\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Soit $ p(x)=\alpha e^{-8|x|}\Un_{[-u ; u]}(x)$ où $ u=\dfrac{1}{8}ln\left(\dfrac{9}{5}\right)$ et $ X$ une v.a.r. de loi $ p$ .
  1. Déterminer $ \alpha$ pour que $ p$ soit une fonction de densité.
  2. Sans calcul déterminer $ \Esp{X}$ .
  3. Calculer $ \Esp{X^2}$ . On pourra l'exprimer en un polynôme en $ u$ . En déduire $ \Var{X}$ .
  4. Déterminer les probabilités suivantes :
    1. $ \Proba(X{>}0)$
    2. $ \Proba\left(X{>}\dfrac{u}{2}\right)$
    3. $ \Proba\left(X{<}-\dfrac{u}{2}\right)$
  5. Soit $ Y=e^{-|X|}$ .
    1. Déterminer la fonction de répartition de $ Y$ .
    2. En déduire la fonction de densite de $ Y$ (on admettra qu'elle existe).
    3. Quel et la loi de $ Y$ ?
    4. Avec le minimum de calcul déterminer $ \Esp{Y}$ et $ \sigma(Y)$ .
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  1. Pour que $ p$ soi une fonction de densité, il faut que $ p$ soit positive ce qui sera vrai pourvu que $ \alpha$ soit positif, continue sauf sur un ensemble dénonbrabl de point, ce qui est trivialement le cas ici : $ p$ est continue partout sauf en $ -u$ et $ u$ . Finalement, il faut que $ p$ soit de poids $ 1$ , ce qui va permettre de déterminer $ \alpha$ . Précisément on a : \begin{eqnarray*} 1 &=&\int_\R p(x)\ dx\\ &=&\alpha\int_{-u}^u e^{-8|x|}\ dx\\ &=&2\alpha\int_{0}^u e^{-8|x|}\ dx\qquad\text{Par parité}\\ &=&2\alpha\int_{0}^u e^{-8x}\ dx\\ &=&2\alpha\left[-\dfrac{1}{8}e^{-8x}\right]_0^u\\ &=&2\dfrac{\alpha}{8}\left(1-e^{-8u}\right)\\ &=&\dfrac{\alpha}{4}\left(1-e^{-ln\left(\dfrac{9}{5}\right)}\right)\\ &=&\dfrac{\alpha}{4}\left(1-\dfrac{5}{9}\right)\\ &=&\dfrac{\alpha}{4}\left(\dfrac{4}{9}\right)\\ &=&\dfrac{\alpha}{9} \end{eqnarray*} Finalement on trouve $ \alpha=9$ et $ p$ est une fonction de densité.
  2. On observe que la fonction de densité est paire (c'est à dire $ p(-x)=p(x)$ pour tout $ x$ ). C'est à dire que la moité de l'aire est à gauche de l'axe des ordonnées et l'autre moitié à droite. De sorte que $ \Esp{X}=0$ .
  3. \begin{eqnarray*} \Esp{X^2} &=&\int_\R x^2p(x)\ dx\\ &=&9\int_{-u}^u x^2e^{-8|x|}\ dx\\ &=&2\times9\int_{0}^u x^2e^{-8|x|}\ dx\qquad\text{Par parité}\\ &=&18\int_0^u x^2 e^{-8x}\ dx \\ &=&18\left(\left[-\dfrac{1}{8}e^{-8x}x^2\right]_0^u+\dfrac{1}{4}\int_0^u x e^{-8x}\ dx \right)\quad \text{IPP}\\ &=&18\left(-\dfrac{1}{8}e^{-8u}u^2+\dfrac{1}{4}\left(\left[-\dfrac{1}{8}e^{-8x}x\right]_0^u+\dfrac{1}{8}\int_0^u e^{-8x}\ dx \right)\right)\quad \text{IPP}\\ &=&18\left(-\dfrac{1}{8}e^{-8u}u^2+\dfrac{1}{4}\left(-\dfrac{1}{8}e^{-8u}u+\dfrac{1}{8}\left[-\dfrac{1}{8}e^{-8x}\right]_0^u \right)\right)\\ &=&18\left(-\dfrac{1}{8}e^{-8u}u^2+\dfrac{1}{4}\left(-\dfrac{1}{8}e^{-8u}u+\dfrac{1}{8}\left(1-\dfrac{1}{8}e^{-8u}\right) \right)\right)\\ &=& 18\left(-\dfrac{1}{8}e^{-8u}u^2-\dfrac{1}{32}e^{-8u}u+\dfrac{1}{256}(1-e^{-8u})\right) \end{eqnarray*} Or $ e^{-8u}=\dfrac{5}{9}$ d'où $ \Esp{X^2} = 18\left(-\dfrac{1}{8}\dfrac{5}{9}u^2-\dfrac{1}{32}\dfrac{5}{9}u+\dfrac{1}{256}\left(1-\dfrac{5}{9}\right)\right) = \dfrac{1}{32}-\dfrac{5}{16}u-\dfrac{5}{4}u^2$ . Finalement $ \Var{X}=\Esp{X^2}-\Esp{X}^2=\Esp{X^2}= \dfrac{1}{32}-\dfrac{5}{16}u-\dfrac{5}{4}u^2$ .
    1. Comme la fonction de densité est paire, on a $ \Proba(X{>}0)=\Proba(X{<}0)=0.5$
    2. \begin{eqnarray*} \Proba\left(X{>}\dfrac{u}{2}\right) &=&\int_{\frac{u}{2}}^{+\infty} p(x)\ dx\\ &=&\int_{\frac{u}{2}}^{u} 9e^{-8x}\ dx\\ &=&-\dfrac{9}{8}\left[e^{-8x}\right]_{\frac{u}{2}}^{u}\\ &=&-\dfrac{9}{8}\left(e^{-8u}-e^{-8\frac{u}{2}}\right)\\ &=&-\dfrac{9}{8}\left(e^{-8u}-\sqrt{e^{-8u}}\right)\\ &=&-\dfrac{9}{8}\left(\dfrac{5}{9}-\sqrt{\dfrac{5}{9}}\right)\\ &=&-\dfrac{5}{8}+\sqrt{\dfrac{45}{64}}\\ &=&\sqrt{\dfrac{45}{64}}-\dfrac{5}{8} \end{eqnarray*}
    3. Par symétrie de la fonction de densité, $ \Proba\left(X{<}-\dfrac{u}{2}\right)=\Proba\left(X{>}\dfrac{u}{2}\right)$ qui vaut donc d&apos;après la question précédente $ \sqrt{\dfrac{45}{64}}-\dfrac{5}{8}$ .
    1. Naturelement, puisque le changement de variable est une exponentielle, la loi est positive de sorte que $ F_Y(t)=0$ si $ t\leqslant 0$ . Soit $ t$ une nombre réel positif. \begin{eqnarray*} F_Y(t) &=&\Proba(Y\leqslant t)\\ &=&\Proba(e^{-8|X|}\leqslant t)\\ &=&\Proba(-8|X|\leqslant ln(t))\\ &=&\Proba\left(|X|\geqslant -\dfrac{ln(t)}{8}\right)\\ &=&1-\Proba\left(|X|{<} -\dfrac{ln(t)}{8}\right)\\ &=&1-\Proba\left(\dfrac{ln(t)}{8} {<}X{<} -\dfrac{ln(t)}{8}\right)\\ \end{eqnarray*} Pour que cette égalité ai un sens, il faut que $ -\dfrac{ln(t)}{8}\geqslant 0$ , c&apos;est à dire que $ t\leqslant 1$ . Autrement la probabilité vaut $ 0$ et donc la fonction de répartition de $ Y$ vaut 1. De plus le support de la loi de $ X$ est $ [-u ; u]$ . Il faut donc que $ -\dfrac{ln(t)}{8}\leqslant u$ c&apos;est à dire $$ -\dfrac{ln(t)}{8}\leqslant u \Rightarrow -\dfrac{ln(t)}{8}\leqslant\dfrac{1}{8}ln\left(\dfrac{9}{5}\right) \Rightarrow ln(t)\geqslant -ln\left(\dfrac{9}{5}\right) \Rightarrow t\geqslant \dfrac{5}{9} $$ Supposons donc que $ t \in \left[\dfrac{5}{9} ; 1\right]$ \begin{eqnarray*} F_Y(t) &=&1-\Proba\left(\dfrac{ln(t)}{8} {<}X{<} -\dfrac{ln(t)}{8}\right)\\ &=&1-\int_{\frac{ln(t)}{8}}^{-\frac{ln(t)}{8}}p(x)\ dx\\ &=&1-2\int_{0}^{-\frac{ln(t)}{8}}p(x)\ dx\\ &=&1-18\int_{0}^{-\frac{ln(t)}{8}}e^{-8x}\ dx\\ &=&1+\dfrac{9}{4}\left[e^{-8x}\right]_{0}^{-\frac{ln(t)}{8}}\\ &=&1+\dfrac{9}{4}\left(e^{ln(t)}-1\right)\\ &=&1+\dfrac{9}{4}\left(t-1\right)\\ &=&\dfrac{9}{4}t-\dfrac{5}{4}\\ \end{eqnarray*} En conclusion $ \dpl{ F_Y(t)=\left\{ \begin{array}{rl} 0 & \text{Si } x{<}0\\ \dfrac{9}{4}t-\dfrac{5}{4}& \text{Si } t\in\left[\dfrac{5}{9} ; 1\right]\\ 1 & \text{Si } x{>}1\\ \end{array} \right. }$
    2. Il suffit de dériver la fonction précédente pour obenir la densité $ q$ de $ Y$ : $$ q(y) = \dfrac{9}{4}\Un_{\left[\frac{5}{9} ; 1\right]}(y)$$
    3. On reconnait la loi uniforme sur $ \left[\dfrac{5}{9} ; 1\right]$ .
    4. D'après le cours, si $ Z\sim \mathcal{U}_{[a, b]}$ alors $ \Esp{Z}=\dfrac{a+b}{2}$ et $ \sigma(Z)=\dfrac{b-a}{\sqrt{12}}$ . Ainsi, dans notre cas : $$ \Esp{Y}=\dfrac{1+\dfrac{5}{9}}{2}=\dfrac{7}{9} \qquad\text{et}\qquad \sigma(Y)=\dfrac{1-\dfrac{5}{9}}{\sqrt{12}} = \dfrac{2}{27}\sqrt{3} $$