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Suites équivalentes

Définition

On dira qu'une suite $ u$ est non nul à partir d'un certain rang si \[\exists N,\ \forall n\geqslant N,\qquad u_n\neq0\]

Par exemple, la suite définie pour tout $ n\in \N$ par $ u_n=1+(-1)^n$ n'est pas non nul à partir d'un certain rang car pour tous les termes de rang impaire $ u_n=0$ . La suite $ u_n=\dfrac{1}{n}$ est non nul à partir d'un certain rang. Précisément à partir du rang $ N=1$ . Bien qu'elle converge vers $ 0$ aucun de ses termes n'est nul.

Définition

On dira que deux suites $ u$ et $ v$ toutes deux non nulles à partir d'une certain rang, sont équivalentes, noté $ u\sim v$ ou $ u_n\sim v_n$ si \[\lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=1\]

Voici l'exemple canonique.

Proposition

Soit $ P$ un polynôme non nul de degré $ p$ et de coefficient dominant $ a\neq 0$ . \[P(n)\sim an^p\]

Démonstration

Soit $ P(x)=\dpl{\sum_{i=0}^pa_ix^i}$ . Avec les notations de l'énoncé on a $ a_p=a$ nécessairement non nul par la définition du degré. Alors \begin{eqnarray*} \dfrac{P(n)}{an^p} &=&\dfrac{\dpl{\sum_{i=0}^pa_in^i}}{an^p}\\ &=&\sum_{i=0}^p\dfrac{a_in^i}{an^p}\\ &=&\sum_{i=0}^p\dfrac{a_i}{a}n^{i-p} \end{eqnarray*} Or pour $ i$ entre $ 0$ et $ p$ le nombre $ i-p\leqslant 0$ . Précisément strictement inférieur à $ 0$ si $ i\neq p$ de sorte que pour $ i\neq p$ , $ \lim{n\rightarrow+\infty}n^{i-p}=0$ et pour $ i=p$ , $ \lim{n\rightarrow+\infty}n^{i-p}=1$ . Ce qui prouve le résultat.

Ainsi on a par exemple $ -3n^2-2n+1\sim -3n^2$ .

Remarque

ATTENTION : si $ u\sim v$ cela ne signifie pas que $ \lim{n\rightarrow+\infty}u_n-v_n=0$ comme peut le montrer le contre exemple $ u_n=3n^2+n$ et $ v_n=3n^2$ .

Proposition [Relation d'équivalence]

Soient $ u$ , $ v$ et $ w$ des suites non nulle à partir d'un certain rang.

Symétrie :: $ u\sim v\Rightarrow v\sim u$ .
Transitif :: $ \Big((u\sim v)\et(v\sim w)\Big)\Rightarrow u\sim w$ .
Réflexif :: $ u\sim u$ .

Démonstration

Symétrie :: si $ u\sim v$ alors $ \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=1$ ce qui permet d'écrire que $ \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{\dfrac{u_n}{v_n}}=\dfrac{1}{1}=1$ soit encore $ \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{v_n}{u_n}=1$ ce qui traduit, par définition, que $ v\sim u$ .
Transitif :: si $ u\sim v$ alors $ \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=1$ et si $ v\sim w$ alors $ \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{v_n}{w_n}=1$ de sorte que $ \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{u_n}{w_n}=\lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{u_n}{v_n}\dfrac{v_n}{w_n}=1\times1=1$ ce qui traduit le fait que $ u\sim w$ .
Réflexif :: naturellement on a $ \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{u_n}{u_n}=1$ ce qui prouve que $ u\sim u$ .

Théorème

Soient $ u$ et $ v$ deux suites ne s'annulant pas à partir d'un certain rang tel que $ u\sim v$ .

$ (i)$ .: Si $ \lim{n\rightarrow+\infty}u_n=l\in \R$ alors $ \lim{n\rightarrow+\infty}v_n=l$ .
$ (ii)$ .: Si $ \lim{n\rightarrow+\infty}u_n=\pm\infty$ alors $ \lim{n\rightarrow+\infty}v_n=\pm\infty$ .

Démonstration

On écrit $ v_n=\dfrac{v_n}{u_n}u_n$ et on passe à la limite.

Lemme

Soit $ f$ une fonction définie et dérivable autour de $ 0$ tel que $ f(0)=0$ . Alors \[\lim{u\rightarrow0}\dfrac{f(u)}{u}=f'(0)\]

Démonstration

On reprend la définition de nombre dérivé : $ f'(a)=\lim{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ . On prouve le résultat en prenant $ a=0$ .

Théorème

Soit $ u$ une suite ne s'annulant pas à partir d'un certain rang tel que $ \lim{n\rightarrow+\infty}u_n=0$ et $ f$ une fonction définie et dérivable autour de $ 0$ tel que $ f(0)=0$ et $ f'(0)=1$ . Alors \[f(u_n)\sim u_n\]

Démonstration

On a $ \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{f(u_n)}{u_n}=\lim{u\rightarrow0}\dfrac{f(u)}{u}$ en posant le changement de variable $ u=u_n$ . D'après le lemme, cette limite vaut $ f'(0)$ qui d'après l'hypothèse de l'énoncé vaut $ 1$ et prouve donc que $ f(u_n)\sim u_n$

Corollaire [Formulaire]

Soit $ u$ une suite ne s'annulant pas à partir d'un certain rang tel que $ \lim{n\rightarrow+\infty} u_n=0$ .

$ \forall \alpha\in \R^*$ , $ (1+u_n)^\alpha-1\sim \alpha u_n$
$ \dfrac{1}{1-u_n}-1\sim u_n$
$ \dfrac{1}{1+u_n}-1\sim -u_n$
$ \sqrt{1+u_n}-1\sim \dfrac{1}{2} u_n$
$ e^{u_n}-1\sim u_n$
$ ln(1+u_n)\sim u_n$
$ sin(u_n)\sim u_n$
$ 1-cos(u_n)\sim \dfrac{u_n^2}{2}$
$ tan(u_n)\sim u_n$

Démonstration

On applique le théorème précédent avec les fonctions suivantes , dont on pourra vérifier dans chaque cas que $ f(0)=0$ et $ f'(0)=1$ :

$ f(x)=(1+x)^\alpha-1$ .
$ f(x)=\dfrac{1}{1-x}-1$ .
$ f(x)=\dfrac{1}{1+x}-1$ .
$ f(x)=\sqrt{1+x}-1$ .
$ f(x)=e^{x}-1$ .
$ f(x)=ln(1+x)$ .
$ f(x)=sin(x)$ .
On se sert de la limite connue $ \lim{x\rightarrow0}\dfrac{1-cos(x)}{x^2}=\dfrac{1}{2}$ .
$ f(x)=tan(x)$ .

On peut multiplier et diviser les équivalents.

Proposition

Soient $ a$ , $ b$ , $ c$ et $ d$ quatre suites ne s'annulant pas à partir d'un certain rang, $ \alpha\in \R$ .

$ (i)$ .

$ \left[(a\sim b)\et(c\sim d)\right]\Rightarrow (ac\sim bd)$

$ (ii)$ .

$ \left[(a\sim b)\et(c\sim d)\right]\Rightarrow \left(\dfrac{a}{c}\sim\dfrac{b}{d}\right)$

$ (iii)$ .

$ a\sim b\Rightarrow a^\alpha\sim ^\alpha$

Démonstration

$ (i)$ .: On observe que $ \dfrac{a_nc_n}{b_nd_n}=\dfrac{a_n}{b_n}\times\dfrac{c_n}{d_n}\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}1\times 1=1$ .
$ (ii)$ .: On a $ \dfrac{\frac{a_n}{c_n}}{\frac{b_n}{d_n}}=\dfrac{a_nd_n}{b_nc_n}=\dfrac{a_n}{b_n}\times\dfrac{1}{\frac{c_n}{d_n}}\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}1\times\dfrac{1}{1}=1$ .
$ (iii)$ .: On observe que $ \dfrac{a_n^\alpha}{b_n^\alpha}=\left(\dfrac{a_n}{b_n}\right)^\alpha\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}1^\alpha=1$

On peut également composer par des fonctions classiques (exponentielle et logarithme).

Proposition

Soient $ a$ , $ b$ , $ c$ et $ d$ quatre suites ne s'annulant pas à partir d'un certain rang et $ u$ et $ v$ deux suites.

$ (i)$

$ e^u\sim e^v\Leftrightarrow \lim{n\rightarrow+\infty}u_n-v_n=0$

$ (ii)$

$ \left(\left(\lim{n\rightarrow+\infty} a_n=0\right)\et(a\sim b)\right)\rightarrow (ln(|a|)\sim ln(|b|))$

$ (iii)$

$ \left(\left(\lim{n\rightarrow+\infty} a_n=+\infty\right)\et(a\sim b)\right)\rightarrow (ln(|a|)\sim ln(|b|))$

Démonstration

$ (i)$ .: Cela suit de l'observation que $ \dfrac{e^{u_n}}{e^{v_n}}=e^{u_n-v_n}$ .
$ (ii)$ .: On écrit $ \dfrac{ln(|a_n|)}{ln(|b_n|)}=\dfrac{ln(|b_n|)+ln\left(\Big|\dfrac{a_n}{b_n}\Big|\right)}{ln(|b_n|)}=1+\dfrac{ln\left(\Big|\dfrac{a_n}{b_n}\Big|\right)}{ln(|b_n|)}$ . Ce dernier membre tend vers $ 0$ puisque le numérateur tend vers $ ln(1)=0$ et le dénominateur vers $ ln(0)=-\infty$ (puisque $ a$ et $ b$ ont même limite donc $ 0$ ).
$ (iii)$ .: On raisonne comme précédemment avec $ A_n=\dfrac{1}{a_n}$ et $ B_n=\dfrac{1}{b_n}$ .

Théorème [Formule de Stirling]

\[n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n\]

Démonstration

Cela pourra s'obtenir lors en faisant l'exercice sur les intégrales de Wallis.