\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Séries

Le problème de l'escargot de Gardner

Léo l'escargot avance à un mètre par heure et souhaite atteindre l'extrémité d'une corde qui fait 100 mètres. Si rien ne s'opposait à lui, il lui faudrait donc 100 heures pour atteindre le bout de la corde (soit à peu près 4 jours). Mais ce qu'ignore Léo l'escargot c'est qu'au début de chaque heure un géant va venir tirer sur la corde qui s'apparente à un élastique (infiniment élastique). A chaque fois la corde sera étendu de 100 mètres de manière homogène. Le mot "homogène" signifie que non seulement la distance à parcourir par Léo augmentera mais aussi la distance parcouru. Seul le pourcentage de progression restera le même. Détaillons les premières heures de l'avancée de Léo.
Heure 0 :
Léo est au bout de la corde.
  • Distance parcouru : 0m.
  • Distance à parcourir : 100m

Heure 1 :
Léo à parcouru 1 mètre soit $ 1/100=1\%$ de la distance total. Le géant tire sur la corde et rajoute donc 100 mètres à sa longueur. La longueur total de la corde est donc de 200 mètres mais la distance parcouru par Léo est toujours de $ 1\%$ de la distance total. Il a donc $ 1\%\times 200 = 2$ mètres de corde derrière lui.
  • Distance parcouru : 2m.
  • Distance à parcourir : 198m

Heure 2 :
Léo parcours 1 mètre supplémentaire donc un total de 3 mètres soit $ 3/200=1.5\%$ de la longueur de la corde. Le géant tire sur la corde qui fait maintenant 300 mètres mais la proportion de distance parcouru par l'escargot reste de $ 1.5\%$ soit $ 1.5\%\times 300 = 4,50$ mètres.
  • Distance parcouru : 4.50m.
  • Distance à parcourir : 295.50m
\colorred Question : Léo l'escargot atteindra-t-il le bout de la corde ?
Notons $ u$ la suite indexée par $ \N$ représentant la proportion de l'élastique parcouru par Léo ; les indices représentant les heures. D'après l'énoncé $ u_0=0$ , $ u_1=\dfrac{1}{100}$ et $ u_2=\dfrac{1,5}{100}$ . Si l'on reprend le raisonnement, au bout de deux heures, Léo a parcouru déjà les $ 1\%$ de la première heures et encore $ 1$ mètre mais des $ 200$ mètres que fait l'élastique. Sa proportion est donc $ \dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{200}=\dfrac{1}{100}\left(1+\dfrac{1}{2}\right)$ . Même lorsque le géant va tirer sur l'élastique cette proportion sera la même. Il est aisé d'observer qu'au bout de $ n$ heures (pour $ n{>}0$ ) la proportion d'élastique parcouru est $$\dfrac{1}{100}\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}$$ La question revient donc à savoir si cette somme arrivera à $ 1$ ou plutôt si $ \dpl{\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}{>}100}$ .

Proposition


Soit $ S_n=\dpl{\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}}$ alors $ \lim{n\rightarrow +\infty}S_n=+\infty$

Démonstration

On rappel que la valeur $ ln(a)$ est définie comme étant l'aire comprise entre l'axe des abscisses, la fonction inverse et les droites d'équation $ x=1$ et $ x=a$ , de sorte que $ ln(k+1)-ln(k)$ représente l'aire comprise entre l'axe des abscisses, la fonction inverse et les droites d'équation $ x=k$ et $ x=k+1$ . Or cette aire est majorée par le rectangle de coté $ 1$ et $ \dfrac{1}{k+1}$ . \begin{eqnarray*} ln(k+1)-ln(k)\leqslant \dfrac{1}{k+1} &\Leftrightarrow& \sum_{k=1}^n ln(k+1)-ln(k)\leqslant \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k+1}\\ &\Leftrightarrow& ln(n+1)\leqslant \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k+1}\\ &\Leftrightarrow& ln(n+1)\leqslant \sum_{k'=2}^{n+1}\dfrac{1}{k'}\qquad\text{en posant }k'=k+1\\ &\Leftrightarrow& ln(n+1)\leqslant S_{n+1}-1\\ &\Leftrightarrow& ln(n+1)+1\leqslant S_{n+1} \end{eqnarray*} En réindexant on a donc $ S_n\geqslant ln(n)+1$ , ce qui prouve le résultat en passant à la limite.
Puisque la limite de $ S_n$ est infini et croissante (somme de terme positif), il existe un $ N$ tel que $ S_N{>}100$ . Donc Léo atteindra bien le bout de l'élastique. Mais en combien de temps ? Puisqu'il y a des logarithme dans l'encadrement, il y aura des exponentielle dans la réponse... quelque part entre $ e^99$ et $ e^100$ ce qui est de l'ordre de $ 10^{42}$ ... pauvre escargot. Ce nombre d'heure, en année est environ $ 10^{38}$ c'est dire $ 100$ milliard de milliard de milliard de milliard d'années. Donnons un cadre de telle sommes infinis

Définition


Soit $ u$ une suite indexée par $ \N$ .
$ (i)$ .
On appel somme partielle de $ u$ la suite $ \dpl{\sum_{n=0}^Nu_n}$ .

$ (ii)$ .
On appel série de terme générale $ u_n$ et notée $$\sum_{n=0}^{\infty}u_n\qquad\qquad\text{ou lorsqu'il n'y a pas d'ambïguité sur les indices}\qquad \sum u_n$$ la limite, si elle existe, de la suite des sommes partielles.
Pour le confort de la définition, on a considéré les suites indexées par $ \N$ , il peut en fait s'agir de n'importe quelle sous-ensemble de $ \N$ de cardinalité infinie. Ainsi on peut noter $ \dpl{\sum\dfrac{1}{n}=+\infty}$ . Les sommes partielles de cette série sont très difficiles a expliciter. De manière générale, pour une série quelconque on ne sait pas expliciter les sommes partielles. Pire : il est assez rare de connaitre la valeur exacte d'une série (rare signifie qu'en prenant une série au hasard parmi l'ensemble des séries, la probabilité de connaitre sa valeur exacte est nulle). Mais ce n'est pas toujours nécessaire de connaitre cette valeur, l'ordinateur le fera pour nous. Sauf si la série diverge (c'est à dire que la suite de ses sommes partielles diverge). Dans ce cas l'ordinateur risque de boucler à l'infini. Nous avons donc uniquement besoin (pour aider l'ordinateur) de savoir si la série admet une valeur.

Suites équivalentes

Proposition [Critère grossier]


Soit $ u$ une suite tel que $ \lim{n\rightarrow+\infty}u_n=l\neq0$ alors $ \sum u_n$ ne converge pas.

Démonstration

Supposons que $ l{>}0$ alors puisque $ u$ tend vers $ l$ , $ u_n\geqslant\dfrac{l}{2}$ pour $ n$ suffisamment grand, mettons pour tout $ n\geqslant N$ . Dans ce cas $ \dpl{\sum_{n=N}^\infty u_n\geqslant \sum_{n=N}^\infty \dfrac{l}{2}=+\infty\dfrac{l}{2}=+\infty}$ . On raisonne de la même manière (mais en majorant au lieu de minorer) lorsque $ l{<}0$ .
Il est donc nécessaire que le terme générale de la série tende vers $ 0$ . Mais il faut aussi qu'il soit non nul (sinon ça n'a aucun intérêt).

Définition


On dira qu'une suite $ u$ est non nul à partir d'un certain rang si $$\exists N,\ \forall n\geqslant N,\qquad u_n\neq0$$
Par exemple, la suite définie pour tout $ n\in \N$ par $ u_n=1+(-1)^n$ n'est pas non nul à partir d'un certain rang car pour tous les termes de rang impaire $ u_n=0$ . La suite $ u_n=\dfrac{1}{n}$ est non nul à partir d'un certain rang. Précisément à partir du rang $ N=1$ . Bien qu'elle converge vers $ 0$ aucun de ses termes n'est nulle.

Définition


On dira que deux suites $ u$ et $ v$ toutes deux non nulle à partir d'une certain rang, sont équivalentes, noté $ u\sim v$ ou $ u_n\sim v_n$ si $$\lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=1$$
Voici l'exemple canonique.

Proposition


Soit $ P$ un polynôme non nul de degré $ p$ et de coefficient dominant $ a\neq 0$ . $$P(n)\sim an^p$$

Démonstration

Soit $ P(x)=\dpl{\sum_{i=0}^pa_ix^i}$ . Avec les notations de l'énoncé on a $ a_p=a$ nécessairement non nul par la définition du degré. Alors \begin{eqnarray*} \dfrac{P(n)}{an^p} &=&\dfrac{\dpl{\sum_{i=0}^pa_in^i}}{an^p}\\ &=&\sum_{i=0}^p\dfrac{a_in^i}{an^p}\\ &=&\sum_{i=0}^p\dfrac{a_i}{a}n^{i-p} \end{eqnarray*} Or pour $ i$ entre $ 0$ et $ p$ le nombre $ i-p\leqslant 0$ . Précisément strictement inférieur à $ 0$ si $ i\neq p$ de sorte que pour $ i\neq p$ , $ \lim{n\rightarrow+\infty}n^{i-p}=0$ et pour $ i=p$ , $ \lim{n\rightarrow+\infty}n^{i-p}=1$ . Ce qui prouve le résultat.
Ainsi on a par exemple $ -3n^2-2n+1\sim -3n^2$ . Attention ce pendant si $ u\sim v$ cela ne signifie pas que $ \lim{n\rightarrow+\infty}u_n-v_n=0$ comme peut le montrer le contre exemple $ u_n=\dfrac{1}{n}$ et $ v_n=\dfrac{2}{n}$ .

Proposition [Relation d'équivalence]


Soient $ u$ , $ v$ et $ w$ des suites non nulle à partir d'un certain rang.
Symétrie :
$ u\sim v\Rightarrow v\sim u$ .

Transitif :
$ \Big((u\sim v)\et(v\sim w)\Big)\Rightarrow u\sim w$ .

Réflexif :
$ u\sim u$ .

Démonstration

Symétrie :
si $ u\sim v$ alors $ \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=1$ ce qui permet d'écrire que $ \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{\dfrac{u_n}{v_n}}=\dfrac{1}{1}=1$ soit encore $ \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{v_n}{u_n}=1$ ce qui traduit, par définition, que $ v\sim u$ .

Transitif :
si $ u\sim v$ alors $ \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=1$ et si $ v\sim w$ alors $ \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{v_n}{w_n}=1$ de sorte que $ \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{u_n}{w_n}=\lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{u_n}{v_n}\dfrac{v_n}{w_n}=1\times1=1$ ce qui traduit le fait que $ u\sim w$ .

Réflexif :
naturellement on a $ \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{u_n}{u_n}=1$ ce qui prouve que $ u\sim u$ .

Théorème


Soient $ u$ et $ v$ deux suites ne s'annulant pas à partir d'un certain rang tel que $ u\sim v$ .
$ (i)$ .
Si $ \lim{n\rightarrow+\infty}u_n=l\in \R$ alors $ \lim{n\rightarrow+\infty}v_n=l$ .

$ (ii)$ .
Si $ \lim{n\rightarrow+\infty}u_n=\pm\infty$ alors $ \lim{n\rightarrow+\infty}v_n=\pm\infty$ .

Démonstration

On écrit $ v_n=\dfrac{v_n}{u_n}u_n$ et on passe à la limite.

Lemme


Soit $ f$ une fonction définie et dérivable autour de $ 0$ tel que $ f(0)=0$ . Alors $$\lim{u\rightarrow0}\dfrac{f(u)}{u}=f'(0)$$

Démonstration

On reprend la définition de nombre dérivé : $ f'(a)=\lim{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ . On prouve le résultat en prenant $ a=0$ .

Théorème


Soit $ u$ une suite ne s'annulant pas à partir d'un certain rang tel que $ \lim{n\rightarrow+\infty}u_n=0$ et $ f$ une fonction définie et dérivable autour de $ 0$ tel que $ f(0)=0$ et $ f'(1)=1$ . Alors $$f(u_n)\sim u_n$$

Démonstration

On a $ \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{f(u_n)}{u_n}=\lim{u\rightarrow0}\dfrac{f(u)}{u}$ en posant le changement de variable $ u=u_n$ . D'après le lemme, cette limite vaut $ f'(0)$ qui d'après l'hypothèse de l'énoncé vaut $ 1$ et prouve donc que $ f(u_n)\sim u_n$

Corollaire [Formulaire]


Soit $ u$ une suite ne s'annulant pas à partir d'un certain rang tel que $ \lim{n\rightarrow+\infty} u_n=0$ .
  1. $ \forall \alpha\in \R^*$ , $ (1+u_n)^\alpha-1\sim u_n$
  2. $ \dfrac{1}{1-u_n}-1\sim u_n$
  3. $ \dfrac{1}{1+u_n}-1\sim -u_n$
  4. $ \sqrt{1+u_n}-1\sim u_n$
  5. $ e^{u_n}-1\sim u_n$
  6. $ ln(1+u_n)\sim u_n$
  7. $ sin(u_n)\sim u_n$
  8. $ 1-cos(u_n)\sim \dfrac{u_n^2}{2}$
  9. $ tan(u_n)\sim u_n$

Démonstration

On applique le théorème précédent avec les fonctions suivantes , dont on pourra vérifier dans chaque cas que $ f(0)=0$ et $ f'(0)=1$ :
  1. $ f(x)=(1+x)^\alpha-1$ .
  2. $ f(x)=\dfrac{1}{1-x}-1$ .
  3. $ f(x)=\dfrac{1}{1+x}-1$ .
  4. $ f(x)=\sqrt{1+x}-1$ .
  5. $ f(x)=e^{x}-1$ .
  6. $ f(x)=ln(1+x)$ .
  7. $ f(x)=sin(x)$ .
  8. On se sert de la limite connu $ \lim{x\rightarrow0}\dfrac{1-cos(x)}{x^2}=\dfrac{1}{2}$ .
  9. $ f(x)=tan(x)$ .

Proposition


Soient $ a$ , $ b$ , $ c$ et $ d$ quatre suites ne s'annulant pas à partir d'un certain rang, $ \alpha\in \R$ et $ u$ et $ v$ deux suites

    $ (i)$ .
    $ \left[(a\sim b)\et(c\sim d)\right]\Rightarrow (ac\sim bd)$

    $ (ii)$ .
    $ \left[(a\sim b)\et(c\sim d)\right]\Rightarrow \left(\dfrac{a}{c}\sim\dfrac{b}{d}\right)$

    $ (iii)$ .
    $ u\sim v\Rightarrow u^\alpha\sim v^\alpha$

    $ (iv)$
    $ e^u\sim e^v\Leftrightarrow \lim{n\rightarrow+\infty}u_n-v_n=0$

    $ (v)$
    $ \left(\left(\lim{n\rightarrow+\infty} a_n=0\right)\et(a\sim b)\right)\rightarrow (ln(|a|)\sim ln(|b|))$

    $ (vi)$
    $ \left(\left(\lim{n\rightarrow+\infty} a_n=+\infty\right)\et(a\sim b)\right)\rightarrow (ln(|a|)\sim ln(|b|))$

Démonstration

$ (i)$ .
On observe que $ \dfrac{a_nc_n}{b_nd_n}=\dfrac{a_n}{b_n}\times\dfrac{c_n}{d_n}\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}1\times 1=1$ .

$ (ii)$ .
On a $ \dfrac{\frac{a_n}{c_n}}{\frac{b_n}{d_n}}=\dfrac{a_nd_n}{b_nc_n}=\dfrac{a_n}{b_n}\times\dfrac{a}{\frac{c_n}{d_n}}\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}1\times\dfrac{1}{1}=1$ .

$ (iii)$ .
On observe que $ \dfrac{u_n^\alpha}{v_n^\alpha}=\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)^\alpha\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}1^\alpha=1$

$ (iv)$ .
Cela suit de l'observation que $ \dfrac{e^{u_n}}{e^{v_n}}=e^{u_n-v_n}$ .

$ (v)$ .
On écrit $ \dfrac{ln(|a_n|)}{ln(|b_n|)}=\dfrac{ln(|a_n|)+ln\left(\Big|\dfrac{b_n}{a_n}\Big|\right)}{ln(|b_n|)}=1+\dfrac{ln\left(\Big|\dfrac{b_n}{a_n}\Big|\right)}{ln(|b_n|)}$ . Ce dernier membre tend vers $ 0$ puisque le numérateur tend vers $ ln(1)=0$ et le dénominateur vers $ ln(0)=-\infty$ (puisque $ a$ et $ b$ ont même limite donc $ 0$ ).

$ (vi)$ .
On raisonne comme précédemment avec $ A_n=\dfrac{1}{a_n}$ et $ B_n=\dfrac{1}{b_n}$ .

Théorème [Formule de Stirling]


$$n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

Démonstration

Cela pourra s'obtenir lors en faisant l'exercice sur les intégrales de Wallis.
Retour aux séries.

Théorème


Soient $ u$ et $ v$ deux suites non nulle à partir d'un certain rang tendant vers $ 0$ . Si $ u\sim v$ alors $ \sum u$ et $ \sum v$ sont de même nature.

Démonstration

Puisque l'équivalence est symétrique, il suffit de démontrer les deux points suivants.
Si $ \sum u$ est divergente alors $ \sum v$ est divergente.
Pour simplifier la preuve, supposons que $ \sum u=+\infty$ . Puisque $ u\sim v$ alors à partir d'un certain rang $ N$ , $ \dfrac{v_n}{u_n}\geqslant \dfrac{1}{2}$ . Alors $$\sum_{n=N}^\infty v_n=\sum_{n=N}^\infty u_n\dfrac{v_n}{u_n}\geqslant \sum_{n=N}^\infty u_n\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\sum_{n=N}^\infty u_n=+\infty$$ On raisonne de même (en majorant) si $ \sum u=-\infty$ .

Si $ \sum u$ est convergente alors $ \sum v$ est convergente.
Le raisonnement contraposé de ce résultat est similaire au précédent.
Par exemple $ \dpl{\sum_{n=1}^\infty ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=+\infty}$ car $ ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\sim\dfrac{1}{n}$ et $ \dpl{\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n}=+\infty}$ .

Critères

Théorème [Critère de Riemann]


Soit $ \alpha\in \R$ . $$\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^\alpha}= \left\{ \begin{array}{rl} \text{convergente,}&\text{si } \alpha{>}1\\ \text{divergente,}&\text{si } \alpha\leqslant 1\\ \end{array} \right.$$

Théorème [Critère de d'Alembert]


Soit $ u$ une suite positive tel que $ \lim{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{u_n}=l$ . $$\sum_{n=0}^\infty u_n= \left\{ \begin{array}{rl} \text{convergente,}&\text{si } l{<}1\\ \text{divergente,}&\text{si } l{>}1\\ \end{array} \right.$$

Théorème [Critère de Cauchy]


Soit $ u$ une suite non nul à partir d'un certain range tel que $ \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=l$ . $$\sum_{n=0}^\infty u_n= \left\{ \begin{array}{rl} \text{convergente,}&\text{si } l{<}1\\ \text{divergente,}&\text{si } l{>}1\\ \end{array} \right.$$