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Généralités sur les suites

Considérons les nombres suivants : \[0\ 1\ 3\ 7\ 15\ 31\ 63\ \cdots\] Pour passer d'un terme à l'autre on double le chiffre et on ajoute $ 1$ . Précisément si $ x$ est un nombre alors le nombre suivant est $ 2x+1$ . Les suites ont pour but de formaliser et d'étudier ce type de comportement.

Définition

Une suite numérique réelle est la donnée d'un ensemble de nombre réel indexé par le les entiers. Si $ u$ est une suite on note $ u_n$ son $ n$ -ième terme.

Lorsque l'on définie une suite on peut le faire de deux manières.

Suite explicite.: Une telle définition signifie que l'on peut déterminer $ u_n$ en fonction de $ n$ . Par exemple la suite $ u$ tel que pour tout $ n\in \mathbb{N}$ , $ u_n=(-1)^n+n$ . Dans une telle définition, il suffit de remplacer, comme pour une fonction, le $ n$ par $ 64$ pour calculer le $ 64$ -ième terme de la suite : $ u_{64}=(-1)^{64}+64=65$ .
Suite récurrente.: Une telle définition signifie que pour déterminer le $ 64$ -ième terme de la suite, il faut passer par la détermination d'un ou plusieurs terme précédents. Par exemple la suite $ u$ tel que pour tout $ n\in \mathbb{N}$ , $ u_n=3u_{n-1}-1$ . Dans une telle définition il est nécessaire de préciser un point de départ de la récursion en indiquant par exemple une valeur de $ u_0$ . Par exemple $ u_0=1$ . Alors dans ce cas $ u_1=3u_0-1=3.1-1=2$ , $ u_2=3u_1-1=3.2-1=5$ etc. Pour déterminer $ u_{64}$ il est donc nécessaire de passer par le calcul de $ u_{63}$ .

Dans l'exemple de l'introduction on peut dire que la suite de nombre est une suite numérique réel définie par $ u_0=0$ et $ u_{n}=2u_{n-1}+1$ . L'un des objectifs de l'étude de suite est de passer de définition récurrente à définition explicite. Par exemple, la suite de Fibonacci est définie de manière récurrente par $ u_0=1$ , $ u_1=1$ et $ u_{n}=u_{n-1}+u_{n-2}$ (on fait la somme des deux derniers terme pour obtenir le suivant). Grâce à l'étude des suites on peut démontrer (avec un peu d'effort) que la définition explicite de la suite de Fibonacci est \[u_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]\] Dans cette partie nous allons nous donner quelques éléments d'études des suites.

Variations

Définition

On dira qu'une suite $ u$ est croissante si pour tout $ n\in\mathbb{N}$ , $ u_n\leqslant u_{n+1}$ .
On dira qu'une suite $ u$ est strictement croissante si pour tout $ n\in\mathbb{N}$ , $ u_n {{<}} u_{n+1}$ .
On dira qu'une suite $ u$ est décroissante si pour tout $ n\in\mathbb{N}$ , $ u_n \geqslant u_{n+1}$ .
On dira qu'une suite $ u$ est strictement décroissante si pour tout $ n\in\mathbb{N}$ , $ u_n {{>}} u_{n+1}$ .

Dans la pratique on dispose de deux méthodes pour étudier les variations d'une suite.

Première méthode.: On étudie le signe de $ u_{n+1}-u_n$ . Si cette différence est positive alors la suite est croissante, si elle est négative elle est décroissante. Prenons par exemple la suite $ u_n=n^2+1$ alors $ u_{n+1}=(n+1)^2+1=n^2+2n+2$ donc $ u_{n+1}-u_n=2n+1$ mais puisque $ n\in\mathbb{N}$ alors $ 2n+1{{>}}0$ donc $ u_{n+1}-u_n{{>}}0$ et la suite $ u$ est strictement croissante.
Deuxième méthode.: Cette méthode ne s'applique que lorsque la suite est strictement positive (quelque soit le $ n$ , $ u_n{>}0$ ). En effet, si $ u_n$ ne s'annule pas, on peut diviser. Dans ce cas on étudie $ \dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ et on compare avec $ 1$ . Si $ \dfrac{u_{n+1}}{u_n}\geqslant 1$ alors $ u_{n+1}\geqslant u_n$ et la suite est croissante. Regardons par exemple la suite $ u_n=2^n$ alors $ u_{n+1}=2^{n+1}$ et $ \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2^{n+1}}{2^n}=2{{>}}1$ et la suite est strictement croissante.

Qu'en est-il des variations de la suite de l'introduction : $ u_0=0$ , $ u_n=2u_{n-1}+1$ ? Il est évident que la suite $ u_n$ est toujours positive, de plus $ u_{n+1}-u_n=(2u_n+1)-u_n=u_n+1\geqslant 0+1{{>}}0$ . Donc la suite $ u$ est strictement croissante.

Limites

La limite d'une suite est toujours a limite en $ +\infty$ . Lorsque la suite est définit de manière explicite, on raisonne comme pour les fonctions. Par exemple si la suite $ u$ est définie pour tout $ n\in\mathbb{N}$ par $ u_n=2n-1$ alors $ \lim{n\rightarrow+\infty}u_n=+\infty$ . Dans la pratique, puisque le calcul des suites n'est qu'en $ +\infty$ on note simplement $ lim\ u_n$ au lieu de $ \lim{n\rightarrow+\infty}u_n$ .

Proposition

Soient $ u$ , $ v$ et $ w$ trois suites numérique.

(Théorème des gendarmes) Si $ v_n\leqslant u_n \leqslant w_n$ pour tout $ n$ assez grand et si $ lim\ v_n=l=lim\ w_n$ alors $ lim\ u_n=l$ .
Si $ v_n\leqslant u_n$ pour tout $ n$ assez grand et si $ lim\ v_n=+\infty$ alors $ lim\ u_n=+\infty$ .
Si $ u_n \leqslant w_n$ pour tout $ n$ assez grand et si $ lim\ w_n=-\infty$ alors $ lim\ u_n=-\infty$ .

On peut reformuler ces propriétés à l'aide de quantificateur. Tout d'abord pour $ n$ assez grand se traduit par : \[\exists N \in \N, \ \forall n{>}N\] La proposition suivante s'écrit alors formellement de la manière suivante.

\[ \left. \begin{array}{ll} \exists N \in \N, \ \forall n{>}N & v_n\leqslant u_n\leqslant w_n \\ & lim\ v_n=l \\ & lim\ w_n=l \\ \end{array} \right\} \Longrightarrow lim\ u_n=l \]
\[ \left. \begin{array}{ll} \exists N \in \N, \ \forall n{>}N & v_n\leqslant u_n \\ & lim\ v_n=+\infty \end{array} \right\} \Longrightarrow lim\ u_n=+\infty \]
\[ \left. \begin{array}{ll} \exists N \in \N, \ \forall n{>}N & u_n\leqslant w_n \\ & lim\ w_n=-\infty \end{array} \right\} \Longrightarrow lim\ u_n=-\infty \]

Considérons par exemple la suite $ u$ définie pour tout $ n\in \mathbb{N}$ de manière explicite par $ u_n=(-1)^n+n$ . Le "problème" de cette suite est que $ (-1)^n$ n'admet pas de limite (car pour $ n$ paire $ (-1)^n=+1$ et sur les impaires $ (-1)^n=-1$ ). Cependant on a toujours $ -1\leqslant (-1)^n\leqslant 1$ . En ajoutant $ n$ à ces inégalités on trouve $ -1+n\leqslant (-1)^n+n\leqslant 1+n$ soit en reformulant $ n-1\leqslant u_n\leqslant n+1$ et $ n+1$ comme $ n-1$ tendent trivialement vers $ +\infty$ . Il en va donc de même pour $ u_n$ et ce bien que $ (-1)^n$ n'admette pas de limite. Voici un résultat permettant non pas de calculer une limite mais de garantir son existence.

Proposition

Soit $ u$ une suite croissante tel que $ u_n$ soit majoré pour tout $ n$ assez grand (c'est à dire que $ u_n{<}M$ pour un certain $ M$ ne dépendant pas de $ n$ ). Alors $ u$ admet une limite.
Soit $ u$ une suite décroissante tel que $ u_n$ soit minoré pour tout $ n$ assez grand (c'est à dire que $ u_n{>}M$ pour un certain $ M$ ne dépendant pas de $ n$ ). Alors $ u$ admet une limite.

Par exemple, on peut rapidement montrer que la suite $ u$ définie pour tout $ n\in \mathbb{N}$ par $ u_n=\dfrac{n+1}{n}$ est décroissante et minoré trivialement par $ 0$ . Donc $ u$ admet une limite. On montre que $ lim\ u_n=1$ .