Suites équivalentes
Définition
On dira qu'une suite \( u\) est non nul à partir d'un certain rang si
\[\exists N,\ \forall n\geqslant N,\qquad u_n\neq0\]
Par exemple, la suite définie pour tout \( n\in \N\) par \( u_n=1+(-1)^n\) n'est pas non nul à partir d'un certain rang car pour tous les termes de rang impaire \( u_n=0\) .
La suite \( u_n=\dfrac{1}{n}\) est non nul à partir d'un certain rang. Précisément à partir du rang \( N=1\) . Bien qu'elle converge vers \( 0\) aucun de ses termes n'est nul.
Définition
On dira que deux suites \( u\) et \( v\) toutes deux non nulles à partir d'une certain rang, sont équivalentes, noté \( u\sim v\) ou \( u_n\sim v_n\) si
\[\lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=1\]
Voici l'exemple canonique.
Proposition
Soit \( P\) un polynôme non nul de degré \( p\) et de coefficient dominant \( a\neq 0\) .
\[P(n)\sim an^p\]
Démonstration
Soit \( P(x)=\dpl{\sum_{i=0}^pa_ix^i}\) . Avec les notations de l'énoncé on a \( a_p=a\) nécessairement non nul par la définition du degré. Alors
\begin{eqnarray*}
\dfrac{P(n)}{an^p}
&=&\dfrac{\dpl{\sum_{i=0}^pa_in^i}}{an^p}\\
&=&\sum_{i=0}^p\dfrac{a_in^i}{an^p}\\
&=&\sum_{i=0}^p\dfrac{a_i}{a}n^{i-p}
\end{eqnarray*}
Or pour \( i\) entre \( 0\) et \( p\) le nombre \( i-p\leqslant 0\) . Précisément strictement inférieur à \( 0\) si \( i\neq p\) de sorte que pour \( i\neq p\) , \( \lim{n\rightarrow+\infty}n^{i-p}=0\) et pour \( i=p\) , \( \lim{n\rightarrow+\infty}n^{i-p}=1\) . Ce qui prouve le résultat.
Ainsi on a par exemple \( -3n^2-2n+1\sim -3n^2\) .
Remarque
ATTENTION : si \( u\sim v\) cela ne signifie pas que \( \lim{n\rightarrow+\infty}u_n-v_n=0\) comme peut le montrer le contre exemple \( u_n=3n^2+n\) et \( v_n=3n^2\) .
Proposition [Relation d'équivalence]
Soient \( u\) , \( v\) et \( w\) des suites non nulle à partir d'un certain rang.
- Symétrie :
- \( u\sim v\Rightarrow v\sim u\) .
- Transitif :
- \( \Big((u\sim v)\et(v\sim w)\Big)\Rightarrow u\sim w\) .
- Réflexif :
- \( u\sim u\) .
Démonstration
- Symétrie :
- si \( u\sim v\) alors \( \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=1\) ce qui permet d'écrire que \( \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{\dfrac{u_n}{v_n}}=\dfrac{1}{1}=1\) soit encore \( \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{v_n}{u_n}=1\) ce qui traduit, par définition, que \( v\sim u\) .
- Transitif :
- si \( u\sim v\) alors \( \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=1\) et si \( v\sim w\) alors \( \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{v_n}{w_n}=1\) de sorte que \( \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{u_n}{w_n}=\lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{u_n}{v_n}\dfrac{v_n}{w_n}=1\times1=1\) ce qui traduit le fait que \( u\sim w\) .
- Réflexif :
- naturellement on a \( \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{u_n}{u_n}=1\) ce qui prouve que \( u\sim u\) .
Théorème
Soient \( u\) et \( v\) deux suites ne s'annulant pas à partir d'un certain rang tel que \( u\sim v\) .
- \( (i)\) .
- Si \( \lim{n\rightarrow+\infty}u_n=l\in \R\) alors \( \lim{n\rightarrow+\infty}v_n=l\) .
- \( (ii)\) .
- Si \( \lim{n\rightarrow+\infty}u_n=\pm\infty\) alors \( \lim{n\rightarrow+\infty}v_n=\pm\infty\) .
Démonstration
On écrit \( v_n=\dfrac{v_n}{u_n}u_n\) et on passe à la limite.
Lemme
Soit \( f\) une fonction définie et dérivable autour de \( 0\) tel que \( f(0)=0\) . Alors
\[\lim{u\rightarrow0}\dfrac{f(u)}{u}=f'(0)\]
Démonstration
On reprend la définition de nombre dérivé : \( f'(a)=\lim{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) . On prouve le résultat en prenant \( a=0\) .
Théorème
Soit \( u\) une suite ne s'annulant pas à partir d'un certain rang tel que \( \lim{n\rightarrow+\infty}u_n=0\) et \( f\) une fonction définie et dérivable autour de \( 0\) tel que \( f(0)=0\) et \( f'(0)=1\) . Alors
\[f(u_n)\sim u_n\]
Démonstration
On a \( \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{f(u_n)}{u_n}=\lim{u\rightarrow0}\dfrac{f(u)}{u}\) en posant le changement de variable \( u=u_n\) . D'après le lemme, cette limite vaut \( f'(0)\) qui d'après l'hypothèse de l'énoncé vaut \( 1\) et prouve donc que \( f(u_n)\sim u_n\)
Corollaire [Formulaire]
Soit \( u\) une suite ne s'annulant pas à partir d'un certain rang tel que \( \lim{n\rightarrow+\infty} u_n=0\) .
- \( \forall \alpha\in \R^*\) , \( (1+u_n)^\alpha-1\sim \alpha u_n\)
- \( \dfrac{1}{1-u_n}-1\sim u_n\)
- \( \dfrac{1}{1+u_n}-1\sim -u_n\)
- \( \sqrt{1+u_n}-1\sim \dfrac{1}{2} u_n\)
- \( e^{u_n}-1\sim u_n\)
- \( ln(1+u_n)\sim u_n\)
- \( sin(u_n)\sim u_n\)
- \( 1-cos(u_n)\sim \dfrac{u_n^2}{2}\)
- \( tan(u_n)\sim u_n\)
Démonstration
On applique le théorème précédent avec les fonctions suivantes , dont on pourra vérifier dans chaque cas que \( f(0)=0\) et \( f'(0)=1\) :
- \( f(x)=(1+x)^\alpha-1\) .
- \( f(x)=\dfrac{1}{1-x}-1\) .
- \( f(x)=\dfrac{1}{1+x}-1\) .
- \( f(x)=\sqrt{1+x}-1\) .
- \( f(x)=e^{x}-1\) .
- \( f(x)=ln(1+x)\) .
- \( f(x)=sin(x)\) .
- On se sert de la limite connue \( \lim{x\rightarrow0}\dfrac{1-cos(x)}{x^2}=\dfrac{1}{2}\) .
- \( f(x)=tan(x)\) .
On peut multiplier et diviser les équivalents.
Proposition
Soient \( a\) , \( b\) , \( c\) et \( d\) quatre suites ne s'annulant pas à partir d'un certain rang, \( \alpha\in \R\) .
- \( (i)\) .
- \( \left[(a\sim b)\et(c\sim d)\right]\Rightarrow (ac\sim bd)\)
- \( (ii)\) .
- \( \left[(a\sim b)\et(c\sim d)\right]\Rightarrow \left(\dfrac{a}{c}\sim\dfrac{b}{d}\right)\)
- \( (iii)\) .
- \( a\sim b\Rightarrow a^\alpha\sim ^\alpha\)
Démonstration
- \( (i)\) .
- On observe que \( \dfrac{a_nc_n}{b_nd_n}=\dfrac{a_n}{b_n}\times\dfrac{c_n}{d_n}\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}1\times 1=1\) .
- \( (ii)\) .
- On a \( \dfrac{\frac{a_n}{c_n}}{\frac{b_n}{d_n}}=\dfrac{a_nd_n}{b_nc_n}=\dfrac{a_n}{b_n}\times\dfrac{1}{\frac{c_n}{d_n}}\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}1\times\dfrac{1}{1}=1\) .
- \( (iii)\) .
- On observe que \( \dfrac{a_n^\alpha}{b_n^\alpha}=\left(\dfrac{a_n}{b_n}\right)^\alpha\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}1^\alpha=1\)
On peut également composer par des fonctions classiques (exponentielle et logarithme).
Proposition
Soient \( a\) , \( b\) , \( c\) et \( d\) quatre suites ne s'annulant pas à partir d'un certain rang et \( u\) et \( v\) deux suites.
- \( (i)\)
- \( e^u\sim e^v\Leftrightarrow \lim{n\rightarrow+\infty}u_n-v_n=0\)
- \( (ii)\)
- \( \left(\left(\lim{n\rightarrow+\infty} a_n=0\right)\et(a\sim b)\right)\rightarrow (ln(|a|)\sim ln(|b|))\)
- \( (iii)\)
- \( \left(\left(\lim{n\rightarrow+\infty} a_n=+\infty\right)\et(a\sim b)\right)\rightarrow (ln(|a|)\sim ln(|b|))\)
Démonstration
- \( (i)\) .
- Cela suit de l'observation que \( \dfrac{e^{u_n}}{e^{v_n}}=e^{u_n-v_n}\) .
- \( (ii)\) .
- On écrit \( \dfrac{ln(|a_n|)}{ln(|b_n|)}=\dfrac{ln(|b_n|)+ln\left(\Big|\dfrac{a_n}{b_n}\Big|\right)}{ln(|b_n|)}=1+\dfrac{ln\left(\Big|\dfrac{a_n}{b_n}\Big|\right)}{ln(|b_n|)}\) . Ce dernier membre tend vers \( 0\) puisque le numérateur tend vers \( ln(1)=0\) et le dénominateur vers \( ln(0)=-\infty\) (puisque \( a\) et \( b\) ont même limite donc \( 0\) ).
- \( (iii)\) .
- On raisonne comme précédemment avec \( A_n=\dfrac{1}{a_n}\) et \( B_n=\dfrac{1}{b_n}\) .
Théorème [Formule de Stirling]
\[n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n\]
Démonstration
Cela pourra s'obtenir lors en faisant l'exercice sur les intégrales de Wallis.