Définition
On appelle
produit scalaire réel sur un espace vectoriel \( E\) toute application, \( f : E \times E \longrightarrow \R\) vérifiant les conditions suivantes :
- \( (P0)\) Positivité :
- \( \forall \overrightarrow{x}\in E, \ f(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{x})\geqslant 0\)
- \( (P1)\) Séparation :
- \( \forall \overrightarrow{x}\in E, \ f(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{x}) = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}\)
- \( (P2)\) Symétrie :
- \( \forall \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}\in E, \ f(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y})=f(\overrightarrow{y}, \overrightarrow{x})\)
- \( (P3)\) Bilinéarité :
- \( \forall a, b \in \R, \forall \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z}\in E, \ f(a\overrightarrow{x}+b\overrightarrow{y}, \overrightarrow{z})=af(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{z})+bf(\overrightarrow{y}, \overrightarrow{z})\)
Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, on a l'habitude de noter un produit scalaire \( f(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y})=\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle\) .
Exercice
Les applications suivantes définissent-elles des produits scalaire sur \( \R^2\) .
- \( \varphi_1\left(
\begin{pmatrix}
x_1\\x_2
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
y_1\\y_2
\end{pmatrix}
\right)=\sqrt{x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2}\)
- \( \varphi_2\left(
\begin{pmatrix}
x_1\\x_2
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
y_1\\y_2
\end{pmatrix}
\right)=4x_1y_1-x_2y_2\)
- \( \varphi_3\left(
\begin{pmatrix}
x_1\\x_2
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
y_1\\y_2
\end{pmatrix}
\right)=4x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+2x_2y_2\) .
Exercice
Soit \( f\) un produit scalaire sur un espace vectoriel \( E\) . Montrer en utilisant les axiomes des produits scalaire et uniquement ces axiomes, que pour tout \( \overrightarrow{x}\in E\) , \( f\left(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{0}\right)=0\) .
Définition
Un \( \R\) espace vectoriel \( E\) de dimension finie muni d'un produit scalaire est appelé un espace euclidien.
Lorsque l'espace \( E\) est de dimension infinie, on dira qu'il est
préhilbertien (ça ne sera pas l'objet de ce cours).
L'adjectif
euclidien fait référence à Euclide, célèbre savant de la Grèce antique, qui serait le
premier penseur des éléments de géométrie plane usuelle.
Pour des vecteurs \( \overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}
x_1\\x_2
\end{pmatrix}\) et \( \overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}
y_1\\y_2
\end{pmatrix}\) , le produit scalaire usuelle \( \left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle=x_1y_1+x_2y_2\) fait de \( \R^2\) un espace euclidien.
Définition
On appel
norme sur un espace vectoriel \( E\) toute application \( N : E\rightarrow \R_+\) vérifiant les conditions suivantes :
- \( (N1)\) Séparation.
- \( \forall \overrightarrow{x}\in E, \ N(\overrightarrow{x})=0 \Leftrightarrow \overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}\)
- \( (N2)\) Absolue homogénéité.
- \( \forall \lambda\in \R, \overrightarrow{x}\in E, \ N(\lambda\overrightarrow{x})=|\lambda|N(\overrightarrow{x}) \)
- \( (N3)\) Inégalité du triangle.
- \( \forall \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}\in E, \ N(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})\leqslant N(\overrightarrow{x})+N(\overrightarrow{y}) \)
Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, on a l'habitude de noter une norme \( N(\overrightarrow{x})=\norm{\overrightarrow{x}}\) .
Proposition
Soit \( E\) un espace vectoriel de dimension finie.
- Soit \( \left\langle \bullet \left|\vphantom{\bullet \bullet}\right. \bullet \right\rangle\) un produit scalaire sur \( E\) . Alors
\begin{eqnarray*}
E&\longrightarrow& \R_+\\
\overrightarrow{x}&\longmapsto& \sqrt{\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{x}}\right. \overrightarrow{x} \right\rangle}
\end{eqnarray*}
définie une norme sur \( E\) .
- Soit \( N(\bullet)\) une norme sur \( E\) . Alors
\begin{eqnarray*}
E\times E&\longrightarrow&\R\\
(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y})&\longmapsto&\dfrac{N(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})^2-N(\overrightarrow{x})^2-N(\overrightarrow{y})^2}{2}
\end{eqnarray*}
définie un produit scalaire sur \( E\) .
Démonstration
Exercice - à jumeler avec le lemme suivant.
Lemme
Soient \( \left\langle \bullet \left|\vphantom{\bullet \bullet}\right. \bullet \right\rangle\) un produit scalaire sur un espace vectoriel \( E\) et pour tout \( \overrightarrow{x}\in E\) , \( N(\overrightarrow{x})=\sqrt{\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{x}}\right. \overrightarrow{x} \right\rangle}\) alors
\[\forall \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}\in E, \ N(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})^2=N(\overrightarrow{x})^2+2\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle+N(\overrightarrow{y})^2\]
Démonstration
\begin{eqnarray*}
N(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})^2
&=&\left\langle \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y} \left|\vphantom{\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y} \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y} \right\rangle\\
&=&\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y} \right\rangle+\left\langle \overrightarrow{y} \left|\vphantom{\overrightarrow{y} \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y} \right\rangle\\
&=&\left\langle \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y} \left|\vphantom{\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y} \overrightarrow{x}}\right. \overrightarrow{x} \right\rangle+\left\langle \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y} \left|\vphantom{\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle\\
&=&\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{x}}\right. \overrightarrow{x} \right\rangle+\left\langle \overrightarrow{y} \left|\vphantom{\overrightarrow{y} \overrightarrow{x}}\right. \overrightarrow{x} \right\rangle+\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle+\left\langle \overrightarrow{y} \left|\vphantom{\overrightarrow{y} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle\\
&=&\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{x}}\right. \overrightarrow{x} \right\rangle+\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle+\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle+\left\langle \overrightarrow{y} \left|\vphantom{\overrightarrow{y} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle\\
&=&\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{x}}\right. \overrightarrow{x} \right\rangle+2\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle+\left\langle \overrightarrow{y} \left|\vphantom{\overrightarrow{y} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle\\
&=&N(\overrightarrow{x})^2+2\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle+N(\overrightarrow{y})^2
\end{eqnarray*}
Par exemple la norme euclidienne sur \( \R^2\) donne pour un vecteur \( \overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}
x_1\\x_2
\end{pmatrix}\) , \( \norm{\overrightarrow{x}}=\sqrt{x_1^2+x_2^2}\)
§
Qu'est-ce qu'un cercle ? Lorsque l'on pose cette question, le commun des mortels imagine une roue, ronde...
Considérons \( \R^2\) comme un espace euclidien avec sa norme usuelle.
Le cercle de centre \( (0,0)\) et de rayon \( 1\) , noté \( \mathcal{C}\) est l'ensemble des points, que nous associerons à leur vecteur, de norme \( 1\) . Les plus savant dirons que \( \mathcal{C}\) est l'ensemble des vecteurs \( \overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}
x_1\\x_2
\end{pmatrix}\) tel que \( x_1^2+x_2^2=1\) soit encore \( \sqrt{x_1^2+x_2^2}=1\) soit encore \( \norm{\overrightarrow{x}}=1\) .
En fait la
vraie définition d'un cercle centré en l'origine de rayon \( 1\) est effectivement \( \left\{\overrightarrow{x}\in\R^2\Big| \norm{\overrightarrow{x}}=1\right\}\) et cela dessine un joli rond... avec la norme classique.
Donnons une description littérale de cette définition de cercle : c'est l'ensemble des points à une distance de \( 1\) de l'origine.
Mais il existe d'autre distance, d'autre norme, comme par exemple la norme euclidienne associée au produit scalaire :
\[\forall \overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}
x_1\\x_2
\end{pmatrix}, \overrightarrow{y}=\begin{pmatrix}
y_1\\y_2
\end{pmatrix}, \ \left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle
=\dfrac{\left(|x_1+y_1|+|x_2+y_2|\right)^2-\left(|x_1|+|x_2|)\right)^2-\left(|y_1|+|y_2|\right)^2}{2}
\]
(exercice : vérifier qu'il s'agit bien d'un produit scalaire) dont on a \( \norm{\overrightarrow{x}}=|x_1|+|x_2|\) .
Avec cette manière de
mesurer les distances et en gardant notre définition qu'un cercle de rayon \( 1\) est l'ensemble des points de norme \( 1\) , on peut affirmer sans aucune erreur que la figure ci-contre est un cercle.
Exercice
Considérons le produit scalaire de Chebyshev :
\[\forall \overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}
x_1\\x_2
\end{pmatrix}, \overrightarrow{y}=\begin{pmatrix}
y_1\\y_2
\end{pmatrix}, \ \left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle
=\dfrac{max\left(|x_1+y_1|,|x_2+y_2|\right)^2-max\left(|x_1|,|x_2|)\right)^2-max\left(|y_1|,|y_2|\right)^2}{2}
\]
- Vérifier qu'il s'agit bien d'un produit scalaire.
- Donner l'expression de la norme associée.
- Dessiner, pour cette norme, le cercle de centre \( (0, 0)\) et de rayon \( 1\) .
Exercice
Soit \( \overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}
x_1\\\vdots\\x_n
\end{pmatrix}\) et \( \overrightarrow{y}=\begin{pmatrix}
y_1\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}\) deux vecteurs de l'espace vectoriel \( \R^n\) de dimension \( n\in \N_{{>}0}\) . Montrer que \( \left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle=\dpl{\sum_{i=1}^nx_iy_i}\) est un produit scalaire sur \( \R^n\) .
Définition
Considérons \( \R^n\) l'espace vectoriel sur \( \R\) de dimension \( n\in \N_{{>}0}\) . On appelle produit scalaire canonique l'application
\begin{eqnarray*}
\R^n\times \R^n & \longrightarrow& \R\\
(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y})&\longmapsto& \left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle={\vphantom{\overrightarrow{x}}}^{t}{\overrightarrow{x}}\overrightarrow{y}
\end{eqnarray*}
Sa norme associée est appelé la norme euclidienne canonique.
La norme euclidienne canonique mesure les distances au sens usuelle. Par exemple, la taille du vecteur \( \begin{pmatrix}
1\\1
\end{pmatrix}\) est \( \sqrt{2}\) .
Exercice
Considérons \( \norm{\bullet}\) la norme euclidienne canonique sur \( \R^2\) . Montrer que \( \norm{\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}}=\norm{\overrightarrow{x}}+\norm{\overrightarrow{y}}\) si et seulement si \( \overrightarrow{x}\) et \( \overrightarrow{y}\) sont colinéaire.
Théorème [Inégalité de Cauchy-Schwarz]
Soit \( \left\langle \bullet \left|\vphantom{\bullet \bullet}\right. \bullet \right\rangle\) un produit scalaire sur un espace vectoriel de dimension finie et \( \norm{\bullet}\) sa norme associée.
\[\forall\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}\in E, \ |\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle|\leqslant \norm{\overrightarrow{x}}\norm{\overrightarrow{y}}\]
Démonstration
POur tout \( t\in \R\) , l'expression \( \norm{\overrightarrow{x}+t\overrightarrow{y}}^2\) est un polynôme de degré \( 2\) en \( t\) . Précisément, on a
\[\norm{\overrightarrow{x}+t\overrightarrow{y}}^2=\norm{\overrightarrow{x}}^2+2t\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle+t^2\norm{\overrightarrow{y}}^2\]
Ce polynôme étant positif ou nul, son discriminant ne peut être strictement positif ainsi \( \left(2\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle\right)^2-4\norm{\overrightarrow{x}}^2\norm{\overrightarrow{y}}^2\leqslant0\) . Le passage à la racine et la simplification par \( 4\) permet de conclure.
Théorème [Inégalités de Minkowski]
Soit \( \norm{\bullet}\) une norme sur un espace vectoriel \( E\) de dimension finie.
\[\forall \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}\in E,\ \Big|\norm{x}-\norm{y}\Big|\leqslant\norm{\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}}\leqslant\norm{\overrightarrow{x}}+\norm{\overrightarrow{y}}\]
Démonstration
L'inégalité de droite est l'inégalité du triangle (axiome \( (N3)\) ). Pour l'inégalité de gauche on observe que \( \norm{\overrightarrow{x}}=\norm{\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}-\overrightarrow{y}}\leqslant\norm{\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}}+\norm{\overrightarrow{y}}\) en utilisant l'inégalité du triangle. Soit en réécrivant \( \norm{\overrightarrow{x}}-\norm{\overrightarrow{y}}\leqslant\norm{\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}}\) .
En changeant le rôle de \( \overrightarrow{x}\) et \( \overrightarrow{y}\) on conclut.
Proposition [Égalité du parallélogramme]
Soit \( \norm{\bullet}\) une norme sur un espace vectoriel \( E\) de dimension finie.
\[\forall \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}\in E,\ \norm{\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}}^2+\norm{\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}}^2=2\left(\norm{\overrightarrow{x}}^2+\norm{\overrightarrow{y}}^2\right)\]
Démonstration
D'après le précédent lemme on a \( \norm{\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}}^2=\norm{\overrightarrow{x}}^2+2\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle+\norm{\overrightarrow{y}}^2\) . En remplaçant \( \overrightarrow{y}\) par \( -\overrightarrow{y}\) on a également \( \norm{\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}}^2=\norm{\overrightarrow{x}}^2-2\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle+\norm{\overrightarrow{y}}^2\) . L'addition de ces deux égalités prouve l'égalité du parallélogramme.
Corollaire [Identité de polarisation]
Soit \( \norm{\bullet}\) une norme sur un espace vectoriel \( E\) de dimension finie.
\[\forall \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}\in E,\ \norm{\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}}^2-\norm{\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}}^2=4\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle\]
Démonstration
Exercice
