\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Les nombres entiers

Introduction

\[ \sqrt{\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{6}{n^2}}=\int_0^1\dfrac{4dt}{1+t^2} \] Vous sentez votre sang ne faire qu'un tour, une goute de sueur froide coule le long de votre dos et vous vous demandez qu'est-ce que c'est que ce charabia. Commencez par respirer calmement et allégez votre esprit de la torpeur de cette phrase mathématique. Commençons par enfoncer des portes ouvertes

Oui, c'est ça des math.

Oui, vous pourrez comprendre ce que ça veut dire.

Non, c'est pas au contrôle !

Il faut vivre les math comme un jeu vidéo. L'équation écrite plus haut c'est le boss de fin. Et là vous commencer la partie, sans arme et sans expérience. Petit à petit nous allons nous attaquer à des problèmes qui vont affiner vos compétences et vous permettre d'affronter des monst... des problèmes de plus en plus difficile et vous finirez peut-être par vaincre ce démon. Mais pas d'inquiétude, ça sera pas dure (peut-être un peu douloureux). Avant tout, il faut s'assurer que nous parlons le même langage. Celui des mathématiques ! Pour commencer laissons les lettres de l'alphabet dans notre poche et jouons avec nos chers nombres \[0, 1, 2, 3 ...\] Pour faire les choses bien, tous ces nombres naturels, on les range dans une boite. Cette boite s'appelle, l'ensemble des entiers naturel et est noté \[\N\] c'est un 'N' majuscule avec une barre plus épaisse au début de la lettre. C'est à un mathématicien italien du nom de Giuseppe Peano que l'on doit cette belle notation (le 'N' est celui de naturale le mot italien pour "naturel"). Donc dans cette boite on range tous les nombres entiers naturels (et positifs ou nuls) \[\N=\{0, 1, 2, 3, 4, ..., 22, 2\ 019, 1\ 234\ 567\ 890, ...\}\] Cette boite, bon disons le vrai mot : ensemble. Cet ensemble donc, est très grand, il y a TOUS les nombres entiers (ne confondez pas nombre et chiffre - chez nous il y a 10 chiffres et un nombre est composé de chiffre). Il y a une infinité d'entier naturel.

L'addition

La première chose que l'on peut faire avec les entiers c'est les additionner. Mais ça vous savez déjà comment ça marche ! Alors bien sur on peut utiliser une calculatrice pour faire des additions, mais on peut aussi les poser à l'ancienne en alignant en colonne les entiers sur la droite comme ceci : \[ \begin{array}{cccccccc} &&&1&4&3&7&2\\ +&9&3&0&0&4&9&8\\ +&&4&9&4&1&2&8 \end{array} \] On additionne par la droite en colonne. Ainsi la première opération à poser est $ 2+8+8=18$ . On écrit que l'unité, c'est à dire le chiffre le plus à droite, de ce résultat. Mais pour ne pas oublier le $ 1$ , on met le met en retenue sur la colonne suivante. \[ \begin{array}{cccccccc} &&&&&&{\color{red}{1}}&\\ &&&1&4&3&7&2\\ +&9&3&0&0&4&9&8\\ +&&4&9&4&1&2&8\\\hline =&&&&&&&8 \end{array} \] La deuxième opération à faire est celle de la colonne suivante sans oublier de prendre la retenue : $ {\color{red}{1}}+7+9+2=19$ \[ \begin{array}{cccccccc} &&&&&{\color{red}{1}}&{\color{red}{1}}&\\ &&&1&4&3&7&2\\ +&9&3&0&0&4&9&8\\ +&&4&9&4&1&2&8\\\hline =&&&&&&9&8 \end{array} \] Et on continue comme ça jusqu'à tout calculer ! \[ \begin{array}{cccccccc} &&{\color{red}{1}}&&&{\color{red}{1}}&{\color{red}{1}}&\\ &&&1&4&3&7&2\\ +&9&3&0&0&4&9&8\\ +&&4&9&4&1&2&8\\\hline =&9&8&0&8&9&9&8 \end{array} \] Pour finir le résultat est $ 9\ 808\ 998$ .

La multiplication

Une autre chose que l'on peut faire avec les nombres c'est les multiplier. Et comme avec les additions on pose une multiplication : \[ \xymatrix@R=0.5cm@C=0.5cm{ &1&2&3&\\ \times&&&7&\\ \ar@{-}[rrrr]&&&&\\ &&&& } \] La première opération à faire est $ 7\times 3=21$ . On inscrit le $ 1$ et on met le $ 2$ en retenue. \[ \xymatrix@R=0.5cm@C=0.5cm{ &1&2^2&3\ar@{-}[d]^\times&\\ \times&&&7\ar@{=}[dd]&\\ \ar@{-}[rrrr]&&&&\\ &&& \boxed{ 2}1\ar@/^0.319cm/[luuu]& } \] Puis ensuite on fait le $ 7\times 2$ en ajoutant la retenue au résultat soit $ 16$ . On note le $ 6$ et on met le $ 1$ en retenue. \[ \xymatrix@R=0.5cm@C=0.5cm{ &1^1&2^2\ar@{{<}-}[rd]^\times\ar@(lu,ru)[]\ar@{=}[ddd]&3&\\ \times&&&7&\\ \ar@{-}[rrrr]&&&&\\ && \boxed{ 1}6\ar@/^0.319cm/[luuu]&1& } \] Et pour finir \[ \xymatrix@R=0.5cm@C=0.5cm{ &1^1\ar@(lu,ru)[]\ar@{{<}-}[rrd]\ar@{=}[ddd]&2&3&\\ \times&&&7&\\ \ar@{-}[rrrr]&&&&\\ &8&6&1& } \] Une multiplication facile est celle par dix. Multiplier par $ 10$ reviens à ajouter un $ 0$ à droite. D'ailleurs multiplier par $ 100$ reviens à ajouter deux $ 0$ à droite ; multiplier par $ 1\ 000$ à ajouter $ 3$ zéros ; multiplier par $ 1\!\!\!\!\underbrace{0...0}_{952 \text{ zéros}}$ reviens à ajouter $ 952$ zéros à droite.

$ \bullet$: $ 123\times 10=1\ 230$
$ \bullet$: $ 98\ 760\times 1\ 000=98\ 760\ 000$
$ \bullet$: $ 67\ 89\times 1\!\!\!\!\underbrace{0...0}_{314 \text{ zéros}}=678\ 91\!\!\!\!\underbrace{0...0}_{314 \text{ zéros}}$

Comment faire pour multiplier par $ 20$ par exemple ? Il suffit de multiplier par $ 2$ puis par $ 10$ car, comme tout le monde le sait $ 20=2\times 10$ . Ainsi pour calculer $ 17\times 20$ , on fait $ 17\times 2=34$ et on rajoute un $ 0$ : $ 17\times 20=340$ . Il en va de même pour $ 45\times 120$ . On fait $ 45\times 12$ auquel on ajoute un $ 0$ : $ 45\times 120=5\ 400$ . On peut bien sur combiner et oublier les $ 0$ pour les remettre à fin du calcul. Ainsi pour faire $ 12\ 300\times 9\ 870$ on fait $ 123\times 987$ auquel on rajouter trois $ 0$ à droite. Finalement $ 12\ 300\times 9\ 870=121\ 401\ 000$ . On peut aussi faire à l'ancienne et poser la multiplication. Et justement on se sert de cette règle de $ 0$ avec un autre principe qui est la distributivité¹. On remarque que $ 987=7+80+900$ c'est à dire $ 987=7+8\times 10+9\times 100$ . Ainsi pour faire $ 123\times 987$ on va faire $ 123\times 7$ puis $ 123\times 8$ et rajouter un $ 0$ puis $ 123\times 9$ puis rajouter deux $ 0$ . Finalement on additionne les trois chiffres pour avoir le résultat. \[\xymatrix@C=0cm{ 123&\times&987&=&123\ar@/^1pc/[rr]\ar@/^2pc/[rrrr]\ar@/^3pc/[rrrrrr]&\times&(7&+&80&+&900)\\ &&&=&&&123\times 7&+&(123\times 8)0&+&(123\times 9)00 }\] Bon ça à l'air compliqué raconter comme ça mais en définitive c'est très simple et ça se pose dans un joli tableau \[ \begin{array}{cccccccl} &&&&1&2&3&\\ &&&\times&9&8&7&\\\hline &&&&&&&\leftarrow123\times 7\\ +&&&&&&0&\leftarrow123\times 8\\ +&&&&&0&0&\leftarrow123\times 9\\\hline &&&&&&& \end{array} \] Ce qui fini par \[ \begin{array}{cccccccl} &&&&1&2&3&\\ &&&\times&9&8&7&\\\hline &&&&8&6&1&\leftarrow123\times 7\\ +&&&9&8&4&0&\leftarrow123\times 8\\ +&1&1&0&7&0&0&\leftarrow123\times 9\\\hline &1&2&1&4&0&1& \end{array} \]

L'addition et la multiplication

A présent mélangeons un peu les opérations ! Que fait $ 1+2\times 3$ ? C'est là que les choses se "compliquent". Tout comme me monde physique est régie par des lois (comme la gravité), le monde mathématiques est lui aussi soumit à un ensemble de lois dont voici la première :

L'opération de multiplication est prioritaire sur l'opération d'addition !

Cela signifie que pour faire $ 1+2\times 3$ , on réalise d'abord la multiplication ; on obtient $ 1+6$ qui fait $ 7$ . Si il y a plusieurs multiplication dans une expression, on les calculs en premier peut importe l'ordre. \[1+2\times 3+4\times 5=1+6+20=27\] Si on veut jouer avec les priorités on utilise les parenthèses.

Les opérations dans les parenthèses sont prioritaires sur celles qui n'y sont pas.

Ainsi $ (1+2)\times 3=3\times 3=9$ . On peut bien sur combiner ces deux règles ! \begin{eqnarray*} (1+2\times(3+4))\times((5+6)\times 7) &=& (1+2\times 7)\times((5+6)\times 7) \\ &=& (1+14)\times((5+6)\times 7) \\ &=& 15\times((5+6)\times 7) \\ &=& 15\times(11\times 7) \\ &=& 15\times 77 \\ &=& 1155 \end{eqnarray*}

La soustraction

La soustraction est un peu plus compliquée voir parfois impossible... dans la boite où l'on vit. En effet dans notre boi... ensemble $ \N$ , l'opération $ 4-7$ n'existe pas. Vous devinez que la réponse est $ -3$ mais ce nombre n'est pas dans $ \N$ . Il est dans un ensemble un peut plus grand appelé l'ensemble des entiers relatifs noté \[\Z\] Notation introduit par M. Dedekind, mathématicien allemand (le 'Z' c'est pour zahl, 'nombre' en allemand). Cet ensemble est le même que $ \N$ sauf que chaque entier peut être positif, précédé par un $ +$ , ou négatif, précédé par un $ -$ . \[\Z=\{...-2019, ... -2, -1, 0, +1, ..., +12\ 345, ...\}\] Dans la pratique on n'écrit pas le $ +$ pour le nombre positif. Pour poser une soustraction on fait comme pour l'addition sauf que pour chaque colonne, au lieu d'additionner, on soustrait (élémentaire!) : \[ \begin{array}{cccc} &9&3&9\\ -&3&9&3\\\hline &&& \end{array} \] Dans la première colonne on fait donc $ 9-3=6$ . \[ \begin{array}{cccc} &9&3&9\\ -&3&9&3\\\hline &&&6 \end{array} \] Dans la seconde colonne on fait $ 3-9=-6$ sauf qu'on ne peut pas mettre de nombre négatif dans la dernière ligne. On va appliqué le même principe de retenue au lieu de faire $ 3-9$ on va faire $ 13-9$ et rajouter une retenue au nombre soustrait \[ \begin{array}{cccc} &9&{\underline{{}_{ 1}3}}&9\\ -&3_{+1}&9&3\\\hline &&4&6 \end{array} \] A la colonne suivante, on réalise encore la dernière opération $ 9-3$ mais on soustrait la retenue, on fait donc $ 9-(3+1)=9-4=5$ \[ \begin{array}{cccc} &9&{\underline{{}_{ 1}3}}&9\\ -&3_{+1}&9&3\\\hline &5&4&6 \end{array} \] Comment poser $ 123-456$ ? Tout simplement en soustrayant le plus petit au plus grand, c'est à dire en posant $ 456-123=333$ ce qui est possible, puis de changer le signe du résultat : \[123-456=-333\]

Multiplication et soustraction

Pour les règles de priorité, la soustraction se comporte comme l'addition. Dans ce cas rien de nouveau et donc rien de plus difficile... sauf que... comment multiplier deux nombres qu'ils aient ou non le même signe ! Pour multiplier deux nombres relatifs, on réalise le produit des nombres et le signe est obtenu par la règle des signes : \[+\times + = + \qquad +\times - = - \qquad -\times + = - \qquad -\times - = + \] Par exemple $ (-6)\times 2=-12$ , $ (-1)\times(-3)=3$ .

¹On reviendra dessus plus tard.