombre est Gauss (encore) et la
création qu'il en a fait en son temps et ce que nous en avons fait avec notre technologie
1 en font une définition très cohérente (pour faire peur : on note \( i\) la classe de \( X\) dans l'anneau \( \R[X]/(X^2+1)\) ).
Bref ! On a dans notre poche un nombre qui au carré vaut \( -1\) . Évidemment ce nombre n'est pas réel, puisque les nombres réels sont tous positifs lorsqu'ils sont au carré. Mais alors qu'est-ce que ce \( i\) ? Où est-il ?
Regardons de plus près l'opération
mettre au carré. Lorsque l'on met au carré le nombre \( -1\) on obtient \( 1\) . C'est à dire que sur l'axe des nombres réels, le nombre \( -1\)
passe de l'autre coté du \( 0\) . Le nombre \( -1\) fait un angle de \( \pi\) par rapport à l'axe des nombres réels et le fait qu'il se retrouve
de l'autre coté du \( 0\) peut se traduire par
on a doublé son angle. Double... carré... on voit le nombre \( 2\) et c'est assez satisfaisant.
Voyons maintenant le nombre \( i\) . Au carré, il vaut \( -1\) . Cela équivaut, avec notre considération géométrique, à dire que l'angle que fait le nombre \( i\) lorsqu'il est doublé fait \( \pi\) (pour arriver au \( -1\) ). Un petit dessin montre que ce nombre est donc en dehors de l'axe des nombres réels (heureusement) !
Le nombre \( i\) est donc
ailleurs que sur l'axe des nombres réel, sur un autre axe que l'on place généralement perpendiculaire à celui des nombres réels et que l'on nomme l'
axe des imaginaires. Un nombre complexe est alors un point non plus sur la droite (réelle) mais dans le plan (complexe).
Définition
Un un nombre complexe est une expression \[z=x+iy\] pour deux nombres réels \( x\) et \( y\) appelés respectivement partie réelle et partie imaginaire du nombre \( z\) notée \( \Re(z)\) et \( \Im(z)\) .
On note \[\C\] l'ensemble des nombres complexes.
Attention ! La partie imaginaire d'un nombre complexe est réelle ! Par exemple la partie imaginaire du nombre \( 3-2i\) est \( -2\) et sa partie réelle est \( 3\) .
Calcul dans l'ensemble des nombres complexe
Les calculs dans l'ensemble des nombres complexes se fait exactement comme dans celui des nombres réelles à ceci près que \( i\) vérifie \( i^2=-1\) .
Proposition
Soient \( z\) et \( z'\) deux nombres complexes alors
\[\Re(z\pm z')=\Re(z)\pm\Re(z')\]
\[\Im(z\pm z')=\Im(z)\pm\Im(z')\]
Démonstration
Soit \( z=x+iy\) et \( z'=x'+iy'\) . Il s'agit de voir que \( \Re(z\pm z')x\pm x'\) et \( \Im(z\pm z')=y\pm y'\)
\begin{eqnarray*}
z+z'&=&(x+iy)\pm(x'+iy')\\
&=&x+iy\pm x'\pm iy'\\
&=&x\pm x'+iy\pm iy'\\
&=&(x\pm x')+i(y\pm y')
\end{eqnarray*}
Proposition
Soit \( z\) un nombre complexe et \( \lambda\in \R\)
\[
\Re(\lambda z)=\lambda \Re(z),\qquad
\Im(\lambda z)=\lambda \Im(z)
\]
Démonstration
Soit \( z=x+iy\) . Il s'agit de voir que \( \Re(\lambda z)=\lambda x\) et
\( \Im(\lambda z)=\lambda y\)
\begin{eqnarray*}
\lambda z&=&\lambda (x+iy)\\
&=&\lambda x+\lambda (iy)\\
&=&\lambda x+i(\lambda y)
\end{eqnarray*}
Ces deux propositions montre que les nombres complexes ont une structure
linéaire. Pour l'addition on additionne les parties réelles ; respectivement pour la partie imaginaire. De même pour la multiplication réelle.
Les choses se "compliquent" pour la multiplication et la division. Bien qu'en fait il ne s'agit que d'opérations algébriques classique avec la règle \( i^2=-1\) .
Proposition
Soient \( z\) et \( z'\) deux nombres complexes.
\[\Re(zz')=\Re(z)\Re(z')-\Im(z)\Im(z')\]
\[\Im(zz')=\Im(z)\Re(z')+\Re(z)\Im(z')\]
Démonstration
Posons \( z=x+iy\) et \( z'=x'+y'\) .
\begin{eqnarray*}
zz'&=&(x+iy)(x+iy)\\
&=&xx'+ixy'+iyx'+iyiy'\\
&=&xx'+ixy'+iyx'+\underbrace{i^2}yy'\\
&=&xx'+ixy'+iyx'-yy'\\
&=&xx'-yy'+ixy'+iyx'\\
&=&xx'-yy'+i(xy'+yx')
\end{eqnarray*}
Dans la pratique on n'utilise pas ces formules, on le redémontre, en développant ou factorisant au besoin. Ces formules montrent
simplement qu'on peut faire comme si \( i\) était une variable \( x\) ou avec la règle imaginaire \( i^2=-1\) .
Par exemple, si \( z_1=3+\dfrac{i}{2}\) et \( z_2=1-i\) alors
\begin{eqnarray*}
2z_1-z_2^2
&=&2(3+\dfrac{i}{2}) - (1-i)^2\\
&=&(6+i) - (1^2-2\times 1\times i + i^2)\\
&=&(6+i) - (1-2i -1)\\
&=&(6+i) - (-2i )\\
&=&6+i +2i \\
&=&6+3i
\end{eqnarray*}
Pour la division de nombre complexe, il faut faire un peu plus d'effort mais sans plus de difficulté.
Nombre complexe conjugué
Définition
Soit \( z\in \C\) . On appel nombre complexe conjugué à \( z\) le nombre noté \( \bar{z}\) , défini par
\[\bar{z}=\Re(z)-i\Im(z)\]
En d'autre terme le nombre conjugué associé à un nombre complexe \( z\) est le même que \( z\) en changeant uniquement le signe de la partie imaginaire. Par exemple \( \bar{7+i\sqrt{2}}=7-i\sqrt{2}\) .
Lemme
Quelque que soit \( z\in \C\) , \[z\bar{z}=\Re(z)^2+\Im(z)^2\in \R\]
Démonstration
\begin{eqnarray*}
z\bar{z}
&=& (x+iy)(\bar{x+iy})\\
&=& (x+iy)(x-iy)\\
&=& (x)^2-(iy)^2\qquad\text{Identité remarquable}\\
&=& x^2-i^2y^2\\
&=& x^2-(-1)y^2\\
&=& x^2+y^2
\end{eqnarray*}
Proposition
Soient \( z\) et \( z'\) des nombres complexes.
\[\Re\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\dfrac{\Re(z)\Re(z')+\Im(z)\Im(z')}{\Re(z')^2+\Im(z')^2}\]
\[\Im\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\dfrac{\Im(z)\Re(z')-\Re(z)\Im(z')}{\Re(z')^2+\Im(z')^2}\]
Démonstration
Cela découle de l'observation \[\dfrac{z}{z'}=\dfrac{z\bar{z'}}{z'\bar{z'}}\] et des résultats précédents.
Encore une fois, la formule n'est là que pour démontrer la méthode. En aucun cas on l'applique en tant que tel. On la redémontre.
Par exemple
\begin{eqnarray*}
\dfrac{3-\frac{i}{2}}{2+i}
&=&\dfrac{\left(3-\frac{i}{2}\right)(2-i)}{(2+i)(2-i)}\\
&=&\dfrac{6-3i-i-\frac{i^2}{2}}{2^2-i^2}\\
&=&\dfrac{6-3i-i+\frac{1}{2}}{4+1}\\
&=&\dfrac{\frac{13}{2}-4i}{5}\\
&=&\frac{13}{10}-\dfrac{4}{5}i
\end{eqnarray*}
Le nombre conjugué est cohérent avec les calculs dans l'ensemble des nombres complexe.
Théorème
Soient \( z\) et \( z'\) des nombres complexes et \( \lambda\in \R\) alors
- \( \bar{z\pm z'}=\bar{z}\pm\bar{z'}\)
- \( \bar{\lambda z}=\lambda\bar{z}\)
- \( \bar{z z'}=\bar{z}\bar{z'}\)
- \( \bar{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\bar{z}}{\bar{z'}}\)
Démonstration
Il suffit de revenir à la définition
Proposition
Un nombre \( z\in\C\) est réel si et seulement si \( z=\bar{z}\) .
Démonstration
Si \( z=\bar{z}\) alors \( x+iy=x-iy\) et en identifiant la partie imaginaire \( y=-y\) ce qui équivaut à \( y=0\) et \( x\) est réel.
Définition
On dira qu'un nombre est imaginaire pure si \( z=-\bar{z}\) .
Racines carrés
Le fait d'avoir un
nombre dont le carré vaut \( -1\) , qui est un nombre négatif, nous donne un nouvel outil d'extraction de racine carré.
En effet, par définition de racine carré, trouver \( \sqrt{-1}\) c'est trouver un nombre \( z\) , qui aujourd'hui peut donc être complexe, vérifiant \( z^2=-1\) . Nous avons donc une jolie solution : \( i\) ... mais ce n'est pas la seule. Il y a aussi \( -i\) . Donc \( \sqrt{-1}\) vaut à la fois \( i\) et \( -i\) . Ce n'est pas du tout satisfaisant ! Il faut donc donner un cadre un peu plus propre pour obtenir un concept plus cohérent.
Définition
Soit \( z\in \C\) . Les racines carrés de \( z\) sont des nombres \( Z\) vérifiant \( Z^2=z\) .
Si \( z\neq0\) , il y a toujours deux racines carrées.
Voyons à présent comment, dans la pratique, on détermine les racines carrées d'un nombre complexe.
Proposition
Soit \( z=x+iy\) un nombre complexe alors et \( Z\) une racine carré de \( z\) alors
\[\Re(Z)=\pm\sqrt{\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}}\]
\[\Im(Z)=\pm\sqrt{\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}}\]
Le signe à choisir étant déterminé par le signe de \( y\) . Précisément
- Si \( y{>}0\)
- alors \( \Re(Z)\) et \( \Im(Z)\) sont de même signe
- Sinon
- \( \Re(Z)\) et \( \Im(Z)\) sont de signe différent.
Démonstration
Posons \( Z=a+ib\) . Par définition \( Z^2=z\) c'est à dire \( (a+ib)^2=x+iy\) soit \( (a^2-b^2)+2i(ab)=x+iy\) . En particulier, en comparant les parties imaginaires on a \( 2ab=y\) . Cette égalité montre que si \( y{>}0\) alors nécessairement \( a\) et \( b\) sont de même signe et de signe différent sinon. Quant à la partie réelle elle permet d'obtenir la formule \[a^2-b^2=x\]
D'un autre coté puisque \( Z^2=z\) alors \( \bar{Z}^2=\bar{z}\) et donc \( (Z\bar{Z})^2=z\bar{z}\) ce qui équivaut à \( (a^2+b^2)^2=x^2+y^2\) et puisque ces carrés sont positifs on a
\[a^2+b^2=\sqrt{x^2+y^2}\]
En sommant les deux égalités trouvées on arrive à \( 2a^2=\sqrt{x^2+y^2}+x\) soit \( a=\pm\sqrt{\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}}\) . La différence permet de trouver \( b\) .
Par exemple déterminons les racine carrés de \( z=3-2i\) . On cherche donc \( Z=a+ib\) tel que \( Z^2=z\) soit \( (a^2-b^2)+i(2ab)=3-2i\) . En identifiant partie réelle et partie imaginaire on en déduit que \( a^2-b^2=3\) et \( 2ab=-2\) soit encore \( ab=-1\) . D'autre part en passant par la forme conjuguée on a \( a^2+b^2=\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{13}\) . Ainsi \( 2a^2=\sqrt{13}+2\) et \( a=\pm\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+2}{2}}\) et de même \( b=\pm\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-2}{2}}\) . Puisque \( ab=-1\) alors \( a\) et \( b\) sont de signe différent. Ainsi les deux racines de \( 3-2i\) sont
\[Z_1=\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+2}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-2}{2}}\]
\[Z_2=-\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+2}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-2}{2}}\]
Théorème
Si le discriminant d'un polynôme à coefficient réelle \( ax^2+bx+c\) est négatif alors le polynôme admet deux racines complexes conjuguées.
Démonstration
Si \( \Delta{<}0\) est le discriminant alors il admet deux racines carrées dont les calculs amènent à \( Z_1=i\sqrt{-\Delta}\) et \( Z_2=-i\sqrt{-\Delta}\) . En appliquant alors les formules classique on trouve deux racines au polynôme \( ax^2+bx+c\) :.
\[x_{1}=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}, \qquad
x_{2}=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}, \]
qui sont bien des nombres complexes conjuguées.
Considérons par exemple l'équation \( x^2+x+1=0\) . Son discriminant vaut \( -3\) . Alors ce polynôme admet \( z\) et \( \bar{z}\) comme solution où \( z=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}\) .
On peut aussi considérer des polynômes où les coefficients sont complexe. Il suffit de raisonner exactement comme dans le cas réel en extrayant les deux racines carrés complexe (qui ne sont plus conjugués en général).
En particulier, tous les polynômes admettent des racines
2
Forme polaire
Pour représenter un point dans le plan nous avons besoin de deux informations (principalement parce qu'une plan est un objet de dimension 2). Nous avons étudier tout au long de l'année une seule méthode de coordination : les coordonnées cartésienne. Pour placer un point nous donnons son abscisse et son ordonnée. Inversement : étant donnée un point du plan, il possède une abscisse et une ordonnée.
Mais il existe une autre manière de représenter un point du plan qui vient principalement de l'astronomie (Gauss était astronome de formation et non mathématicien...).
Pour représenter un point dans le plan nous avons besoin de savoir uniquement quel angle il fait avec l'axe des ordonnée et à quelle distance il se trouve de l'origine.
Définition
- On appel coordonnées cartésiennes d'un point \( A\) du plan la donnée d'un couple \( (x, y)\) où \( x\) est l'abscisse, \( y\) l'ordonnée représentant respectivement la projection de \( A\) sur l'axe \( (0x)\) et \( (0y)\) .
- On appel coordonnées polaires d'un point \( A\) du plan la donnée d'un couple \( (r, \vartheta)\) où \( r\) est le module, \( \vartheta\) l'argument représentant respectivement la distance de \( 0A\) et l'angle \( (0x ; 0A)\) (mesuré en radian).
La trigonométrie va nous permettre de passer de l'un à l'autre.
Proposition
Soit \( A\) un point du plan de coordonnées cartésienne \( (x, y)\) et de coordonnée polaire \( (r, \vartheta)\) alors
\[x=rcos(\vartheta),\qquad y=rsin(\theta)\]
\[r=\sqrt{x^2+y^2},\qquad \vartheta=tan^{-1}\left(\dfrac{y}{x}\right)\]
Dans cette proposition, la notation \( tan^{-1}\) fait référence à une touche de la calculatrice (normalement au dessus de la touche de la fonction tangente, parfois notée \( Arctan\) ou \( Atan\) suivant les modèles). Écrire \( \vartheta=tan^{-1}\left(\dfrac{y}{x}\right)\) est strictement équivalent à écrire \( tan(\vartheta)=\dfrac{y}{x}\) .
Démonstration
Il suffit d'appliquer les définitions de sinus et cosinus dans le triangle du schéma précédent pour obtenir les deux premières formules ainsi que la dernière. Quand à la troisième, il s'agit du théorème de Pythagore.
Revenons dans l'ensemble des nombres complexes que nous avions ponctuellement délaissé. Un nombre complexe c'est \( x+iy\) où \( x\) et \( y\) représentent les coordonnées cartésiennes du point du plan. D'après la proposition précédente on a \( x+iy=(rcos(\vartheta))+i(rsin(\vartheta))=r(cos(\theta)+isin(\theta))\) .
Définition
Soit \( z\in \C\) , \( (x, y)\) les coordonnées cartésiennes qu'il défini et \( (r,\vartheta)\) ses coordonnées polaires. On note
\( |z|=r=\sqrt{x^2+y^2}\)
son module et
\( arg(z)=\vartheta=tan^{-1}\left(\dfrac{y}{x}\right)\)
son argument.
Proposition
Soient \( z\) et \( z'\) des nombres complexes et \( \lambda\) un nombre réel strictement positif.
- \( |zz'|=|z||z'|\)
- \( |\bar{z}|=|z|\)
- \( |z|^2=z\bar{z}\)
- \( |\lambda z|=\lambda|z|\) et \( |-\lambda z|=\lambda|z|\)
- \( \left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}\)
- \( arg(zz')\modpi arg(z)+arg(z')\)
- \( arg(\bar{z})\modpi -arg(z)\)
- \( arg(\lambda)\modpi 0\) et \( arg(-\lambda)\modpi \pi\)
- \( arg(\lambda z)\modpi arg(z)\)
- \( arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)\modpi arg(z)-arg(z')\)
Démonstration
Soient \( z=x+iy=r(cos(\vartheta)+isin(\vartheta))\) et
\( z'=x'+iy'=r'(cos(\vartheta')+isin(\vartheta'))\) alors
\begin{eqnarray*}
zz'&=&[r(cos(\vartheta)+isin(\vartheta))][r'(cos(\vartheta')+isin(\vartheta'))]\\
&=&rr'(cos(\vartheta)+isin(\vartheta))(cos(\vartheta')+isin(\vartheta')))\\
&=&rr'(\underbrace{cos(\vartheta)cos(\vartheta')-sin(\vartheta)sin(\vartheta')}+i(\underbrace{cos(\vartheta)sin(\vartheta')+cos(\vartheta')sin(\vartheta)}))\\
&=&rr'(cos(\vartheta+\vartheta')+isin(\vartheta+\vartheta'))
\end{eqnarray*}
Cette formule montre que \( |zz'|=rr'=|z||z'|\) et \( arg(zz')\modpi \vartheta+\vartheta'\modpi arg(z)+arg(z')\) .
On a également \( \bar{z}=r(cos(\vartheta)-isin(\vartheta))=r(cos(-\vartheta)+isin-(\vartheta))\) . Cette formule montre que \( |\bar{z}|=r=|z|\) et \( arg(\bar{z})\modpi -\vartheta\modpi -arg(z)\) .
Les formules 3 sont des conséquences triviales des définitions.
Les formules 4 se déduisent des formules 1.
Finalement \( \dfrac{z}{z'}=\dfrac{z\bar{z'}}{z'\bar{z'}}=\dfrac{z\bar{z'}}{|z'|^2}\) .
Puisque \( |z'|^2\) est un nombre réel strictement positif alors \( \left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z||\bar{z'}|}{|z'|^2}=\dfrac{|z||z'|}{|z'|^2}=\dfrac{|z|}{|z'|}\) .
De même \( arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)\modpi arg\left(\dfrac{z\bar{z'}}{|z'|^2}\right)\modpi arg(z\bar{z'})\modpi arg(z)+arg(\bar{z'})\modpi arg(z)-arg(z')\)
Ces formules montrent que essentiellement le module se comporte comme une racine carré (ce qui est évident au vu de la formule) et que l'argument se comporte comme un logarithme. Cette observation motive la définition suivante.
Définition
Soit \( \vartheta\) un angle défini modulo \( 2\pi\) . On pose
\( e^{i\vartheta}=cos(\vartheta)+isin(\vartheta)\)
La proposition précédente montre que cette notation est cohérente avec ce que nous connaissions de l'exponentielle. Nous retrouvons entre autre \( e^{i\vartheta}e^{i\vartheta'}=e^{i(\vartheta+\vartheta')}\) et \( \dfrac{1}{e^{i\vartheta}}=e^{-i\vartheta}=\bar{e^{i\vartheta}}\) .
Par exemple \( 2e^{i\frac{\pi}{4}}=2\left(cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)
+isin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)=2\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}
+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}+i\sqrt{2}\) .
Corollaire
Tout nombre complexe \( z\) peut s'écrire
\[z=re^{i\vartheta}\]
où \( r=|z|\) et \( \vartheta\modpi arg(z)\) . On appel cette forme la forme polaire du nombre complexe.
Déterminons la forme polaire de \( z=1-i\sqrt{3}\) . Pour commencer on a facilement \( |z|=2\) . D'après les formules permettant de passer de coordonnées cartésiennes à polaire on a \( cos(\vartheta)=\dfrac{1}{2}\) et \( sin(\vartheta)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) . Parce qu'on connait bien notre trigonométrie on sait que le seul angle (modulo \( 2\pi\) ) avec cette valeur de cosinus et sinus et \( -\dfrac{\pi}{6}\) . Finalement
\[1-i\sqrt{3}=2e^{-i\frac{\pi}{6}}\]
Corollaire [Formules d'Euler]
Soit \( \vartheta\) un angle défini modulo \( 2\pi\) .
\[cos(\vartheta)=\dfrac{e^{i\vartheta}+e^{-i\vartheta}}{2},\qquad
sin(\vartheta)=\dfrac{e^{i\vartheta}-e^{-i\vartheta}}{2i}\]
\[e^{i\pi}+1=0\]
Démonstration
Il suffit de revenir à la définition de l'exponentielle complexe.
1Des outils mathématiques sont des éléments de la technologie
2Cela s'appelle le théorème de d'Alembert-Gauss... oui encore Gauss. Ce n'est pas pour rien qu'on l'appel
le prince des mathématiques.
