Sommations finies
Définition
Soit \( u\) une suite et \( a\leqslant b\) deux nombres entiers. On note
\[\sum_{i=a}^b u_i\]
la sommation de tous les termes la suite \( u\) .
Par exemple \( \dpl{\sum_{i=10}^{15}}2^i=2^{10}+2^{11}+2^{12}+2^{13}+2^{14}+2^{15}\) .
Remarque
La variable de sommation est dite muette : elle n'intervient pas dans le résultat de la sommation mais dans sa formulation. Ainsi
\( \dpl{\sum_{i=a}^b\alpha_i=\sum_{j=a}^b\alpha_j=\sum_{k=a}^b\alpha_k=\sum_{truc=a}^b\alpha_{truc}}\) .
Propriétés de la sommation
Proposition [Relation de Chasles]
Soit \( u\) une suite et \( a\leqslant c {<} b\) des nombres entiers.
\[\sum_{i=a}^b u_i=\sum_{i=a}^c u_i+\sum_{i=c+1}^b u_i\]
Démonstration
Trivial
Théorème [Linéarité]
Soient \( \alpha\) et \( \beta\) des suites de nombres réelles, \( a\leqslant b\) et \( \lambda\in \R\) .
- \( (i)\) - Commutativité.
- \( \dpl{\sum_{i=a}^b(\alpha_i+\beta_i)=\sum_{i=a}^b\alpha_i+\sum_{i=a}^b\beta_i}\) .
- \( (ii)\) - Distributivité.
- \( \dpl{\sum_{i=a}^b\lambda\alpha_i=\lambda\sum_{i=a}^b\alpha_i}\) .
Démonstration
Il s'agit d'un reformulation de la commutativité de l'addition (\( a+b=b+a\) ) et de la distributivité dans \( \R\) (\( \lambda(a+b)=\lambda a+\lambda b\) ).
Pour tout \( a\leqslant b\) , on note \( \intEFF{a}{b}\) l'intervalle des nombres entiers entre \( a\) et \( b\) . Comme pour les nombres réels on adoptera les notations de bornes incluses ou non (\( \intEFO{a}{b}\) , \( \intEOF{a}{b}\) et \( \intEOO{a}{b}\) )
Théorème [Changement de variable]
Soit \( \varphi:\intEFF{a}{b}\rightarrow \intEFF{c}{d}\) une bijection et \( \alpha\) une suite de nombres réelles.
\[\dpl{\sum_{i=c}^d\alpha_i}=\sum_{j=a}^b\alpha_{\varphi(j)}\]
Démonstration
Puisque \( \varphi\) est une bijection, l'ensemble \( \intEFF{a}{b}=\{a, a+1, \ldots, b-1, b\}\) est transformé en \( \{\varphi(a), \ldots, \varphi(b)\}\) qui correspond, quitte à changer l'ordre des élément, à l'ensemble \( \{c,c+1, \ldots, d \}\)
\begin{eqnarray*}
\sum_{i=a}^b\alpha_{\varphi(j)}&=&
\alpha_{\varphi(a)}+\cdots+\alpha_{\varphi(b)}\\
&=&\alpha_{c}+\cdots+\alpha_{d}\\
&=&\sum_{i=c}^d \alpha_i
\end{eqnarray*}
Sommations classiques
Proposition
- Somme de Gauss.
- Soit \( n\in \N\) ,
\[\sum_{k=0}^nk=\dfrac{n(n+1)}{2}\]
- Somme quadratique de Gauss.
- Soit \( n\in \N\) ,
\[\sum_{k=0}^nk^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]
- Somme des termes d'une suite géométrique.
- Soient \( q\in \R-\{1\}\) et \( n\in \N\) , \[\sum_{k=0}^nq^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\]
- Binôme de Newton.
- Soient \( a\) et \( b\) des nombres réels et \( n\in \N\) .
\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^kb^{n-k}\]
où \( C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\) est le coefficient binomial.
Démonstration
Exercice.