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Soit $ p(x)=\alpha e^{-8|x|}\Un_{[-u ; u]}(x)$ où $ u=\dfrac{1}{8}ln\left(\dfrac{9}{5}\right)$ et $ X$ une v.a.r. de loi $ p$ .
- Déterminer $ \alpha$ pour que $ p$ soit une fonction de densité.
- Sans calcul déterminer $ \Esp{X}$ .
- Calculer $ \Esp{X^2}$ . On pourra l'exprimer en un polynôme en $ u$ . En déduire $ \Var{X}$ .
- Déterminer les probabilités suivantes :
- $ \Proba(X{>}0)$
- $ \Proba\left(X{>}\dfrac{u}{2}\right)$
- $ \Proba\left(X{<}-\dfrac{u}{2}\right)$
Soit $ Y=e^{-|X|}$ .
Déterminer la fonction de répartition de $ Y$ .
En déduire la fonction de densite de $ Y$ (on admettra qu'elle existe).
Quel et la loi de $ Y$ ?
Avec le minimum de calcul déterminer $ \Esp{Y}$ et $ \sigma(Y)$ .
Cliquer ici pour afficher la solution
- Pour que $ p$ soi une fonction de densité, il faut que $ p$ soit positive ce qui sera vrai pourvu que $ \alpha$ soit positif, continue sauf sur un ensemble dénonbrabl de point, ce qui est trivialement le cas ici : $ p$ est continue partout sauf en $ -u$ et $ u$ . Finalement, il faut que $ p$ soit de poids $ 1$ , ce qui va permettre de déterminer $ \alpha$ . Précisément on a :
\begin{eqnarray*}
1
&=&\int_\R p(x)\ dx\\
&=&\alpha\int_{-u}^u e^{-8|x|}\ dx\\
&=&2\alpha\int_{0}^u e^{-8|x|}\ dx\qquad\text{Par parité}\\
&=&2\alpha\int_{0}^u e^{-8x}\ dx\\
&=&2\alpha\left[-\dfrac{1}{8}e^{-8x}\right]_0^u\\
&=&2\dfrac{\alpha}{8}\left(1-e^{-8u}\right)\\
&=&\dfrac{\alpha}{4}\left(1-e^{-ln\left(\dfrac{9}{5}\right)}\right)\\
&=&\dfrac{\alpha}{4}\left(1-\dfrac{5}{9}\right)\\
&=&\dfrac{\alpha}{4}\left(\dfrac{4}{9}\right)\\
&=&\dfrac{\alpha}{9}
\end{eqnarray*}
Finalement on trouve $ \alpha=9$ et $ p$ est une fonction de densité.
- On observe que la fonction de densité est paire (c'est à dire $ p(-x)=p(x)$ pour tout $ x$ ).
C'est à dire que la moité de l'aire est à gauche de l'axe des ordonnées et l'autre moitié à droite. De sorte que $ \Esp{X}=0$ .
-
\begin{eqnarray*}
\Esp{X^2}
&=&\int_\R x^2p(x)\ dx\\
&=&9\int_{-u}^u x^2e^{-8|x|}\ dx\\
&=&2\times9\int_{0}^u x^2e^{-8|x|}\ dx\qquad\text{Par parité}\\
&=&18\int_0^u x^2 e^{-8x}\ dx \\
&=&18\left(\left[-\dfrac{1}{8}e^{-8x}x^2\right]_0^u+\dfrac{1}{4}\int_0^u x e^{-8x}\ dx \right)\quad \text{IPP}\\
&=&18\left(-\dfrac{1}{8}e^{-8u}u^2+\dfrac{1}{4}\left(\left[-\dfrac{1}{8}e^{-8x}x\right]_0^u+\dfrac{1}{8}\int_0^u e^{-8x}\ dx \right)\right)\quad \text{IPP}\\
&=&18\left(-\dfrac{1}{8}e^{-8u}u^2+\dfrac{1}{4}\left(-\dfrac{1}{8}e^{-8u}u+\dfrac{1}{8}\left[-\dfrac{1}{8}e^{-8x}\right]_0^u \right)\right)\\
&=&18\left(-\dfrac{1}{8}e^{-8u}u^2+\dfrac{1}{4}\left(-\dfrac{1}{8}e^{-8u}u+\dfrac{1}{8}\left(1-\dfrac{1}{8}e^{-8u}\right) \right)\right)\\
&=& 18\left(-\dfrac{1}{8}e^{-8u}u^2-\dfrac{1}{32}e^{-8u}u+\dfrac{1}{256}(1-e^{-8u})\right)
\end{eqnarray*}
Or $ e^{-8u}=\dfrac{5}{9}$ d'où $
\Esp{X^2}
= 18\left(-\dfrac{1}{8}\dfrac{5}{9}u^2-\dfrac{1}{32}\dfrac{5}{9}u+\dfrac{1}{256}\left(1-\dfrac{5}{9}\right)\right)
= \dfrac{1}{32}-\dfrac{5}{16}u-\dfrac{5}{4}u^2$ . Finalement $ \Var{X}=\Esp{X^2}-\Esp{X}^2=\Esp{X^2}= \dfrac{1}{32}-\dfrac{5}{16}u-\dfrac{5}{4}u^2$ .
-
- Comme la fonction de densité est paire, on a $ \Proba(X{>}0)=\Proba(X{<}0)=0.5$
-
\begin{eqnarray*}
\Proba\left(X{>}\dfrac{u}{2}\right)
&=&\int_{\frac{u}{2}}^{+\infty} p(x)\ dx\\
&=&\int_{\frac{u}{2}}^{u} 9e^{-8x}\ dx\\
&=&-\dfrac{9}{8}\left[e^{-8x}\right]_{\frac{u}{2}}^{u}\\
&=&-\dfrac{9}{8}\left(e^{-8u}-e^{-8\frac{u}{2}}\right)\\
&=&-\dfrac{9}{8}\left(e^{-8u}-\sqrt{e^{-8u}}\right)\\
&=&-\dfrac{9}{8}\left(\dfrac{5}{9}-\sqrt{\dfrac{5}{9}}\right)\\
&=&-\dfrac{5}{8}+\sqrt{\dfrac{45}{64}}\\
&=&\sqrt{\dfrac{45}{64}}-\dfrac{5}{8}
\end{eqnarray*}
- Par symétrie de la fonction de densité, $ \Proba\left(X{<}-\dfrac{u}{2}\right)=\Proba\left(X{>}\dfrac{u}{2}\right)$ qui vaut donc d'après la question précédente $ \sqrt{\dfrac{45}{64}}-\dfrac{5}{8}$ .
Naturelement, puisque le changement de variable est une exponentielle, la loi est positive de sorte que $ F_Y(t)=0$ si $ t\leqslant 0$ . Soit $ t$ une nombre réel positif.
\begin{eqnarray*}
F_Y(t)
&=&\Proba(Y\leqslant t)\\
&=&\Proba(e^{-8|X|}\leqslant t)\\
&=&\Proba(-8|X|\leqslant ln(t))\\
&=&\Proba\left(|X|\geqslant -\dfrac{ln(t)}{8}\right)\\
&=&1-\Proba\left(|X|{<} -\dfrac{ln(t)}{8}\right)\\
&=&1-\Proba\left(\dfrac{ln(t)}{8} {<}X{<} -\dfrac{ln(t)}{8}\right)\\
\end{eqnarray*}
Pour que cette égalité ai un sens, il faut que $ -\dfrac{ln(t)}{8}\geqslant 0$ , c'est à dire que $ t\leqslant 1$ . Autrement la probabilité vaut $ 0$ et donc la fonction de répartition de $ Y$ vaut 1. De plus le support de la loi de $ X$ est $ [-u ; u]$ . Il faut donc que $ -\dfrac{ln(t)}{8}\leqslant u$ c'est à dire
$$
-\dfrac{ln(t)}{8}\leqslant u
\Rightarrow -\dfrac{ln(t)}{8}\leqslant\dfrac{1}{8}ln\left(\dfrac{9}{5}\right)
\Rightarrow ln(t)\geqslant -ln\left(\dfrac{9}{5}\right)
\Rightarrow t\geqslant \dfrac{5}{9}
$$
Supposons donc que $ t \in \left[\dfrac{5}{9} ; 1\right]$
\begin{eqnarray*}
F_Y(t)
&=&1-\Proba\left(\dfrac{ln(t)}{8} {<}X{<} -\dfrac{ln(t)}{8}\right)\\
&=&1-\int_{\frac{ln(t)}{8}}^{-\frac{ln(t)}{8}}p(x)\ dx\\
&=&1-2\int_{0}^{-\frac{ln(t)}{8}}p(x)\ dx\\
&=&1-18\int_{0}^{-\frac{ln(t)}{8}}e^{-8x}\ dx\\
&=&1+\dfrac{9}{4}\left[e^{-8x}\right]_{0}^{-\frac{ln(t)}{8}}\\
&=&1+\dfrac{9}{4}\left(e^{ln(t)}-1\right)\\
&=&1+\dfrac{9}{4}\left(t-1\right)\\
&=&\dfrac{9}{4}t-\dfrac{5}{4}\\
\end{eqnarray*}
En conclusion
$ \dpl{
F_Y(t)=\left\{
\begin{array}{rl}
0 & \text{Si } x{<}0\\
\dfrac{9}{4}t-\dfrac{5}{4}& \text{Si } t\in\left[\dfrac{5}{9} ; 1\right]\\
1 & \text{Si } x{>}1\\
\end{array}
\right.
}$
Il suffit de dériver la fonction précédente pour obenir la densité $ q$ de $ Y$ :
$$ q(y) = \dfrac{9}{4}\Un_{\left[\frac{5}{9} ; 1\right]}(y)$$
On reconnait la loi uniforme sur $ \left[\dfrac{5}{9} ; 1\right]$ .
D'après le cours, si $ Z\sim \mathcal{U}_{[a, b]}$ alors $ \Esp{Z}=\dfrac{a+b}{2}$ et $ \sigma(Z)=\dfrac{b-a}{\sqrt{12}}$ . Ainsi, dans notre cas :
$$
\Esp{Y}=\dfrac{1+\dfrac{5}{9}}{2}=\dfrac{7}{9}
\qquad\text{et}\qquad
\sigma(Y)=\dfrac{1-\dfrac{5}{9}}{\sqrt{12}}
= \dfrac{2}{27}\sqrt{3}
$$
