Intégrales
Définition
Définition
Soit \( f\) une fonction définie sur un intervalle \( [a ; b]\) . L'aire comprise entre les droites \( x=a\) , \( x=b\) l'axe des abscisses (\( y=0\) ) et la courbe représentative de \( f\) est appelée l'intégrale de \( f\) entre \( a\) et \( b\) . On note cette aire
\[\int_a^bf(x)\ dx\]
L'histoire de cette définition est multiple et trouve divers applications dans le monde de la mécanique. Nous présenterons ici un problème mathématico-mathématiques : on veut
juste calculer une aire sous une courbe.
En dessin cela donne :
Il est important de noter que l'on considère des aires algébriques. Lorsque l'aire cherchée est au dessus de l'axe des abscisses elle sera comptée positivement et négativement en dessous.
Voila une bien belle définition avec une notation bien mystérieuse, mais dans la pratique, comment est-ce que l'on procède au calcul ?
Prenons par exemple une droite d'équation \( f(x)=x+2\) et déterminons l'intégrale de \( f\) entre \( -3\) et \( 0\) .
Un rapide dessin nous montre que cette aire est la somme de deux morceaux : l'aire du triangle \( ABC\) et l'aire du triangle \( COD\) .
En fait il ne s'agit tout à fait d'une somme comme nous l'avons signalé plus haut mais plutôt d'une somme algébrique (
ie qui peut changer de signe suivant le signe de \( f\) ).
Le triangle étant un objet très simple de la géométrie, calculer son aire ne souffre d'aucune difficulté. L'aire du triangle \( ABC\) vaut \( 1\) et celle du triangle \( COD\) vaut \( 4\) .
En conclusion l'aire cherchée vaut \( 3\) .
Très bien l'intégrale d'une droite c'est facile ! Il ne s'agit que d'aire de triangle... mais comment faire pour les polynômes de degrés \( 2\) , \( 3\) un logarithme ou une exponentielle ?
Pour calculer cette aire sous la courbe, nous allons l'approcher par des objets de la géométrie beaucoup plus simple comme des triangles voir encore plus simple des rectangles.
L'un des premiers instigateur de cette approche est Bernhard Riemann d'où le nom de cette approche : les sommes des Riemann.
Les Sommes de Riemann
Approchons l'intégrale par des sommes de rectangle.
Découpage en \( 1\) rectangle.
On a approché \( \dpl{\int_a^b f(x)\ dx}\) par l'aire d'un rectangle d'où \[\int_a^b f(x)\ dx\simeq (b-a)\times f(a)\]
Dans cette approche, on observe que l'erreur, la partie manquante à la vrai valeur de l'intégrale, est très grande. Le principe des sommes de Riemann est diviser l'intervalle en bien plus de rectangle pour minimiser l'erreur.
Découpage en \( 5\) rectangles
Dans cette approche on a diviser l'intervalle en 5 morceaux d'égale longueur \( \dfrac{b-a}{5}\) . Notons \( x_i=a+i\dfrac{b-a}{5}\) de sorte que \( x_0=a\) et \( x_5=b\) . Alors les rectangles ont pour aire \( \dfrac{b-a}{5}f(x_i)\) de sorte que la somme des aires de ces rectangles approche bien mieux l'intégrale.
\[\int_a^bf(x)\ dx\simeq \sum_{i=0}^4\dfrac{b-a}{5}f(x_i)\]
Plus on va diviser l'intervalle \( [a ; b]\) en morceau petit, plus on approchera l'aire sans erreur. En mathématiques,
approcher c'est passer à la limite.
Découpage en \( 10\) rectangles
Découpage en \( 25\) rectangles
Théorème
Soit \( f\) une fonction définie et continue sur \( [a ; b]\) ,
\[\lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1}f\left(a+i\times \dfrac{b-a}{n}\right)=\int_a^bf(x)\ dx\]
L'hypothèse de continuité est un peu forte, dans la pratique il suffit de que la fonction soit
presque continue ; c'est à dire continue sur l'intervalle \( [a; b]\) sauf en certain point de cet intervalle. On retiendra que si la fonction n'est pas continue, nous pouvons tout de même définir l'intégrale.
Traitons par exemple \( \dpl{\int_0^1 exp(x)\ dx}\) .
\begin{eqnarray*}
\int_0^1 exp(x)\ dx
&=& \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}exp\left(\dfrac{i}{n}\right) \\
&=& \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n}\left(exp\left(\dfrac{0}{n}\right)+exp\left(\dfrac{1}{n}\right)+exp\left(\dfrac{2}{n}\right)+\cdots+exp\left(\dfrac{n-1}{n}\right)\right)\\
&=& \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n}\left(
\dfrac{1-exp\left(\dfrac{1}{n}\right)^n}{1-exp\left(\dfrac{1}{n}\right)}
\right)\qquad\text{Somme des termes d'une suite géométrique}\\
&=& \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n}\left(
\dfrac{1-exp(1)}{1-exp\left(\dfrac{1}{n}\right)}
\right)\\
&=& \lim{x\rightarrow 0}x\left(
\dfrac{1-exp(1)}{1-exp(x)}
\right)\qquad \text{En posant }x=\dfrac{1}{n}\\
&=& \lim{x\rightarrow 0}
\dfrac{1-exp(1)}{-\underbrace{\dfrac{exp(x)-1}{x}}_{\rightarrow 1}}\\
&=& e-1
\end{eqnarray*}
Dans la pratique on ne procède JAMAIS comme ça !
C'est bien trop laborieux ! Utilisation de suite, changement de variables...
Commençons par explorer, à partir de la définition et des sommes de Riemann, les premières propriétés de l'intégrale.
Proposition
- Relation de Chasles
\[\int_a^b f(x)\ dx=\int_a^c f(x)\ dx+\int_c^b f(x)\ dx\]
- Linéarité (I)
\[\int_a^b f(x)+g(x)\ dx=\int_a^b f(x)\ dx+\int_a^b g(x)\ dx\]
- Linéarité (II)
\[\int_a^b \lambda f(x)\ dx=\lambda\int_a^b f(x)\ dx\]
- Positivité : si \( f\) est positive sur \( [a ; b]\) alors il en va de même pour \( \dpl{\int_a^b f(x)\ dx}\) .
- Inégalité
\[\left|\int_a^b f(x)\ dx\right|\leqslant\int_a^b |f(x)|\ dx\]
Démonstration
Ces propriétés découlent naturellement de la définition et des sommes de Riemann.
En particulier puisque \( \dpl{\int_a^a}f(x)\ dx=0\) (il n'y pas d'aire) alors la relation de Chasles donne \[\int_a^b f(x)\ dx=-\int_b^a f(x)\ dx\]
Toutes ces belles propriétés sont forts sympathique mais dans la pratique comment calculer une intégrale ?
Primitive
Définition
Soient \( f\) une fonction continue et \( F\) une fonction dérivable sur un intervalle \( [a ; b]\) . On dira que \( F\) est une primitive de la fonction \( f\) si \( F'=f\) .
Par exemple si \( f(x)=2x\) et \( F(x)=x^2\) alors \( F\) est une primitive de \( f\) . Si \( G(x)=x^2+1\) alors \( G'=f\) et \( G\) est une primitive de \( f\) . Il existe une infinité de primitive qui sont toutes les même à une constante près.
Théorème
Soient \( f\) une fonction continue sur \( [a; b]\) et \( F\) une primitive de \( f\) alors
\[\int_a^b f(x)\ dx=F(b)-F(a)\]
Démonstration
Notons \( G(t)=\dpl{\int_a^tf(x)\ dx}\) . Nous allons montrer que \( G'(t)=f(t)\) ce qui prouvera que \( G\) est une primitive de \( f\) et donc que \( G(t)=F(t)+k\) pour un certain réel \( k\) . Ainsi nous aurons
\[F(b)-F(a)=(F(b)+k)-(F(a)+k)=G(b)-G(a)=\int_a^bf(x)\ dx-\int_a^af(x)\ dx=\int_a^bf(x)\ dx\]
Rappelons que, par définition, \( G'(c)=\lim{t\rightarrow c}\dfrac{G(t)-G(c)}{t-c}\) . Or la relation de Chasles permet d'écrire
\[G(t)-G(c)=\int_a^tf(x)\ dx-\int_a^cf(x)\ dx=\int_c^tf(x)\ dx\]
Il existe d'après le théorème des valeurs intermédiaire des nombres \( m_t\) et \( M_t\) entre les nombres \( c\) et \( t\) tel que \( m_t\leqslant f(x) \leqslant M_t\) .
\begin{eqnarray*}
m_t\leqslant f(x) \leqslant M_t \quad &\Longrightarrow& \quad
\int_c^t m_t\ dx\leqslant\int_c^t f(x)\ dx \leqslant\int_c^t M_t\ dx \qquad\text{par la positivité de l'intégrale}\\
&\Longrightarrow& \quad
(t-c)m_t\leqslant\int_c^t f(x)\ dx \leqslant(t-c)M_t \qquad\text{aire d'un rectangle}\\
&\Longrightarrow& \quad
(t-c)m_t\leqslant G(t)-G(c)\leqslant(t-c)M_t \\
&\Longrightarrow& \quad
m_t\leqslant \dfrac{G(t)-G(c)}{t-c}\leqslant M_t\\
\end{eqnarray*}
Lorsque \( t\) va tendre vers \( c\) les nombres \( m_t\) et \( M_t\) vont se rapprocher de \( f(c)\) . Ainsi à la limite on aura bien \( f(c)=\lim{t\rightarrow c}\dfrac{G(t)-G(c)}{t-c}\) .
Ainsi dans la pratique lorsque l'on souhaite déterminer la valeur exacte d'une intégrale, on recherche une primitive. On observe que \( F(x)=x^3+x\) est une primitive de \( f(x)=3x^2+1\) de sorte
\( \dpl{\int_0^1 3x^2+1\ dx}=(1^3+1)-(0^3+0)=2\) .
En se sevrant des dérivés on détermine les correspondances suivantes.
Proposition
On désigne par \( F\) la primitive de \( f\) .
\[
\begin{array}{c||c}
f&F\\\hline\hline
x^n \ (n\neq-1) & \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\\
\dfrac{1}{x} \ (n=-1) & ln(x)\\
\dfrac{1}{\sqrt{x}} \ (n=-\frac{1}{2}) & 2\sqrt{x}\\
e^x & e^x\\
cos(x)&sin(x)\\
sin(x)&-cos(x)
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{c||c}
f&F\\\hline\hline
u^n{\color{red}{\times u'}} \ (n\neq-1) & \dfrac{u^{n+1}}{n+1}\\
\dfrac{1}{u}{\color{red}{\times u'}} \ (n=-1) & ln(u)\\
\dfrac{1}{\sqrt{u}}{\color{red}{\times u'}} \ (n=-\frac{1}{2}) & 2\sqrt{u}\\
e^u {\color{red}{\times u'}}& e^u\\
cos(u){\color{red}{\times u'}}&sin(u)\\
sin(u){\color{red}{\times u'}}&-cos(u)
\end{array}
\]
Par exemple une primitive de \( e^{3x}\) est \( \dfrac{1}{3}e^{3x}\) .
Exemple
Nous cherchons à déterminer l'aire entre la courbe représentative de la fonction \[f(x)=\left(1-\dfrac{1}{x}\right)(ln(x)-2)+2\] la courbe représentative la fonction \( ln\) et les droites \( x=1\) et \( x=e^2\) . Cela correspond à la zone verte sur le dessin.
Par définition il s'agit du calcul de \[I=\int_1^{e^2}f(x)-ln(x)\ dx\]
Or
\begin{eqnarray*}
f(x)-ln(x)&=&\left(1-\dfrac{1}{x}\right)(ln(x)-2)+2-ln(x)\\
&=&ln(x)-\dfrac{ln(x)}{x}-2+\dfrac{2}{x}+2-ln(x)\\
&=&-\dfrac{ln(x)}{x}+\dfrac{2}{x}\\
&=&\dfrac{2-ln(x)}{x}
\end{eqnarray*}
D'où
\begin{eqnarray*}
I&=&\int_1^{e^2}\dfrac{2-ln(x)}{x}\ dx\\
&=&\int_1^{e^2}\dfrac{2}{x}\ dx-\int_1^{e^2}\dfrac{ln(x)}{x}\ dx\\
&=&\left[2ln(x)\right]_1^{e^2}-\left[\dfrac{1}{2}(ln(x))^2\right]_1^{e^2}\\
&=&\left(2ln(e^2)-2ln(1)\right)-\left(\dfrac{1}{2}(ln(e^2))^2-\dfrac{1}{2}(ln(1))^2\right)\\
&=&\left(2\times 2-2\times 0\right)-\left(\dfrac{1}{2}(2)^2-\dfrac{1}{2}(0)^2\right)\\
&=&4-\dfrac{1}{2}4\\
&=&2
\end{eqnarray*}
Intégration par partie
Théorème
Soient \( u\) et \( v\) deux fonctions intégrables sur un intervalle \( [a, b]\) .
\[\int_a^bu'(x)v(x)\ dx=\left[u(x)v(x)\right]_a^b-\int_a^bu(x)v'(x)\ dx\]
Démonstration
C'est une conséquence de la formule de dérivation d'un produit : \( (uv)'=u'v+v'u\) .
Calculons par exemple l'intégrale \( \dpl{\int_0^1 xe^x\ dx}\) . On applique la formule d'intégration par partie en posant \( u' = e^x\) de sorte que \( u=e^x\) et \( v=x\) de sorte que \( v'=1\) . On a alors :
\begin{eqnarray*}
\int_0^1 xe^x\ dx
&=& \left[xe^x\right]_0^1-\int_0^1 e^x\ dx\\
&=& \left(0e^0-1e^1\right)-\left[e^x\right]_0^1\\
&=& e-\left(e^0-e^1\right)\\
&=& 2e-1
\end{eqnarray*}
