Dérivés

A quoi ça sert les math ?

Cette question est tout à fait légitime et trouve de nombreuses réponses qui dépendent du champ des mathématiques dont on parle, de la personne qui pose la question ou de la personne qui répond. Une des réponses les plus élégante serait de commencer à dire que les mathématiques, avant d'être une science à part, étaient considérées comme un outil pour les autres sciences. Nombreux scientifiques de l'époque étaient physiciens ou chimistes en même temps qu'ils étaient mathématiciens. Par exemple, Gauss dont nous avons parler dans le chapitre sur la résolution des systèmes était astronome de métier. Il n'en est pas moins appeler le prince des mathématiques aujourd'hui. Pour parler de ce nouveau chapitre nous allons nous immerger très légèrement dans le monde de la physique et essayer ensemble de faire comme nos ancêtres et réinventer la dérivation. Nous allons parler de vitesse. La vitesse mesure la distance parcouru en un laps de temps donnée. Sur le graphique ci dessous, il vous est représenté le parcours de votre serviteur depuis chez lui jusqu'au marché de la ville. En abscisse le temps mesuré en minute, en ordonnée la distance parcouru mesurée en kilomètre. La petite histoire de ce graphique est la suivante :

1. Je part de chez moi.
2. Je me rend à pied jusqu'à l'arrêt de bus.
3. Je me rend compte que j'ai oublié de prendre un ticket de bus je rentre chez moi le prendre.
4. Je repart immédiatement de chez moi vers l'arrêt de bus en courant pour ne pas le rater.
5. J'ai raté le bus et je dois donc en attendre un autre.
6. Le bus arrive, je monte dedans et me laisse transporter jusqu'à la station "Mairie".
7. Une fois arriver je marche tranquillement vers la place du marché (pour me rendre compte que nous sommes vendredi et qu'il n'y a pas marché #vecu).

Malgré le périple, il m'a fallut 24 minutes pour parcourir les 3 kilomètres qui me sépare du marché. La vitesse est la distance par rapport au temps. Ici \( \dfrac{3km}{24min}\) . Multiplions par \( 2,5\) au numérateur et dénominateur pour obtenir \( \dfrac{7,5km}{60min}\) soit \( 7,5\) km/h. Cette information est quelques peu trompeuse. En tant que marcheur \( 7,5\) km/h est une marche très sportive, mais pour le bus \( 7,5\) km/h est très mauvais. Poser une question de raffinement sur ces information cinétique équivaut à se poser une question du genre : quelle était ma vitesse \( 20\) minutes après mon départ ? Pour comprendre cela isolons les dernières minutes de mon trajet (parties 6 et 7): La vitesse moyenne uniquement sur cette portion correspond toujours à la distance, ici \( 2,5\) km par rapport au temps, ici \( 8\) minutes. Cela correspond à une vitesse de \( 18,75\) km/h. Rapprochons-nous un peu plus du \( 20\) pour déterminer la vitesse à la \( 20\) ième minutes. Pour généraliser un peu plus imaginons que le graphe soit le dessin de la courbe représentative d'une fonction \( f\) . Dans ce cas, comme toujours d'ailleurs, la vitesse est la distance parcouru sur le temps de parcours soit \( \dfrac{f(22)-f(18)}{22-18}\) . Et comme c'est le but ici on souhaite se rapprocher de 20. Nous avons vu dans le précédent chapitre que "se rapprocher de" se traduisait mathématiquement par la notion de limite. On définie donc la vitesse instantanée, qui s'oppose à la vitesse moyenne, comme la vitesse moyenne infiniment proche de la valeur cherchée. Si cette limite existe (dans le sens ou la limite inférieur et supérieur sont les même et sont finies) on dira que la fonction est dérivable. Quelque soit la fonction que nous traitons, cette limite est toujours une forme indéterminée (de la forme \( 0/0\) ). Ca serait beaucoup moins intéressant sinon ^_^. Par exemple dérivons en \( a=3\) la fonction \( f(x)=x^2\) . Revenons à la définition et essayons de simplifier la limite, qui est malheureusement par construction, toujours une forme indéterminée. Ici l'idée est d'utiliser une identité remarquable. \begin{eqnarray*} f'(3)&=&\lim{x\rightarrow 3} \dfrac{x^2-3^2}{x-3}\\ &=& \lim{x\rightarrow 3} \dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}\\ &=& \lim{x\rightarrow 3}(x+3)\\ &=& 6 \end{eqnarray*} Conclusion \( f'(3)=6\) . Nous venons de voir la définition qui en tant que tel n'est pas évidente de prime abord. Et nous espérons que vous l'aurez compris, ça sert à calculer la vitesse instantanée. Mais tout ce travail pour calculer une vitesse serait un peu trop de gâchis de concept mathématiques. Puis surtout, en pratique comme procède t-on au calcul ? Les réponses arrivent !

Tangente

Continuons sur notre lancée théorique avant de passer à la pratique et observons un peu plus en détail ce nouveau jouet qu'est la définition de la dérivé. Sur ce graphique, on observe que plus \( x\) se rapproche de \( a\) plus les droites (en noire - on les appelle savamment des cordes) vont se retrouver collées à la courbe. A la limite, de tel droite collée à la courbe, sont appelée des tangente. Quelle est l'équation de la droite qui passe par les points de coordonnée \( (a,f(a))\) et \( (x, f(x))\) sachant que \( x\) se destine à se rapprocher de \( a\) ? D'après les précédents chapitres nous avons vus que cette droite a pour équation \[Y=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}(X-a)+f(a)\] Les variables \( X\) et \( Y\) permettent de donner l'équation de la droite tandis que \( x\) désigne un réel de l'axe des abscisses. Il suffit de passer à la limite lorsque \( x\rightarrow a\) pour déterminer l'équation de la tangente. Par exemple la tangente de la fonction carré en \( a=3\) est \( T_3:\ y=6(x-3)+3^2=6x-9\)

Dérivées usuelles et fonctions dérivées

Dans le calcul que nous avions fait dans les paragraphes précédents pour calculer la dérivée de la fonction carré en \( 3\) , que l'on ai mis un \( 3\) ou un \( 42\) ça ne change pas le travail : \begin{eqnarray*} f'(a)&=&\lim{x\rightarrow a} \dfrac{x^2-a^2}{x-a}\\ &=& \lim{x\rightarrow a} \dfrac{(x-a)(x+a)}{x-a}\\ &=& \lim{x\rightarrow a}(x+a)\\ &=& 2a \end{eqnarray*} Le cas de la fonction carré est réglé ! C'est l'occasion de parler de fonction dérivée. Nous avons par exemple montré que la fonction dérivée de la fonction carré est \( f'(x)=2x\) . Qu'en est-il de la fonction cube \( g(x)=x^3\) . Abracadabra ! Voici une formule sorti de nul part : \( x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\) . Attaquons à présent le calcul de la limite : \begin{eqnarray*} g'(a)&=&\lim{x\rightarrow a} \dfrac{x^3-a^3}{x-a}\\ &=& \lim{x\rightarrow a} \dfrac{(x-a)(x^2+ax+a^2)}{x-a}\\ &=& \lim{x\rightarrow a} (x^2+ax+a^2)\\ &=& 3a^2 \end{eqnarray*} En conclusion \( g'(x)=3x^2\) . Commençons par faire peur : OUI ! Pour calculer des dérivées (en tant que fonction ou valeur numérique) il n'y a pas d'autre solution que de passer par la définition de limite ! Mais pas d'inquiétude. Beaucoup de mathématiciens ont établis un formulaire recensant les dérivées des fonctions usuelles (et oui, il faut les apprendre et les connaitre par cœur) : On retrouve par exemple les formules que nous avons trouvé à l'aide du calcul de limite sur les fonctions carré et cube.

Opérations sur les dérivées

Et si nous souhaitions dériver la fonction \( x+1\) ? Nous savons dérivé \( x=x^1\) qui admet \( 1x^0=1\) comme dérivé et la dérivé du nombre réel \( 1\) est \( 0\) . Qu'en est-il de la somme ? Ainsi la fonction dérivée de \( x^2+x+1\) est \( 2x+1\) . Qu'en est-il de la fonction dérivée de la \( x^2-3x+\dfrac{1}{x}\) . Les précédents résultats nous donnent \[\left(x^2-3x+\dfrac{1}{x}\right)'= \left(x^2\right)'-\left(3x\right)'+\left(\dfrac{1}{x}\right)'= 2x-\left(3x\right)'-\dfrac{1}{x^2} \] Réglons le problème de \( \left(3x\right)'\) à coup de théorème ! En d'autre terme la dérivé de \( 3x\) c'est \( 3\) fois la dérivée de \( x\) (qui est \( 1\) ). Au final \[\left(x^2-3x+\dfrac{1}{x}\right)'= 2x-3-\dfrac{1}{x^2} \] Et qu'en est-il de la fonction dérivée de \( (\sqrt{x}+1)\times \dfrac{1}{x}\) . Bon soyons claire : ca va commencer a devenir n'importe quoi, mais ça marche ! Ainsi \begin{eqnarray*} \left((\sqrt{x}+1)\dfrac{1}{x}\right)'&=& (\sqrt{x}+1)'\dfrac{1}{x}+(\sqrt{x}+1)\left(\dfrac{1}{x}\right)'\\ &=&\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\dfrac{1}{x}+(\sqrt{x}+1)\left(-\dfrac{1}{x^2}\right) \end{eqnarray*} En conclusion \( \left((\sqrt{x}+1)\dfrac{1}{x}\right)'=\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{x^2}\) (les plus savant pour chercher à simplifier davantage cette dérivée et montrer que \( \left((\sqrt{x}+1)\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{\sqrt{x}+2}{2x^2}\) en utilisant le fait que \( \sqrt{x}^2=x\) ). Et qu'en est-il de la fonction dérivée de la fonction \( \dfrac{x}{x+1}\) ? Sur notre exemple \begin{eqnarray*} \left(\dfrac{x}{x+1}\right)'&=& \dfrac{(x)'(x+1)-(x+1)'(x)}{(x+1)^2}\\ &=&\dfrac{1(x+1)-1(x)}{(x+1)^2}\\ &=&\dfrac{1}{(x+1)^2} \end{eqnarray*} Et qu'en est-il de la fonction dérivé de \( \sqrt{x^2+x}\) ? Ainsi \( (\sqrt{x^2+x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+x}}\times (x^2+x)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+x}}\times (2x+1)= \dfrac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x}}\) En particulier ce dernier résultat permet d'obtenir un petit peu plus de formule de dérivation (il n'y en avait pas assez comme ça !) Par exemple déterminons l'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction \( f\) définie sur \( \mathbb{R}\) par \( f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-x+1\) en \( a=0\) . D'après les paragraphes précédents \( T_0:\ y=f'(0)(x-0)+f(0)\) . D'une part \( f'(x)=x-1\) d'où \( f'(0)=-1\) et d'autre part \( f(0)=1\) . En conclusion l'équation de la tangente est \( y=-x+1\) .

Variations et dérivations

Lorsque l'on se donne une fonction, on souhaite l'étudier. Ce que nous avons déja explorer avec l'étude du domaine de définition ou des translations de fonction de références. D'autre informations son a extraire de la fonction. L'une d'elle est ce que l'on appelle les variations de la fonction ce qui se traduit vulgairement par : quand est-ce que la fonction monte et quand-est-ce qu'elle descend. Plaçons nous par exemple sur l'intervalle \( ]0 ; +\infty[\) et étudions les variations de la fonction \( f(x)=x^2\) . Soit \( 0{<}\alpha{<}\beta\) alors \[f(\alpha)-f(\beta)=\alpha^2-\beta^2=(\alpha-\beta)(\alpha+\beta)\] Puisque \( \alpha\) et \( \beta\) sont tout deux positifs alors \( \alpha+\beta{>}0\) et puisque \( \alpha {<} \beta\) alors \( \alpha-\beta{<}0\) . La règle des signes nous donne donc que \( \alpha^2-\beta^2\) est négatif soit encore \( f(\alpha){<}f(\beta)\) et donc que la fonction carré est strictement croissante sur \( ]0; +\infty[\) On montrerai de même que la fonction carré est strictement décroissante sur \( ]-\infty; 0[\) . Pour compiler ces informations de variation on réalise un tableau de variation qui comporte deux lignes : une ligne pour spécifier les valeurs de \( x\) classer dans l'ordre croissant, comme pour les tableaux de signe et une seconde ligne représentant les variations par des flèches qui montent pour signaler la croissance ou qui descende pour signaler la décroissance. Le tableau de variation de la fonction carré est donc le suivant : On complète souvent le tableau de variation en mettant les valeurs des limites au bout des flèches : Cet exemple était assez facile. Les droites, c'est à dire les fonctions affines ont aussi des variations faciles à étudier. En se servant des variations des droites ainsi que du lien entre tangente et dérivation, nous pouvons obtenir les variations d'une fonction. Reprenons le graphique qui nous a mené à la notion de tangente Les droites successives, qui tendent vers la tangente, sont toutes croissante car le coefficient directeur est \( \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) est positif puisque \( a{<}x\) et que la fonction \( f\) est croissante. A la limite ce caractère sera conservé. Cela permet d'en déduire le théorème suivant. Autrement dis : étudier les variations d'une fonction reviens à étudier le signe de sa dérivé. La dérivé de la fonction \( f(x)=x^2\) est \( f'(x)=2x\) . Naturellement \( 2x\) est positif lorsque \( x\) est positif donc la fonction \( f\) sera croissante sur cet intervalle ce que nous avions déjà déterminer.

Exemple

Étudions la fonction \( f(x)=x+\dfrac{x}{x^2-1}\) . Nous voyons une fraction, il faut donc que le dénominateur, \( x^2-1\) , ne s'annule pas. En utilisant une identité remarquable ou une les formules de calculs des racines pour les polynômes de degrés 2, nous pouvons rapidement conclure que le domaine de définition de cette fonction est \( \mathbb{R}-\{-1 ; 1\}\) . Le but étant de déterminer le signe de la dérivé, c'est à dire de résoudre une inéquation de la forme \( f'(x){>}0\) , nous allons calculer la dérivée et la factoriser au maximum. \begin{eqnarray*} f'(x)&=& 1+\dfrac{(x)'(x^2-1)-(x^2-1)x}{(x^2-1)^2}\\ &=& \dfrac{(x^2-1)^2+1(x^2-1)-2xx}{(x^2-1)^2}\\ &=& \dfrac{(x^2-1)^2+x^2-1-2x^2}{(x^2-1)^2}\\ &=& \dfrac{x^4-2x^2+1+x^2-1-2x^2}{(x^2-1)^2}\\ &=& \dfrac{x^4-3x^2}{(x^2-1)^2}\\ &=& \dfrac{x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2} \end{eqnarray*} Nous allons a présent dresser le tableau de signe et par la même le tableau de variation. Dans le tableau de variation comme dans les tableaux de signe on signale les valeurs interdites par une double barre. Une étude de limite permet alors de finaliser le tableau : Le tableau de variation suffit en générale pour donner l'allure de la courbe représentative de la fonction \( f\) . D'une part les valeurs finie de la fonction donne des point de passage. Dans notre exemple nous savons que la courbe passera par les points \( \left(-\sqrt{3}, -\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)\) , \( \left(0, 0\right)\) et \( \left(\sqrt{3}, \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)\) . De plus, par construction, le coefficient directeur d'une tangente est le nombre dérivé. Lorsque la dérivée s'annule, on en déduit que la tangente est horizontale. Cela donnera une information sur le comportement autour de la tangente puisque par définition de tangente, cette droite "frôle" la courbe. Ainsi la courbe sera horizontale autour des tangente horizontale ! On trace donc des morceaux de droite horizontale lorsque la dérivée s'annule : Pour obtenir finalement