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Suites arithmético-géométriques

Définition

On dira qu'une suite est arithmético-géométrique si \[\forall n \in\N,\ u_{n+1}=au_n+b\] pour des nombres réels $ a$ et $ b$ ne dépendant pas de $ n$ . Dans ce cas le couple de nombre réel $ (a, b)$ est appelé la raison de la suite.

Dans le cas ou $ a=1$ on retrouve une suite arithmétique et si $ b=0$ on retrouve une suite géométrique.

Proposition

Soit $ u$ une suite arithmético-géométrique de raison $ (a,b)$ tel que $ a\neq1$ alors pour tout $ n\in \mathbb{N}$ , \[u_n=a^n\left(u_0-x\right)+x\] où $ x$ est la solution de l'équation $ x=ax+b$ .

Démonstration

D'une part $ u_{n+1}=au_n$ et d'autre par $ x=ax+b$ . En faisant la différence des deux égalités on a $ (u_{n+1}-x)=a(u_n-x)$ . Soit en posant $ v_n=u_n-x$ , $ v_{n+1}=av_n$ et $ v_n$ est une suite géométrique. Sa forme explicite est donc $ v_n=a^nv_0$ soit encore $ u_n-x=a^n(u_0-x)$ .

Corollaire

Soit $ u$ une suite arithmético-géométrique de raison $ (a,b)$ . Si $ u_0=\dfrac{b}{1-a}$ alors la suite est constante. Sinon :

Si $ |a|{<}1$: alors $ lim\ u_n=\dfrac{b}{1-a}$ .
Si $ a\leqslant -1$: alors $ u$ n'admet pas de limite.
Si $ a{>}1$: alors $ u$ tend vers l'infini, le signe étant déterminé par le signe de $ u_0-\dfrac{b}{1-a}$ .
Si $ a=1$ et $ b{>}0$: alors $ u$ tend vers $ +\infty$ .
Si $ a=1$ et $ b=0$: alors $ u$ tend vers $ u_0$ .
Si $ a=1$ et $ b{<}0$: alors $ u$ tend vers $ -\infty$ .

Démonstration

Cela découle du théorème sur les limites des suites géométrique. Seul le cas $ a=1$ reste à démontrer. Mais si $ a=1$ alors la suite arithmético-géométrique est une suite arithmétique de raison $ b$ . La preuve de ce corollaire se déduit alors du théorème sur les limites des suites arithmétiques.

Remarque

Pour résumer : posons $ x=\dfrac{b}{1-a}$ alors si $ u_0=x$ alors $ u_n=x$ pour tout $ n$ . Sinon :

*Cst : Constante

En particulier dans l'exemple de l'introduction avec la suite $ u_{n+1}=2u_n+1$ . Puisque $ a=2{>}1$ on en déduit que la suite tend vers $ +\infty$ . Considérons par exemple la suite définie par $ u_0=0$ et $ u_{n+1}=2u_n+1$ . C'est, par définition une suite arithmético-géométrique. La solution de l'équation $ x=2x+1$ est $ -1$ . D'après le théorème $ v_n=u_n-(-1)$ est une suite arithmétique. Sans appliquer machinalement les formules on observe : \begin{eqnarray*} v_{n+1} &=&u_{n+1}+1\\ &=&2u_n+1+1\\ &=&2u_n+2\\ &=&2(u_n+1)\\ &=&2v_n \end{eqnarray*} ce qui prouve bien que $ v_n$ est une suite géométrique de raison $ 2$ donc $ v_n=v_02^n$ où $ v_0=u_0+1=0+1=1$ . Soit $ v_n=2^n$ soit encore $ u_n+1=2^n$ et en conclusion $ u_n=2^n-1$ .